Cap´ıtulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares
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10 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES Uma outra matriz associável a um sistema é a matriz ampliada, que pode ser representada por A|B. ⎛ ⎜ a11 ⎜ a21 A|B = ⎜ . ⎝ am1 a12 a22 . am2 a13 a23 . am3 . . . a1n . . . a2n . .. . . . . amn ⎞ . b1 ⎟ . ⎟ b2 ⎟ . . ⎟ ⎠ . bm A matriz ampliada é constituída pelos elementos da matriz dos coeficientes e da matriz termos independendes. Exemplo: A matriz ampliada do sistema abaixo é: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ 3x + 7y = 10 7x + 9y = 13 4x + 11y = 8 ⎛ ⎞ 3 7 . 10 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A|B = ⎜ ⎝ 7 9 . 13 ⎟ ⎠ 4 11 . 8 - A matriz ampliada será muito usada na resolução de sistemas lineares, que veremos a seguir: Resolução de sistemas de equações lineares: Uma solução de um sistema m×n são n números x1, x2, . . ., xn que satisfazem simultâneamente as m equações . Método de Solução dos Sistemas Lineares: Para resolver um sistema linear de duas equações e duas incógnitas o método da substituição é muito prático. Mas quando o sistema é formado por três ou mais equações , é conveniente procurar um método menos trabalhoso. Por esse motivo vamos utilizar o sistema em forma de escada, ou seja, o método de escalonamento. Utilizando o método de escalonamento o sistema terá que estar representado na forma de matriz ampliada. Será usado para a resolução as seguintes operações elementares: - Trocar a posição de duas linhas da matriz ampliada; - Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero; - Somar a uma linha outra linha multiplicada por um escalar; Exemplo: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ 2x + 8y + 6z = 20 4x + 2y − 2z = −2 3x − y + z = 11
1.2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 11 A sua matriz aumentada é: ⎛ ⎞ 2 8 6 . 20 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A|B = ⎜ ⎝ 4 2 −2 . −2 ⎟ ⎠ 3 −1 1 . 11 Depois de usadas as operações elementares citadas acima a forma escalonada do sistema será: ⎛ ⎞ 1 4 3 . 10 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 −1 −1 . 3 ⎟ → Forma escalonada ⎠ 0 0 5 . 20 A seguir será demonstrado dois métodos para escalonar um sistema usando operações elementares. Método de Gauss (eliminação ou zeração ) Esse método consiste em transformar o sistema original que queremos resolver, em um sistema equivalente que possui a forma triangular. Obs:Dois sistemas m × n são ditos equivalentes se possuirem o mesmo conjunto solução . 1 o Exemplo : Resolva o sistema abaixo pelo método de Gauus. 10x + 2y = 40 x + 9y = 48 Resolução : Etapa 1: trocar a 2 a linha (L2), 1 a linha (L1); ⎛ ⎞ A|B = ⎝ 10 2 . 40 ⎠ 1 9 . 48 ⎛ ⎞ A|B = ⎝ 1 9 . 48 ⎠ 10 2 . 40 Etapa 2: eliminar o primeiro elemento da 2alinha, multiplicando a 1alinha por −10 e somando à 2alinha. ⎛ ⎞ ⎝ 1 9 . 48 ⎠ 0 −88 . −440 → Forma escalonada A matriz está na forma triangular superior. O sistema resultante é o seguinte: x + 9y = 48 0x − 88y = −440
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1.2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 11<br />
A sua matriz aumentada é:<br />
⎛<br />
⎞<br />
2 8 6 . 20<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
A|B = ⎜<br />
⎝ 4 2 −2 . −2 ⎟<br />
⎠<br />
3 −1 1 . 11<br />
Depois de usadas as operações elementares citadas acima a forma escalonada do sistema será:<br />
⎛<br />
⎞<br />
1 4 3 . 10<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎝ 0 −1 −1 . 3 ⎟ → Forma escalonada<br />
⎠<br />
0 0 5 . 20<br />
A seguir será demonstrado dois métodos para escalonar um sistema usando operações elementares.<br />
Método de Gauss (eliminação ou zeração )<br />
Esse método consiste em transformar o sistema original que queremos resolver, em um sistema<br />
equivalente que possui a forma triangular.<br />
Obs:Dois sistemas m × n são ditos equivalentes se possuirem o mesmo conjunto solução .<br />
1 o Exemplo : Resolva o sistema abaixo pelo método de Gauus.<br />
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10x + 2y = 40<br />
x + 9y = 48<br />
Resolução :<br />
Etapa 1: trocar a 2 a linha (L2), 1 a linha (L1);<br />
⎛<br />
⎞<br />
A|B = ⎝ 10 2 . 40 ⎠<br />
1 9 . 48<br />
⎛<br />
⎞<br />
A|B = ⎝ 1 9 . 48 ⎠<br />
10 2 . 40<br />
Etapa 2: eliminar o primeiro elemento da 2alinha, multiplicando a 1alinha por −10 e somando<br />
à 2alinha. ⎛<br />
⎞<br />
⎝<br />
1 9 . 48<br />
⎠<br />
0 −88 . −440<br />
→ Forma escalonada<br />
A matriz está na forma triangular superior.<br />
O sistema resultante é o seguinte:<br />
<br />
x + 9y = 48<br />
0x − 88y = −440
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