Cap´ıtulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares

10 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Uma outra matriz associável a um sistema é a matriz ampliada, que pode ser representada
por A|B.
⎛
⎜ a11
⎜ a21
A|B = ⎜ .
⎝
am1
a12
a22
.
am2
a13
a23
.
am3
. . . a1n
. . . a2n
. .. .
. . . amn
⎞
. b1 ⎟
. ⎟
b2 ⎟
. . ⎟
⎠
. bm
A matriz ampliada é constituída pelos elementos da matriz dos coeficientes e da matriz
termos independendes.
Exemplo: A matriz ampliada do sistema abaixo é:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
3x + 7y = 10
7x + 9y = 13
4x + 11y = 8
⎛
⎞
3 7 . 10
⎜
⎟
⎜
⎟
A|B = ⎜
⎝ 7 9 . 13 ⎟
⎠
4 11 . 8
- A matriz ampliada será muito usada na resolução de sistemas lineares, que veremos a seguir:
Resolução de sistemas de equações lineares:
Uma solução de um sistema m×n são n números x1, x2, . . ., xn que satisfazem simultâneamente
as m equações .
Método de Solução dos Sistemas Lineares:
Para resolver um sistema linear de duas equações e duas incógnitas o método da substituição
é muito prático.
Mas quando o sistema é formado por três ou mais equações , é conveniente procurar um método
menos trabalhoso. Por esse motivo vamos utilizar o sistema em forma de escada, ou seja, o método
de escalonamento.
Utilizando o método de escalonamento o sistema terá que estar representado na forma de
matriz ampliada. Será usado para a resolução as seguintes operações elementares:
- Trocar a posição de duas linhas da matriz ampliada;
- Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero;
- Somar a uma linha outra linha multiplicada por um escalar;
Exemplo:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
2x + 8y + 6z = 20
4x + 2y − 2z = −2
3x − y + z = 11