Cap´ıtulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares

Capítulo 1
Matrizes e Sistemas Lineares
1.1 Matrizes
Introdução :
Nesta seção , apresentaremos os conceitos básicos sobre matrizes. Estes métodos aparecem
naturalmente na resolução de muitos tipos de problemas e são essenciais, não apenas porque eles
”ordenam e simplificam”o problema, mas também porque fornecem novos métodos de resolução .
Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Exemplo:
Considere dois tipos de alimentos, bananas e laranjas, e dois tipos de vitaminas, vitamina K e
vitamina C. Sabendo que a banana possui 10 unidades de vitamina K e apenas 1 unidade de vitamina
C, e a laranja possui 2 unidades de vitamina K e 9 unidades de vitamina C, podemos organizar esses
dados através de uma tabela:
Banana Laranja
Vitamina K 10 2
Vitamina C 1 9
Os dados dessa tabela estão organizados em linhas e colunas. Este tipo de matriz corresponde
a uma matriz A2×2, isto é, duas linhas e duas colunas.
Generalização :
1

2 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
⎡
⎢
Am×n = ⎢
⎣
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
. . .. .
am1 am2 . . . amn
⎤
⎥
⎦ = [aij]
m×n
Sendo: m=linhas e n=colunas, e [aij] são as entradas da matriz onde ′ i ′ corresponde a linha
e ′ j ′ a coluna de cada entrada.
Exemplo:
A2×2 =
10 2
1 9
a11 = 10 a21 = 2
a12 = 1 a22 = 9
Tipos especias de matrizes
Matriz quadrada: é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n).
Exemplos:
A3×3 =
⎡
⎢
⎣
1 −2 0
3 0 1
4 5 6
⎤
⎥
⎦ B1×1 =
No caso de uma matriz quadrada Bm×m dizemos que B é uma matriz de ordem m.
Matriz nula: é aquela em que todo aij = 0, ∀ ′ i ′ e ′ j ′ .
Exemplos:
8

1.1. MATRIZES 3
A3×5 =
⎡
⎢
⎣
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
⎤
⎥
⎦ B2×2 =
0 0
0 0
Matriz coluna: é aquela que possui uma única coluna (n = 1).
Exemplos:
A3×1 =
⎡
⎢
⎣
1
4
−3
⎤
⎥
⎦ B2×1 =
Matriz linha: é aquela que possui somente uma linha (m = 1).
Exemplos:
A1×3 =
3 0 1
B1×2 =
x
y
0 0
Matriz diagonal: é uma matriz quadrada (m = n), onde aij = 0 para i = j, isto é, os
elementos que não estão na ’diagonal’ são nulas.
Exemplos:
A3×3 =
⎡
⎢
⎣
7 0 0
0 1 0
0 0 −1
⎤
⎥
⎦ , B4×4 =
⎡
⎢
⎣
3 0 0 0
0 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 3
Matriz Identidade: é uma matriz quadrada em que aij = 1 para i = j, e aij = 0 para i = j.
Exemplos:
⎤
⎥
⎦

4 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
I3 =
⎡
⎢
⎣
1 0 0
0 0 0
0 0 0
⎤
⎥
⎦, I2 =
1 0
0 1
Matriz triangular superior: é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da
diagonal são nulos, isto é, m = n e aij = 0 para i > j.
Exemplos:
A3×3 =
⎡
⎢
⎣
2 −1 0
0 −1 4
0 0 3
⎤
⎥
⎦ , B2×2 =
a b
0 c
⎡
⎢
, C4×4 = ⎢
⎣
4 −3 5 0
0 7 5 9
0 0 2 8
0 0 0 1
Matriz triangular inferior: é aquela em que m = n e aij = 0 para i < j.
Exemplos:
⎡
⎢
A4×4 = ⎢
⎣
⎤
2 0 0 0
1 −1 0 0 ⎥
1 2 2 0 ⎦
1 0 5 4
, B3×3
⎡ ⎤
5 0 0
⎢ ⎥
= ⎣ 7 0 0 ⎦
2 1 3
Matriz Simétrica: é aquela onde m = n e aij = aji.
Exemplos:
A3×3 =
⎡
⎢
⎣
4 3 −1
3 2 0
−1 0 5
⎤
⎥
⎦ , B4×4 =
⎡
⎢
⎣
Igualdade de matrizes
a b c d
b c f g
c f h i
d g i k
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦

1.1. MATRIZES 5
Duas matrizes Am×n e Br×s são iguais, se elas possuem o mesmo número de linhas (m = r) e
colunas (n = s), e todos os elementos correspondentes são iguais (aij = bij).
Exemplos:
Adição :
A2×3 =
3 2 1 log1
2 2 2 5
e B2×3 =
9 sen90 o o
2 4 5
Operações com matrizes
, então A = B.
A soma de duas matrizes de mesma ordem Am×n e Bm×n, é uma matriz m×n, que denotaremos
A + B, cujos elementos de A e B são somados.
Exemplo:
Sendo a matriz A3×3 =
Resolução :
Propriedades:
A + B =
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
27 12 70
9 15 7
14 18 63
⎤
⎥
⎦ e B3×3 =
27 + 10 12 + 18 70 + 15
9 + 12 15 + 24 7 + 13
14 + 14 18 + 35 63 + 1
i) A + B = B + A (comutatividade);
ii) A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade);
iii) A +0 = A, onde 0 é a matriz nula m × n.
Multiplicação de um escalar por uma matriz
⎡
⎢
⎣
10 18 15
12 24 13
14 35 1
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦, encontre a matriz A + B:
37 30 85
21 39 20
28 53 64
⎤
⎥
⎦

6 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Sendo Am×n uma matriz e α um escalar. Se multiplicarmos a matriz pelo escalar (α.Am×n),
obteremos uma nova matriz m×n onde α multiplica aij, ∀ij.
Exemplo:
Sendo A3×3 =
Resolução :
⎡
⎢
⎣
2 1 9
5 0 5
7 3 2
α · A3×3 = 2 ·
Propriedades:
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦ e α = 2, obtenha α · A3×3:
2 1 9
5 0 5
7 3 2
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
2 · 2 2 · 1 9 · 2
2 · 5 2 · 0 2 · 5
2 · 7 2 · 3 2 · 2
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
4 2 18
10 0 10
14 6 4
i) α · (A + B) = α · A + α · B;
ii) 0 · A = 0 (se multiplicarmos 0 por qualquer matriz obteremos uma matriz nula).
Tranposição de uma matriz:
A matriz transposta é obtida trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas.
Exemplo:
Sendo a matriz A3×3 =
⎡
⎢
⎣
2 1 9
5 0 5
7 3 2
Resolução :
Trocando-se as linhas pelas colunas teremos:
⎤
⎥
⎦ obtenha a sua transposta.
A t =
⎡
⎢
⎣
2 5 7
1 0 3
9 5 2
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦

1.1. MATRIZES 7
Propriedades:
i) (A + B) t = A t + B t
ii) (A t ) t = A
iii) (α · A) t = α · A t
iv) Uma matriz é simétrica se ela é igual a sua transposta (A = A t )
Multiplicação de matrizes:
A multiplicação de duas matrizes Am×n e Bl×p, só poderá ser realizado, se o número de colunas
de Am×n for igual ao número de linhas de Bl×p. Ou seja, n = l. E o resultado de Am×n.Bl×p será
uma matriz Cm×p.
Observe o esquema:
Am×n.Bl×p = Cm×p
Os elementos Cm×p são obtidos multiplicando os elementos da i-ésima linha de primeira matriz,
pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos.
Exemplo:
Sendo as matrizes A3×2 =
Resolução :
Propriedades:
⎡
⎢
⎣
(A.B)3×2 =
3 5
2 3
1 7
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦ B2×2 =
3 5
5 9
3.3 + 5.5 3.2 + 5.9
2.3 + 3.5 2.2 + 3.9
1.3 + 7.5 1.2 + 7.9
⎤
⎥
⎦ =
, obtenha uma terceira matriz (A.B)3×2:
⎡
⎢
⎣
34 51
21 31
38 65
i) Se A2×2 e B2×2 =⇒ (A.B)2×2 e (B.A)2×2, mas elas possuem resultados diferentes.
⎤
⎥
⎦

8 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Exemplo:
A2×2 =
Resolução :
1 −2
3 6
(A.B)2×2 =
B2×2 =
−11 3
3 33
−5 7
3 2
será (A.B)2×2 igual a (B.A)2×2?
(B.A)2×2 =
As duas são diferentes, ou seja, (A · B)2×2 = (B · A)2×2.
ii) A3×3 · I3×3 = A3×3, onde I3×3 é uma matriz identidade.
iii) A(B + C) = AB + AC (distributividade);
iv) (A + B)C = AC + BC (distributividade);
v) (AB)C = A(BC) (associatividade);
vi) (AB) t = B t A t ;
vii) 0 · A = 0 e A ·0 = 0, sendo 0 uma matriz nula.
1.2 Sistemas de Equações Lineares
Definição de equação linear:
16 52
9 6
Chama-se de equação linear de n incógnitas qualquer equação da forma:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn = b
- a1, a2, a3, . . .an; são números reais chamados de coeficientes da equação linear.
- x1, x2, x3, . . .xn; são chamadas de incógnitas.
- b; é uma constante ou termo independente.
Definição de Sistema Linear:
Chama-se de sistema linear o conjunto de m equações com n incógnitas, qualquer sistema da
forma:

1.2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 9
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1
a21x1
.
+ a22x2
.
+ a23x3
.
+ . . . +
. ..
a2nxn
.
= b2
.
am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + , amnxn = bm
- Os coeficientes das equações tem a forma aij.
- As incógnitas tem a forma xj.
- Os termos independentes a forma bi,
Tal que:
1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n
Uma outra forma de se escrever um sistema linear é na forma matricial:
⎛
⎞
a11 a12 a13 . . . a1n
⎜
⎟
⎜ a21 a22 a23 . . . a2n ⎟
⎜
⎟
⎜
.
⎝ . . . .. ⎟
. ⎠ ·
⎛ ⎞
x1
⎜ ⎟
⎜ x2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ . ⎠ =
⎛ ⎞
b1
⎜ ⎟
⎜ b2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ . ⎠
am1 am2 am3 . . . amn
A forma matricial de um sistema pode ser representada por Am×n · Xm×1 = Bm×1 ( sendo m
o número de equações e n o número de incógnitas ). em que:
⎛
⎜
A = ⎜
⎝
⎛
⎜
X = ⎜
⎝
⎛
⎜
B = ⎜
⎝
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
.
. . . .. .
am1 am2 am3 . . . amn
x1
x2
.
xn
b1
b2
.
bn
⎞
⎞
⎟ → é a matriz das incógnitas.
⎠
⎞
xn
bn
⎟ → é a matriz dos coeficientes
⎠
⎟ → é a matriz dos termos independentes.
⎠

10 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Uma outra matriz associável a um sistema é a matriz ampliada, que pode ser representada
por A|B.
⎛
⎜ a11
⎜ a21
A|B = ⎜ .
⎝
am1
a12
a22
.
am2
a13
a23
.
am3
. . . a1n
. . . a2n
. .. .
. . . amn
⎞
. b1 ⎟
. ⎟
b2 ⎟
. . ⎟
⎠
. bm
A matriz ampliada é constituída pelos elementos da matriz dos coeficientes e da matriz
termos independendes.
Exemplo: A matriz ampliada do sistema abaixo é:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
3x + 7y = 10
7x + 9y = 13
4x + 11y = 8
⎛
⎞
3 7 . 10
⎜
⎟
⎜
⎟
A|B = ⎜
⎝ 7 9 . 13 ⎟
⎠
4 11 . 8
- A matriz ampliada será muito usada na resolução de sistemas lineares, que veremos a seguir:
Resolução de sistemas de equações lineares:
Uma solução de um sistema m×n são n números x1, x2, . . ., xn que satisfazem simultâneamente
as m equações .
Método de Solução dos Sistemas Lineares:
Para resolver um sistema linear de duas equações e duas incógnitas o método da substituição
é muito prático.
Mas quando o sistema é formado por três ou mais equações , é conveniente procurar um método
menos trabalhoso. Por esse motivo vamos utilizar o sistema em forma de escada, ou seja, o método
de escalonamento.
Utilizando o método de escalonamento o sistema terá que estar representado na forma de
matriz ampliada. Será usado para a resolução as seguintes operações elementares:
- Trocar a posição de duas linhas da matriz ampliada;
- Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero;
- Somar a uma linha outra linha multiplicada por um escalar;
Exemplo:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
2x + 8y + 6z = 20
4x + 2y − 2z = −2
3x − y + z = 11

1.2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 11
A sua matriz aumentada é:
⎛
⎞
2 8 6 . 20
⎜
⎟
⎜
⎟
A|B = ⎜
⎝ 4 2 −2 . −2 ⎟
⎠
3 −1 1 . 11
Depois de usadas as operações elementares citadas acima a forma escalonada do sistema será:
⎛
⎞
1 4 3 . 10
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝ 0 −1 −1 . 3 ⎟ → Forma escalonada
⎠
0 0 5 . 20
A seguir será demonstrado dois métodos para escalonar um sistema usando operações elementares.
Método de Gauss (eliminação ou zeração )
Esse método consiste em transformar o sistema original que queremos resolver, em um sistema
equivalente que possui a forma triangular.
Obs:Dois sistemas m × n são ditos equivalentes se possuirem o mesmo conjunto solução .
1 o Exemplo : Resolva o sistema abaixo pelo método de Gauus.
10x + 2y = 40
x + 9y = 48
Resolução :
Etapa 1: trocar a 2 a linha (L2), 1 a linha (L1);
⎛
⎞
A|B = ⎝ 10 2 . 40 ⎠
1 9 . 48
⎛
⎞
A|B = ⎝ 1 9 . 48 ⎠
10 2 . 40
Etapa 2: eliminar o primeiro elemento da 2alinha, multiplicando a 1alinha por −10 e somando
à 2alinha. ⎛
⎞
⎝
1 9 . 48
⎠
0 −88 . −440
→ Forma escalonada
A matriz está na forma triangular superior.
O sistema resultante é o seguinte:
x + 9y = 48
0x − 88y = −440

12 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Resolvendo o sistema equivalente pelo método da substituição temos a siguinte solução :
X =
3
5
ou x =
2 o Exemplo: Determine o conjunto solução do seguinte sistema:
Resolução :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x + y + 2z = 8
−x − 2y + 3z = 1
3x − 7y + 4z = 10
Etapa 1: Eliminar o elemento a21.
Etapa 2: Eliminar o elememto a31.
Etapa 3: Eliminar o elememto a32.
3
5
⎛
⎞
1 1 2 . 8
⎜
⎟
⎜
⎟
A|B = ⎜
⎝ −1 −2 3 . 1 ⎟
⎠
3 −7 4 . 10
L (1)
2 = L (0)
1 + L (0)
⎛
⎞
1 1 2 . 8
⎜
⎟
⎜
⎟
2 ⎜
⎝ 0 −1 5 . 9 ⎟
⎠
3 −7 4 . 10
L (1)
3 = (−3)L (0)
1 + L (0)
⎛
⎞
1 1 2 . 8
⎜
⎟
⎜
⎟
3 ⎜
⎝ 0 −1 5 . 9 ⎟
⎠
0 −10 −2 . −14
L (2)
3 = (−10)L (1)
2 + L (1)
⎛
⎞
1 1 2 . 8
⎜
⎟
⎜
⎟
3 ⎜
⎝ 0 −1 5 . 9 ⎟
⎠
0 0 −52 . −104
A matriz está na forma triangular superior.

1.2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 13
O sistema resultante é o seguinte:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x + y + 2z = 8
− y + 5z = 9
− 52z = −104
Resolvendo por substituição a solução será:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
3 3
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
X = ⎝ 1 ⎠ ou x = ⎝ 1 ⎠
2 2
Método de Gauus-Jordan
Consiste em operar transformações elementares sobre as equações de um dado sistema linear
até que se obtenha um sistema diagonal equivalente.
Exemplo 1: Resolva o sistema abaixo usando o método de Gauus-Jordan.
⎛
⎞
⎧
⎪⎨ x + y + 2z = 4 1 1 2 . 4
⎜
⎟
⎜
⎟
2x − y − z = 0 A|B = ⎜
⎪⎩
⎝ 2 −1 −1 . 0 ⎟
⎠
x − y − z = −1
1 −1 −1 . −1
Resolução :
Etapa 1: Eliminar x1 das equações i = 2 e i = 3
L (1)
2 = (−2)L (0)
1 + L (0)
⎛
⎞
1 1 2 . 4
⎜
⎟
⎜
⎟
2 ⎜
⎝ 0 −3 −5 . −8 ⎟
⎠
1 −1 −1 . −1
L (1)
3 = (−1)L (0)
1 + L (0)
⎛
⎞
1 1 2 . 4
⎜
⎟
⎜
⎟
3 ⎜
⎝ 0 −3 −5 . −8 ⎟
⎠
0 −2 −3 . −5
Etapa 2: Eliminar x2 da equação i = 3
L (2)
3 = (−2).L (1)
2 + 3.L (1)
3
⎛
⎞
1 1 2 . 4
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝ 0 −3 −5 . −8 ⎟
⎠
0 0 1 . 1

14 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Etapa 3: Eliminar x3 da equação i = 2;
L (2)
2 = 5.L (1)
3 + L (1)
⎛
⎞
1 1 2 . 4
⎜
⎟
⎜
⎟
2 ⎜
⎝ 0 −3 0 . −3 ⎟
⎠
0 0 1 . 1
Etapa 4: Multiplicar a 2 a equação por − 1
3 ;
Etapa 5: Eliminar x3 da equação i = 1 ;
Etapa 6: Eliminar x2 da equação i = 1 ;
L (3)
2 = − 1
3 .L(2)
⎛
⎞
1 1 2 . 4
⎜
⎟
⎜
⎟
2 ; ⎜
⎝ 0 1 0 . 1 ⎟
⎠
0 0 1 . 1
L (1)
1 = (−2).L (1)
3 + L 0 1 ;
⎛
⎞
1 1 0 . 2
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝ 0 1 0 . 1 ⎟
⎠
0 0 1 . 1
L (2)
1 = (−1).L (1)
2 + L 1 1 ;
⎛
⎞
1 0 0 . 1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝ 0 1 0 . 1 ⎟
⎠
0 0 1 . 1
O sistema resultante desse processo é o sistema diagonal;
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x + 0y + 0z = 1
0x + y + 0z = 1
0x + 0y + z = 1
Resolvendo por substituição a solução será:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
X = ⎝ 1 ⎠ ou x = ⎝ 1 ⎠
1 1
Classificação dos Sistemas Lineares quanto ao número de solução
A solução solução de sistemas lineares pode ser:

1.2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 15
Possível: Quando admite solução
Sistemas Linares
↓ ↓
Determinado: Quando admite solução única
Impossível: Quando não
admite solução
Indeterminado: Quando admite infinitas
soluções
Por exemplo; em um sistema linear de ordem 2 (possui duas incógnitas) cada equação representa
uma reta.
Resolver o sistema significa determinar a intersecção das duas retas, veja.
O sistema
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
Considerando que a12 = 0 e a22 = 0, pode ser escrito na linguagem mais conhecida;
ax − y = −b y = ax + b
cx − y = −d y = cx + d
Como estamos trabalhando com sistemas, essas duas retas devem ser representadas em um
mesmo sistema de eixos o que nos dá três possibilidades.
LOCAL PARA FAZER AS RETAS
Exemplos de soluções de sistemas lineares:
1 o - Sistema possível e determinado (SPD):

16 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
⎛
⎞
⎧
⎪⎨ x + y + 2z = −1 1 1 2 . −1
⎜
⎟
⎜
⎟
4x + y + 4z = −2 A|B = ⎜
⎪⎩
⎝ 4 1 4 . −2 ⎟
⎠
2x − y + 2z = −4
2 −1 2 . −4
⎛
⎞
1 1 2 . −1
⎜
⎟
⎜
⎟
Depois de escalonado → A|B = ⎜
⎝ 0 −3 −4 . 2 ⎟
⎠
0 0 2 . −4
O sistema triangular equivalente será:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x + y + 2z = −1
0x − 3y + 4z = 2
0x + 0y + 2z = −4
O sistema terá solução única, portanto ele é um sistema SPD, e a sua solução será:
⎛
⎜
X = ⎝
1
2
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎠ ou x = ⎝
1
2
⎞
⎟
⎠
−2
−2
2 o : Sistema possível e indeterminado (SPI):
⎧
⎪⎨ x −
2x −
⎪⎩
3x −
2y + z = 1
5y + z = −2
7y + 2z = −1
⎛
⎞
1 −2 1 . 1
⎜
⎟
⎜
⎟
A|B = ⎜
⎝ 2 −5 1 . −2 ⎟
⎠
3 −7 2 . −1
⎛
⎞
1 −2 1 . 1
⎜
⎟
⎜
⎟
Depois de escalonado → A|B = ⎜
⎝ 0 −1 −1 . −4 ⎟
⎠
0 0 0 . 0
O sistema triangular equivalente será:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x − 2y + z = 1
0x − y − z = −4
0x + 0y + 0z = 0
O sistema terá infinitas soluções , portanto ele é um sistema SPI, e a sua solução será:
⎛
9 −
⎜
X = ⎝ 4 −
⎞ ⎛
3α 9 −
⎟ ⎜
α ⎠ ou x = ⎝ 4 −
⎞
3α
⎟
α ⎠ onde α ∈ IR
α
α

1.2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 17
3 o - Sistema impossível (SI):
⎧
⎪⎨ x + 2y − 3z = 4
3x − 1y + 5z = 2
⎪⎩
4x + y + 2z = −2
⎛
1 2
⎜
A|B = ⎜
⎝ 3 −1
4 1
⎞
−3 . 4
⎟
5 . 2 ⎟
⎠
2 . −2
⎛
⎞
1 2 −3 . 4
⎜
⎟
⎜
⎟
Depois de escalonado → A|B = ⎜
⎝ 0 −7 14 . −10 ⎟
⎠
0 0 0 . −8
O sistema triangular equivalente será:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x + 2y − z = 4
0x − 7y + 14z = −10
0x + 0y + 0z = −8
O sistema não terá solução , portanto ele é um sistema SI.
O Posto de uma matriz
O Posto de uma matriz Am×n é o número de linhas não nulas após o escalonamento. É denotado
por ’p’.
Exemplo:
x + y − z = 5 1 1 1
A =
2x + 2y + 2z = 9 2 2 2
1 1 1
Depois de escalonado →
0 0 0
Ou seja, o posto da matriz A é igual a 1.
O Posto de uma matriz ampliada é denotado por ’˜p’ e possui a mesma definição do posto de
uma matriz Am×n.
Exemplo:
⎛
⎞
x + y − z = 5
A|B = ⎝
1 1 1 . 5
⎠
2x + 2y + 2z = 10
2 2 2 . 10
⎛
⎞
Depois de escalonado → ⎝ 1 1 1 . 5 ⎠
0 0 0 . 0

18 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Ou seja, o posto da matriz A|B é igual a 1.
Observação : Para classificar um sistema basta observar se:
- p < ˜p → o sistema não possui solução .
- p = ˜p → o sistema tem solução .
Sendo p = ˜p pode ocorrer duas possibilidades;
p < n(números incógnitas)→ o sistema possui infinitas soluções .
p = n → o sistema tem solução única.
Sistemas Homogênios
(n − p = números de graus de liberdade.)
Sistema Linear homogênico, é aquele que os termos independentes das equações são todos
iguais a zero.
⎧
a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = 0
⎪⎨ a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = 0
.
. . . .. . .
⎪⎩
am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = 0
Esse sistema pode ser escrito como Ax = 0
Todo sistema homogêneo tem solução , e essa pode ser trivial ou nãotrivial.
Sistema Homogêneo: sempre tem solução
↓ ↓
Determinado: admite somente solução trivial Indeterminado: admite solução não trivial
Para resolver um sistema homogêneo, basta usar a matriz A no processo de escalonamento,
visto que a matriz dos termos independentes é nula.
Observação :
- Todo sistema homogêneo com menos equações que incógnitas (m < n) possui infinitas
soluções .

1.2. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 19
- Todo sistema homogêneo com menos incógnitas que equações (n < m) pode possuir solução
única ou infinitas soluções .
Exemplo:(m < n)
4x + 2y − z = 0
2x − y + z = 0
A =
4 2 1
2 −1 1
⎛
⎞
⎛
A|B = ⎝ 4 2 1 . 0 ⎠ Depois escalonando → ⎝ 4 2 1 . 0
2 −1 1 . 0
0 −2 1
⎞
⎠
. 0 2
A solução do sistema será a seguimte:
X =
⎛
⎜
⎝
− 1
3 α
α
4α
Exemplo:(n < m) com solução única.
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎛ ⎞
1 1 . 0
⎜ ⎟
⎜ ⎟
A|B = ⎜
⎝ 2 1 . 0 ⎟
⎠
3 1 . 0
⎞
⎟
⎠ ou x =
x + y = 0
2x + y = 0
3x + y = 0
A solução do sistema será a seguinte:
X =
Exemplo:(n < m) com infinitas soluções .
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎛ ⎞
1 1 . 0
⎜ ⎟
⎜ ⎟
A|B = ⎜
⎝ 2 2 . 0 ⎟
⎠
3 3 . 0
⎛
⎜
⎝
− 1
3 α
α
4α
A =
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠ ∀α ∈ IR.
1 1
2 1
3 1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎞
1 1 . 0
⎜
⎟
⎜
⎟
Depois escalonando → ⎜
⎝ 0 −1 . 0 ⎟
⎠
0 0 . 0
0
0
x + y = 0
2x + 2y = 0
3x + 3y = 0
ou x =
A =
0
0
⎛
⎜
⎝
1 1
2 2
3 3
⎞
⎟
⎠
⎛ ⎞
1 1 . 0
⎜ ⎟
⎜ ⎟
Depois escalonando → ⎜
⎝ 0 0 . 0 ⎟
⎠
0 0 . 0

20 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
A solução do sistema será a seguinte:
Proposição :
Seja A = (aij)m×n:
X =
α
−α
ou x =
α
−α
∀α ∈ IR.
a) Se X e Y são soluções do sistema homogêneo, AX = 0, então AX = O e AY = O. Portanto
X + Y também é solução pois;
A(X + Y ) = 0 ⇐⇒ AX + AY = 0
AX + AY = 0 ⇐⇒ 0 +0
b) Se x é solução do sistema homogêneo, AX = 0, então αX também é solução , pois;
1.3 APÊNDICE A
A(αX) = αAX ⇐⇒ α0 = 0
Sistemas Lineares: Método de Gauss-Jordan
Consiste em operar transformações elementares sobre as equações de um dado sistema linear
até que se obtenha um sistema diagonal equivalente. Para operar essas transformações , vamos
considerar:
• um k = 0, 1, 2, 3, ..., n − 1, onde ′ k ′ representa cada etapa do processo de eliminação da
variável xk das equações i = k;
• a notação a (k)
ij para denotar o coeficiente da linha ′ i ′ e da coluna ′ j ′ da k-ésima etapa, bem
como b (k)
i será o i-ésimo elemento da matriz dos termos independentes no final da etapa k;
• aij = 0;
• An×n;
E fazer uso do seguinte esquema:
Etapa ′ k ′ : Eliminar xk das equações i = ..., k − 1, k + 1, ..., n:

1.3. APÊNDICE A 21
• pivô: a (k−1)
kk
• multiplicadores: mik = a(k−1)
ik
a (k−1)
ik
• linhas da matriz resultante da Etapa ′ k ′ :
L (k)
Linhas:
i = L (k−1)
i
, para i = k
L (k)
i ←− L (k−1)
i − mik.Lk, para i = k
• matriz resultante da Etapa’k’: A (k) |B (k) ⎢
= ⎢
⎣
Exemplo:
⎡
a (k)
11 a ((k)
12 · · · a (k)
1n
a (k)
21 a (k)
.
22 · · · a (k)
2n
.
. .. .
a (k)
m1 a (k)
m2 · · · a (k)
mn
. b (k)
1
. b (k)
2
.
.
. b (k)
m
Resolva o seguinte sistema pelo método de Gauss-Jordan.
⎧
⎪⎨ x1
2x1 ⎪⎩
x1
+ x2
− x2
− x2
+ 2x3
− x3
− x3
= 4
= 0
= −1
=⇒ A (0) |B (0) ⎡
⎤
1 1 2 . 4
⎢
⎥
⎢
⎥
= ⎢
⎣ 2 −1 −1 . 0 ⎥
⎦
1 −1 −1 . −1
Etapa 1: Eliminar x1 das equações i = 2, 3;
• pivô: a (0)
11 = 1;
• multiplicadores: m21 = a(0)
21
a (0)
11
• Li:
L (1)
1 = L (0)
1
L (1)
2 ←− L (0)
2 − m21 · L (1)
1
L (1)
3 ←− L (0)
3 − m31 · L (1)
1
• a matriz resultante desta etapa é:
= 2, m31 = a(0)
31
a (0)
11
= 1
⎤
⎥
⎦

22 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
A (1) |B (1) ⎡
⎤
1 1 2 . 4
⎢
⎥
⎢
⎥
= ⎢
⎣ 0 −3 −5 . −8 ⎥
⎦
0 −2 −3 . −5
Etapa 2: Eliminar x2 das equações i = 1, 3;
• pivô: a (1)
22 = −3;
• multiplicadores: m12 = a(1)
12
a (1)
22
• Li:
L (2)
2 = L (1)
2
L (2)
1 ←− L (1)
1 − m12.L (2)
2
L (2)
3 ←− L (1)
3 − m32.L (2)
2
• A matriz resultante desta etapa é:
= −1
3 , m32 = a(1)
32
⎡
a (1)
22
= 2
3
1 0 1
3
0 0 1
3
. 4
3
A (2) |B (2) ⎢
⎥
⎢
⎥
= ⎢
⎣ 0 −3 −5 . −8 ⎥
⎦
Etapa 3: Eliminar x3 das equações i = 1, 2;
• pivô: a (2)
33 = 1
3 ;
• multiplicadores: mik = a(k−1)
ik
a (k−1)
kk
• Li:
L (3)
3 = L (2)
3
L (3)
1 ←− L (2)
1 − m13 · L (2)
3
L (3)
2 ←− L (2)
2 − m23 · L (2)
3
⎧
⎪⎨
=
⎪⎩
• A matriz resultante desta etapa é:
m13 = a(2)
13
a (2)
33
m23 = a(2)
23
a (2)
33
. 1
3
= 1
= −15
⎤

1.3. APÊNDICE A 23
A (2) |B (2) ⎡
⎤
1 0 0 . 1
⎢
⎥
⎢
⎥
= ⎢
⎣ 0 −3 0 . −3 ⎥
⎦
0 0 1
3
. 1
3
O sistema resultante desse processo é o sistema diagonal A (3) · x = b (3) :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
A solução do sistema é: x =
x1 + 0x2 + 0x3 = 1
0x1 − 3x2 + 0x3 = −3
0x1 + 0x2 + 1
3x3 1 = 3
⎡
⎢
⎣
1
1
1
⎤
⎥
⎦

24 CAPÍTULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES

Capítulo 2
Matriz Inversa e Determinantes
2.1 Matriz Inversa
2.1.1 Definição de matriz invertível ou não singular
Seja An×n,tal matriz é dita invertível se existir uma outra matriz B, que satisfaz.
(1) An×n · Bn×n = In×n
ou
(2) Bn×n · An×n = In×n
Caso exista um matriz um matriz B que satisfaz (1) e (2) esta matriz será única. Iremos
denotá-la por:
A −1 · A = I
Se A não tem inversa, dizemos que A é singular ou não invertível.
25

26 CAPÍTULO 2. MATRIZ INVERSA E DETERMINANTES
Exemplo:
Seja:
A =
A · B =
B · A =
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
1 2 3
1 1 2
0 1 2
1 2 3
1 1 2
0 1 2
⎤
⎤
⎥
⎦ ·
⎥
⎦ e B =
⎡
⎢
⎣
0 1 −1
2 −2 −1
−1 1 1
2.1.2 Propriedades da inversa
⎡
⎢
⎣
0 1 −1
2 −2 −1
−1 1 1
⎤
⎥
⎦ ·
⎡
⎢
⎣
0 1 −1
2 −2 −1
−1 1 1
1 2 3
1 1 2
0 1 2
⎤
⎥
⎦ =
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
i) Se An×n tem inversa (A −1 ) e Bn×n tem inversa (B −1 ), então A · B tem inversa, e vale
(A · B) −1 = B −1 · A −1 .
Prova:
(A · B) · (B −1 · A −1 ) = I
A · B · B −1 · A −1 = I
A · I · A −1 = I
A · A −1 = I
Exemplo:
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦

2.1. MATRIZ INVERSA 27
Considere as matrizes A−1
3 2
=
1 3
e B−1 (A · B)
2 5
= . A partir delas calcule:
3 −2
−1
Solução :
(A · B) −1 = B −1 · A −1 =
2 5
3 −2
·
3 2
1 3
ii) Se A é invertível, então A −1 também é. Além disso vale:
(A −1 ) −1 = A
=
11 19
7 0
iii) Se A = (aij)n×n é invertível, antão A t também é. Além disso vale:
(A t ) −1 = (A −1 ) t
iv) Se A tem inversa e é simétrica, então A −1 também será simétrica.
A −1 = (A −1 ) t
2.1.3 O uso do método de Gauss-Jordan para a inversão de matrizes
Se uma matriz A pode ser reduzida à identidade, por uma sequência de operações elementares
nas linhas, então A é invertível, e a matriz inversa de A é obtida a partir da matriz identidade,
aplicando-se a mesmas operações nas linhas. Aplicando esses processos simultâneamente temos:

28 CAPÍTULO 2. MATRIZ INVERSA E DETERMINANTES
Exemplo:
Seja A =
Solução :
⎡
⎢
⎣
An×n
1 2 3
1 1 2
0 1 2
. In×n
⎤
→ Gauss − Jordan →
⎥
⎦ ,encontre A −1 caso exista.
In×n
. A −1
A −1 ⎡
⎤
1 2 3 . 1 0 0
⎢
⎥
⎢
⎥
= ⎢
⎣ 1 1 2 . 0 1 0 ⎥
⎦
0 1 2 . 0 0 1
L (1)
2 = (−1)L (0)
1 + L (0)
⎡
⎤
1 2 3 . 1 0 0
⎢
⎥
⎢
⎥
2 → ⎢
⎣ 0 −1 −1 . −1 1 0 ⎥
⎦
0 1 2 . 0 0 1
→ L (1)
3 = L (1)
2 + L (0)
⎡
⎤
1 2 3 . 1 0 0
⎢
⎥
⎢
⎥
3 = ⎢
⎣ 0 −1 −1 . −1 1 0 ⎥
⎦
0 0 1 . −1 1 1
p = 3 e n = 3 ⇐⇒ p = n.
Então a inversa existe. Assim podemos prosseguir...
⎡
⎤
1 2 3 . 1 0 0
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎣ 0 −1 −1 . −1 1 0 ⎥ → L(1)
⎦ 1 = (−3)L
0 0 1 . −1 1 1
(1)
3 + L (0)
1 e L (2)
2 = L (1)
2 + L (1)
3 →
⎡
⎤
1 2 0 . 4 −3 −3
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎣ 0 −1 0 . −2 2 1 ⎥ → L(2)
⎦ 1 = 2L
0 0 1 . −1 1 1
(2)
2 + L (1)
1 e L (3)
2 = (−1)L (2)
2 →

2.1. MATRIZ INVERSA 29
⎡
⎤
1 0 0 . 0 1 −1
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎣ 0 1 0 . 2 −2 −1 ⎥
⎦
0 0 1 . −1 1 1
→ A−1 ⎡
⎤
0 1 −1
⎢
⎥
= ⎣ 2 −2 −1 ⎦
−1 1 1
2.1.4 Aplicação a criptografia
Uma maneira de criptografar um mensagem é através de multiplicação de matrizes.
Em que:
M é a matriz codificadora
X é a mensgem que se deseja transmitir
Y é a matriz codificada
MX = Y
Através da tabela de conversão de caracteres em números, pode-se codificar uma mensagem.

30 CAPÍTULO 2. MATRIZ INVERSA E DETERMINANTES
a b c d e f g h i j k l m n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
o p q r s t u v w x y z à a´ â
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
ã ç é ê í ó ô õ ú ü A B C D E
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
F G H I J K L M N O P Q R S T
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
U V W X Y Z Á A´ Â Ã Ç É Ê Í Ó
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74
Ô Õ Ú Ü 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 :
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
; ¡ = ¿ ? @ ! ” # $ % & ’ ( )
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104
* + , - . / [ \ ] { | }
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117
Exemplo:
Considere a seguinte mensagem codificada:
]Fofrov&!
Sabendo que MX = Y é a matriz codificada e M3×3 =
descodifique a mensagem Y .
Resolução :
⎡
⎢
⎣
1 2 0
0 1 1
0 0 1
Sabe-se que X é a matriz da mensagem que se deseja transmitir. Então temos que:
⎤
⎥
⎦,

2.1. MATRIZ INVERSA 31
1 o Passo: Obter a matriz inversa M −1 .
MX = Y =⇒ X = M −1 Y
Sabemos pela definição de matriz inversa que M · M −1 = I3. Usaremos neste caso o Método
de Gauss-Jordan.
⎡
⎤
1 2 0 . 1 0 0
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎣ 0 1 1 . 0 1 0 ⎥
⎦
0 0 1 . 0 0 1
Então M −1 =
⎡
⎢
⎣
1 −2 2
0 1 −1
0 0 1
2 o Passo: Obter a matriz Y
=⇒ após o escalonamento =⇒
⎤
⎥
⎦
⎡
⎤
1 0 0 . 1 −2 2
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎣ 0 1 0 . 0 1 −1 ⎥
⎦
0 0 1 . 0 0 1
Sabemos que Y é a matriz codificada. Para obtê-la basta substituir (usando a tabela) seus
respectivos valores.
Y =
⎡
⎢
⎣
] f v
F r &
o o !
⎤
⎥
⎦ =
3 o Passo: Substituir na fórmula: X = M −1 · Y .
⎡
⎢
⎣
113 6 22
45 18 101
15 15 96
⎤
⎥
⎦

32 CAPÍTULO 2. MATRIZ INVERSA E DETERMINANTES
X =
⎡
⎢
⎣
1 −2 2
0 1 −1
0 0 1
⎤
⎥
⎦ .
Substituindo os números pelos caracteres...
Então a frase é: Não cole!.
2.2 Determinantes
⎡
⎢
⎣
X =
113 6 22
45 18 101
15 15 96
⎡
⎢
⎣
N l
ã c e
o o !
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
53 18 12
30 3 5
0 15 96
Se uma matriz é quadrada, a ela podemos associar um número denominado determinante.
Determinante de uma matriz A1×1
A =
Determinante de uma matriz A2×2
A =
a b
c d
Determinante de uma matriz A3×3
a
, então detA = a.
, então detA = (a.d) − (b.c)
⎤
⎥
⎦

2.2. DETERMINANTES 33
Para o cálculo do determinante de uma matriz A3×3 (talvez) o mais prático, seria usarmos o
que se denomina Regra de Sarrus.
Exemplo:
A =
⎡
⎢
⎣
a b c
d f g
h i j
Repetimos a 1 o e a 2 o coluna à direita da 3 o coluna.
⎡
⎤
a b c . a b
⎢
⎥
⎢
⎥
detA = ⎢
⎣ d e f . d e ⎥
⎦
g h i . g h
Então o det A = (a.e.i + b.f.g + c.d.h) − (c.e.g + a.f.h + b.d.i)
Exemplo:
Calcule o determinante da matriz A3×3 =
⎡
⎢
⎣
⎤
⎥
⎦
1 0 3
4 2 3
−1 1 2
⎤
⎥
⎦ , usando a Regra de Sarrus.
⎡
⎤
1 0 3 . 1 0
⎢
⎥
⎢
⎥
detA = ⎢
⎣ 4 2 3 . 4 2 ⎥ = (1.2.2+0.3.(−1)+3.4.1)−(3.2.(−1)+1.3.1+0.4.2) = 19
⎦
−1 1 2 . −1 1
Determinante de uma matriz An×n
Cofator
O cofator de um elemento aij de uma matriz quadrada, é o resultado do produto de (−1) i+j
pelo determinante, obtido pela eliminação da linha e da coluna do elemento aij.

34 CAPÍTULO 2. MATRIZ INVERSA E DETERMINANTES
cof(aij) = (−1) i+j · det Aij
Sendo que Aij é a matriz que se obtem de A suprindo-se uma i-ésima linha e sua j-ésima
coluna.
Exemplo:
Determine o cofator do elemento a12 da matriz:
Teorema de Laplace
cof(a12) = (−1) 1+2 · det
0 4
−2 6
cof(a12) = (−1) · [0 · 6 − (−2) · 4]
cof(a12) = (−1)(8)
cof(a12) = −8
Seja A = (aij)n × n com n ≥ 2. O determinante de A é obtido da seguinte forma.
i) Escolhemos em A uma linha (ou coluna) qualquer;
ii) Construirmos os produtos de cada elementto dessa linha (ou coluna) pelo seu cofator;
iii) Somamos os produtos, assim obtemos:
detA = cof(a11) · cof(a11) + cof(a12) · cof(a12) + cof(a13) · cof(a13)
detA = 2 · 17 + 3 · (−44) + (−1) · (−111)
detA = 34 − 132 + 111
detA = 13
Determinante de uma matriz triangular superior ou inferior

2.2. DETERMINANTES 35
Se os elementos situados abaixo ou acima da diagonal principal de uma matriz são todos nulos,
o determinate dessa matriz é o produto dos elemtos da diagonal principal.
Exemplo:
⎡
⎢
Seja U = ⎢
⎣
Resolução :
−5 6 3 12
0 3 0 6
0 0 −8 9
0 0 0 5
⎤
⎥
⎥,
calcule o determinante:
⎦
Basta multiplicar os elementos da diagonal principal.
detU = (−5) · 3 · (−8) · 5 = 600
2.2.1 O uso do determinante na resolução de um sistema linear
Regra de Cramer
Seja o sistema
Temos que:
A =
a11 a12
a21 a22
a11x1 + a12x2 = b1
a12x1 + a22x2 = b2
, é a matriz dos coeficientes e
b1
b2
, é os termos independentes.
A1 é matriz obtida de A,substituindo-se a coluna dos coeficentes de x1 pela coluna dos termos
independentes.
A1 =
b1 a12
b2 a22

36 CAPÍTULO 2. MATRIZ INVERSA E DETERMINANTES
A2 é a matriz obtida de A, substituindo-se a coluna dos coeficientes de x2 pela coluna de
termos independentes.
A2 =
Os valores de x1 e x2 serão obtidos por:
x1 =
det A1
det A
a11 b1
a21 b2
x2 =
det A2
det A
Exemplo: Resolva o sistema de equações lineares pela Regra de Cramer.
Resolução :
Temos então que:
2x + 3y = 7
x − y = 1
2 3
det A = = −2 − 3 = −5
1 −1
7 3
det A1 = = −7 − 3 = −10
1 −1
2 7
det A2 = = 2 − 7 = −5
1 1
det A1
x1 =
det A → x1 = −10
= 2
−5
det A2
x2 =
det A → x2 = −5
= 1
−5

2.2. DETERMINANTES 37
Solução : x1 = 2, x2 = 1
Discussão de um sistema linear pelo determinante
Seja o sistema linear de n equações e n incógnitas AX = B, com A = (aij)n×n para n ≥ 2.
Esse sistema será:
Possível e determinado → detA = 0
Possível e indeterminado →
Impossível →
det A = 0
det Aj = 0
det A = 0
pelo menos um detAj = 0
2.2.2 Propriedades de determinantes
i) Seja An×n e Bn×n;
det (A.B)= det A · det B
ii) O determinante de uma matriz An×n é o de sua transposta sãoiguais;
det A = det A t
iii) Ao trocarmos duas linhas (ou colunas) de uma matriz, muda-se o sinal do determinante,
ou seja:

38 CAPÍTULO 2. MATRIZ INVERSA E DETERMINANTES
Observação :
det B = − det A
Se efetuarmos um número ímpar de trocas de linhas (ou colunas), o determinante muda o
sinal. Mas se efetuarmos um número par de trocas, o sinal do determinante não altera.
iv) Se duas linhas (ou colunas) forem iguais, o determinante é igual a zero (det = 0);
v) Se uma linha (ou coluna) de uma matriz A é multiplicada por um número α, o determinante
da matriz B resultante será:
det B = α. det A
vi) det(α.An×n) = α n . det A, em que:
•α é um escalar;
• n é o número de linhas (ou colunas) da matriz An×n.
vii) Se uma linha (ou coluna) de uma matriz An×n é nula, o seu determinante é igual a zero.
Os determinantes e a matriz inversa
A existência da matriz inversa
Uma matriz A é invertível, isto é, existe A −1 , se o determinante detA for diferente de zero
(det A = 0).
Propriedades:

2.2. DETERMINANTES 39
Se a matriz A é invertível, det A −1 = 1
det A .
Demonstração :
Se A é invertível, sabemos que:
A −1 · A = In
det(A −1 · A) = det In
det A −1 · det A = 1
det A −1 = 1
det A
Mais exemplos:
Sejam A e B matrizes n × n, tais que o det A = −12 e det B = 4. Calcule o det(A t · B) −1 .
Resolução :
det(A t · B) −1 = 1
(A t ·B) = 1
det A·det B
Exemplo 2:
= 1
(−12)·4
= −1
48
Se A é uma matriz 3×3 e det A = 3, então det( 1
2 .A−1 ) é?
Resolução :
det( 1
2 A−1 ) = 13
2 3 · det A −1 = 1
8 · 1
det A
1 1 = · 8 3
= 1
24
Calculo do determinante de uma matriz usando o escalonamento
Em uma matriz A, se o produto de uma linha (ou coluna) por um número é somado a outra

40 CAPÍTULO 2. MATRIZ INVERSA E DETERMINANTES
linha (ou coluna), então o determinante da matriz B resultante é igual ao det A.
Exemplo:
Calcule o determinante da matriz A2×2 =
Resolução :
A2×2 =
4 6
8 5
Então det A = 4 · (−7) = −28
4 6
8 5
=⇒ L (1)
2 = (−2)L (0)
1 + L (0)
2 =
.
4 6
0 −7
Já em outra matriz A, quando o produto de uma linha (ou coluna), por um escalar é somado
a outra linha também multiplicada por um escalar, então o determinante da matriz B resultante é
diferente do determinante de A.
Exemplo:
Calcule o determinante da matriz A2×2 =
Resolução :
A2×2 =
Chamando de B =
5 3
4 1
5 3
0 −7
5 3
4 1
=⇒ L (1)
2 = (−4)L (0)
1 + (5)L (0)
2 =
, sempre que det B = 5 · det A
.
5 3
0 −7