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Resolução das atividades complementares
Matemática
M10 — Progressões
p. 46
1 (UFBA) A soma dos 3o e 4o termos da seqüência abaixo é:
⎧a1
5 18
⎨
n 1 1
*
⎩a
n 1 1 5 18 1( 2 1)
? a n,
n IN
a) 236 c) 0 e) 36
b) 218 d) 18
Resolução:
⎧a1
5 18
⎨
n 1 1
*
⎩a
n 1 1 5 18 1( 2 1)
? a n,
n IN
a 5 18 1 (21) 2 2 ? a 5 18 1 18 5 36
1
a 518 1 (21) 3 3 ? a 5 18 2 36 5 218
2
a 5 18 1 (21) 4 4 2 a 5 18 2 18 5 0
3
a 1 a 5 218 1 0 5 218
3 4
2 (UERN) A seqüência de números positivos (x, x 1 10, x2 , ...) é uma progressão aritmética, cujo
décimo termo é:
a) 94 c) 101 e) 105
b) 95
Resolução:
d) 104
(x, x 1 10, x2 , ...) → PA de números positivos
2(x 1 10) 5 x 1 x2 x2 2 x 2 20 5 0
9
x 5
2
x
x 4 (não convém)
1
5 5
5 2
PA: (5, 15, 25, ...)
a 1 5 5; r 5 10
a 10 5 a 1 1 9r 5 5 1 9 ? 10 [ a 10 5 95

3 (UFJF-MG) Em 2004, foi realizada, em Atenas, a 28 o Olimpíada da era moderna, evento esportivo que
acontece de quatro em quatro anos.
Com base nessas informações, pode-se afirmar que a edição da Olimpíada de 1948 e o ano de 50 a Olimpíada
da era moderna, supondo que não haja interrupção, são, respectivamente:
a) 14 a e 2200 c) 15 a e 2086 e) 17 a e 2092
b) 15 a e 2204 d) 14 a e 2092
Resolução:
Do enunciado, temos:
a 28 5 2004 e r 5 4
Logo:
a 28 5 a 1 1 27 r → 2004 5 a 1 1 27 ? 4 → a 1 5 1896
Daí, vem:
1948 5 1896 1 (n 2 1) ? 4 → 52 5 4n 2 4 → n 5 14
a 50 5 a 1 1 49 r → a 50 5 1896 1 49 ? 4 → a 50 5 2092
4 (UFG) Um reservatório de água tem a forma de um cubo de arestas 10 m. Por causa de um
vazamento, a cada hora perde-se 5% do volume total do reservatório.
a) Se o reservatório estiver completamente cheio no início do vazamento, em quanto tempo ele estará
vazio?
b) Se o vazamento permanecer por 12 horas, quantos litros de água restarão no reservatório?
Resolução:
a) O volume total é igual a:
v 5 a3 → v 5 103 → v 5 1 000 m3 A cada hora perde-se 5%: V 5 0,05 ? 1 000 5 50 m3 20 h
Portanto, temos a PA:
1 h → 950
400 000 ,
2 h → 900
3 h → 850
→
r 5 250
a1
5 950
n h → 0
Assim:
a 5 a 1 (n 2 1) r → 0 5 950 1 (n 2 1) (250)
n 1
50n 5 1 000
n 5 20 horas
b) a 5 a 1 11r → a 5 950 1 11 ? (250)
12 1 12
a 5 400 m 12 3
Em litros, temos 400 000 litros
Resposta: a) 20 h b) 400 000 ,

5 (UFPel-RS) A Matemática está presente em cada momento do nosso cotidiano, desde a criação do
mundo. Como exemplo, podemos citar a origem da vida por meio de divisão celular, a divisão do tempo em
milênios, séculos, anos etc.
A aplicabilidade dessa ciência, no dia-a-dia, é comprovada até mesmo pelas pessoas que não tiveram
muita escolaridade e que, contudo, são capazes de administrar esse conhecimento muito bem. Numa área
reservada para o plantio de eucaliptos, o espaçamento das mudas – dispostas em fileiras – deve ser de 2,5 m,
e a plantação deverá iniciar a uma distância de 1 m das extremidades do terreno.
Baseando-se no texto, em seus conhecimentos e considerando que as fileiras tenham o mesmo número de
mudas tanto na horizontal quanto na vertical, determine:
a) a quantidade máxima que pode ser plantada num terreno retangular, cujas medidas são x 1 3 e x 1 5 e
cuja área é igual a 899 m2 ; 144 mudas
b) a menor área e o menor perímetro do terreno para que haja o plantio de 289 mudas de eucalipto.
1 681 m2 e 164 m
Resolução:
a) A área do retângulo é dada pelo produto da base pela altura. Logo:
2
x 5 26
( x 1 3)( x 1 5) 5 899 → x 1 8x 2 884 5 0
x 5 234
( não serve)
Os lados do terreno medem:
x 1 3 5 26 1 3 5 29 m
x 1 5 5 26 1 5 5 31 m
Sendo n, o número de plantas e fazendo os cálculos para os lados, temos:
a n 5 a 1 1 (n 2 1) r → 31 5 1 1 (n 2 1) ? 2,5
n 5 13
a n 5 a 1 1 (n 2 1) r → 29 5 1 1 (n 2 1) ? 2,5
n5 12,2
Como as fileiras têm o mesmo número de mudas tanto na horizontal quanto na vertical, o
número de plantas considerado por fileira é 12, o que resulta num total de 144 mudas.
b) A menor área possível é a de um terreno quadrado de lado ,, então n 2 5 289, sendo n o número
de mudas. Logo:
n 2 5 289 → n 5 17 ou n 5 217 (não serve)
Portanto, devemos ter 17 mudas em cada fileira.
Daí, vem:
a n 5 1 1 (17 2 1) ? 2,5 → a n 5 41
menor área do terreno 5 , 2 5 41 2 5 1 681 m 2
menor perímetro do terreno 5 41 ? 4 5 164 m
Resposta:
a) 144 mudas
b) 1 681 m 2 e 164 m

6 (UFPB) Uma escada foi feita com 210 blocos cúbicos iguais, que foram colocados
uns sobre os outros, formando pilhas, de modo que a primeira pilha tinha apenas
1 bloco, a segunda, 2 blocos, a terceira, 3 blocos, e assim sucessivamente,
até a última pilha, conforme a figura ao lado.
A quantidade de degraus dessa escada é:
a) 50 c) 30 e) 10
b) 40 d) 20
Resolução:
A progressão aritmética que representa os blocos é:
PA (1, 2, 3, 4, ..., n, ...)
a 5 a 1 (n 2 1) r → a 5 1 1 (n 2 1) ? 1 → a 5 n
n 1 n n
(a1 1 a n)n
(1 1 n)n
Sn
5
→ 210 5
2
2
2
n 5 20
n 1 n 2 420 5 0
n 5 221
( não serve)
O número de degraus é 20.
7 (UFMT) Em uma clínica ortodôntica são atendidos 30 clientes diários de segunda a sexta-feira. Para
redimensionar a estrutura física, a clínica passará a atender da seguinte maneira: dois clientes no primeiro
dia do mês, quatro no segundo, seis no terceiro, oito no quarto e assim sucessivamente. Considerando que
essa clínica atende 20 dias por mês, o número de clientes atendidos, em um mês, será reduzido em:
a) 35% c) 40% e) 70%
b) 30%
Resolução:
No primeiro caso, temos:
30 ? 20 5 600 clientes
d) 25%
No redimensionamento, temos:
2 1 4 1 6 1 8 1 10 1 ...
No 20o dia, o número de clientes será:
a 5 a 1 19r → a 5 2 1 19 ? 2
20 1 20
a 5 40 clientes
20
Logo:
S20
5
( a1 1 a 20)
n
2
→ S20
5
(2 1 40) ? 20
2
S20 5 420 clientes
A redução é de:
600 2 420
600
5
180
600
5 0, 30 5
30%

8 (UFBA) As medidas dos lados de um triângulo ABC formam uma PA de razão igual a 1.
^
Determine a altura do triângulo ABC, relativa ao lado AB, sabendo que AC , AB , BC e cos(ABC) 5 3
5 .
Resolução:
12
D
x
n 1
B
Considerando n, n 1 1 e n 1 2 as medidas dos lados AC, AB e BC, respectivamente, do triângulo
ABC e usando a lei dos cossenos nesse triângulo, tem-se:
2 2 2 2
n 5 ( n 1 1) 1 ( n 1 2) 2 2( n 1 1)( n 1 2)
?
3
n 5 13
→ n 2 12n 2 13 5 0
5
n 5 21
Sendo n a medida do lado AC do triângulo ABC, o valor a ser considerado é 13.
Portanto, aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos DAC e BDC e considerando a medida de
DC igual a h, tem-se o sistema:
2 2 2
⎧h
1 x 5 13
⎨ 2 2 2
⎩h
1 ( 14 2 x)
5 15
Subtraindo as duas equações, tem-se: x2 2 (14 2 x) 2 5 169 2 225 → x 5 5.
Substituindo-se o valor de x na equação h2 1 x2 5 132 , obtém-se h2 5 169 2 25 5 144.
Logo, h 5 12u.c.
9 (MACK-SP) A caixa d’água reserva de um edifício, que tem capacidade para 25 000 litros, contém, em
determinado dia, 9 600 litros. Contrata-se uma empresa para fornecer 400 litros de água nesse dia, 600 litros
no dia seguinte, 800 litros no próximo, e assim por diante, aumentando em 200 litros o fornecimento de
cada dia. O número de dias necessários para que a caixa atinja a sua capacidade total é:
a) 11 c) 14 e) 10
b) 13 d) 12
Resolução:
Sendo V o volume em litros que falta para a caixa atingir a capacidade total antes de se contratar a
empresa, do enunciado temos:
V 5 25 000 2 9 600 [ V 5 15 400
Seja n a quantidade de dias necessários para que a caixa atinja a sua capacidade total. Devemos ter:
400 1 600 1 800 1 ... 1 a 5 15 400 (I)
n
Ainda, a 5 400 1 (n 2 1) ? 200 [ a 5 200n 1 200 (II)
n n
De (I) e (II), vem:
(400 1 200n 1 200)
? n
5 15 400
2
2
n 1 3n 2 154 5 0
h
n 2
A C
n
n 5 11
n 5 214
(não convém)
[ n 5 11

10 (Unifor-CE) As distâncias que seis trabalhadores percorrem diariamente para ir de suas casas à
fábrica onde trabalham são numericamente iguais aos termos de uma PA. Se a casa mais próxima da fábrica
fica a 1 km dela e a mais distante, a 8,5 km, a soma das distâncias que os seis percorrem diariamente para ir
de suas casas até a fábrica, em quilômetros, é igual a:
a) 20 c) 25 e) 30
b) 22,5
Resolução:
d) 28,5
Do enunciado, temos a seguinte PA
de seis termos:
1; ___; ___; ___; ___; 8,5
Daí, vem:
a 5 a 1 (n 2 1) r → 8,5 5 1 1 (6 2 1) ? r
n 1
7,5 5 5r
r 5 1,5
A soma dos termos dessa PA é igual a:
a 1 a n n
8,5)6
S 5
S 5
n
6
S 28,5 km
6
1
( ) 1
( 1
→
2
2
→ 5
→
Em questões como a 11, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.
11 (UFPR) Uma empresa de autopeças vem sofrendo sucessivas quedas em suas vendas a partir de
julho de 2002. Naquele mês, ela vendeu 100 000 peças e, desde então, a cada mês tem vendido 2 000 peças
a menos. Para reverter essa tendência, o departamento de marketing da empresa resolveu lançar uma
campanha cuja meta é aumentar o volume de vendas à razão de 10% a.m. nos próximos seis meses, a partir
de janeiro de 2004. A respeito das vendas dessa empresa, é correto afirmar:
(01) Neste mês de dezembro, se for confirmada a tendência de queda, serão vendidas 66 000 peças.
(02) O total de peças vendidas nos últimos 12 meses, até novembro de 2003, inclusive, é de 900 000 peças.
(04) Se a meta da campanha for atingida, os números de peças vendidas mês a mês, a partir do seu
lançamento, formarão uma PA de razão 10.
(08) Se a meta da campanha for atingida, o número de peças a serem vendidas no mês de março de 2004
será superior a 80 000.
(16) Se a campanha não for lançada e as vendas continuarem na mesma tendência de queda, daqui a 24
meses a empresa não estará mais vendendo peça alguma. 1 1 8 5 9
Resposta:
01. (Verdadeira)
04. (Falsa)
Pelos dados, temos a PA (100 000, 98 000, 96 000, ...), A proposição é falsa, pois a PG
com a 5 julho de 2002 (100 000) e
será de razão 1,1.
1
a 5 dezembro de 2003.
18 08. (Verdadeira)
Logo, a 5 a 1 (n 2 1) ? r
n 1 a 5 a ? q n 1
a 5 a 5 100 000 1 (18 2 1) ? 22 000
18 n
a 5 66 000 peças
18
02. (Falsa)
a 5 novembro de 2002 → a 5 a 1 (6 2 1) ? r
6 6 1
a 5 100 000 1 5 ? 22 000
6
a 5 90 000 peças
6
a 5 novembro de 2003 → a 5 100 000 1 (17 2 1) ? 22 000
17 17
a 5 68 000 peças
17
( a 1 a ) ? n
1 n ( 90 000 1 68 000) ? 12
S 5 → S 5
n
2
2
S 5948
000 peças
n 2 1 , em que
a 5 66 000, q 5 1,1 e n 5 3.
1
Logo, a 5 66 000 ? (1,1) 3 3
a 5 66 000 ? 1,331
3
a 5 87 846 peças
3
16. (Falsa)
a 5 a 1 (24 2 1) ? r
24 1
a 5 100 000 1 23 ? (22 000)
24
a 5 100 000 2 46 000 5 54 000
24

12 (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s):
(01) Se f(x) 5 3x 1 a e a função inversa
x
de f é g(x) 5 1 1, então a 5 23.
3
(02) Se (a ) e (b ) são duas progressões
n n
aritméticas, então (a n 1 b n ) é uma PA.
2
(04) A equação x 1 1 5 x 2 1 não tem
solução real.
Resolução:
01. (Verdadeira)
x a
y 5 3x 1 a x 5 3y 1 a y 5
3
x a
y
3 3
x a
f (x)
3 3
f (
2
→ →
5 2
21
5 2
21
x a x
x) 5 g(x) → 2 5 11
3 3 3
a
2 51
3
a 523
02. (Verdadeira)
Sejam:
a → a , a , a , a , ... 5
n 1 2 3 4
5 a , a 1 r , a 1 2r , a 1 3r , ...
1 1 1 1 1 1 1
b → b , b , b , b , ... 5
n 1 2 3 4
5 b , b 1 r , b 1 2r , b 1 3r , ...
1 1 2 1 2 1 2
a 1 b 5 a 1 b 1 a 1 b 1 r 1 r 1
n n 1 1 1 1 1 2
1 a 1 b 1 2r 1 2r , a 1 b 1 3r 1 3r , ...
1 1 1 2 1 1 1 2
a 1 b 5 (a 1 b ) 1 (a 1 b 1 r) 1
n n 1 1 1 1
1 (a 1 b 1 2r) 1 (a 1 b 1 3r), ...
1 1 1 1
A seqüência é uma PA de 1
p. 54
13
⎛ 1
(Unifor-CE) O número de termos da progressão ,
⎝
⎜
125
1
,
25
1 ⎞
, ..., 3 125
5 ⎠
⎟ é:
a) 5 c) 7 e) 9
b) 6 d) 8
o termo
(a 1 b ) e razão r 5 r 1 r 1 1 1 2
(08)
4 2 4
4 1 4
3 1 x x 2 3
x x 2 3
564 para todo x real.
(16) n
2
21
5n 21
para todo número inteiro n.
n 11 1 1 2 1 4 5 7
04. (Verdadeira)
2
x 1 1 5 x 2 1 →
(
2
2
2
x 1 1 ) 5 ( x 2 1)
→
→
2 2
x 1 1 5 x 2 2x 1 1 →
→ 22x 5 0 → x 0
Verificação: 0 1 0 1
1 1
1 1
2
5
1 5 2
5 2
2 [ S 5
08. (Falsa)
3 1 x x 2 3
4 2 4
x x 2 3
4 1 4
5
3 x x 23
4 ? 4 2 4 ? 4
x x 23
4 1 4 ? 4
5
5
x
x
64 ? 4 2
4
64
x
x
4 1
4
64
5
x x
4 096 ? 4 2 4
64
x x
64 ? 4 1 4
64
5
5
x
4 (4 096 2 1)
x
4 ( 64 1 1) 5
4 095
65
5 63 para todo x real.
16. (Falsa)
2
n 2 1
5 n 2 1 não se define para n 5 2 1.
n 1 1
Resolução:
1
1
a 5 ; a 1 n
125
5 3 125; q 5
25
1
5 5 an 5 a1 n 2 1
? q
1
→ 3 125 5 ? 5
125
125
5
→ 5
n 5 9
5
23 5
n 2 1
? 5
n 2 1
→

14 Os números x,
geométrica. Calcule:
x e log (10x) são, nessa ordem, os três primeiros termos de uma progressão
2
a) o 1o termo x b) o 5o 1
x 5
5
termo 5
Resolução:
a)
x
x
log (10x) 2 5 , onde x . 0 [ log (10x) 5 1
2
x
1
x 5
5
1
b) a 5 ; a
1 2
5
5
5
; a 3
5
5 1 [ q 5 5
a 5 1 ? 5 5 5 a 5 5 ? 5 5 5
4 5
15 (Unitau-SP) Calcule o valor de x, de modo que a seqüência (3x 1 1 , 34 2 x , 33x 1 1 ) seja uma progressão
geométrica. 1
Resolução:
4 2 x
3
x 1 1
3
3x 1 1
3
5 4 2 x
3
→ 8 2 2x 5 4x 1 2 → x 5 1
16 (UFOP-MG) Numa progressão geométrica, a 5 1 e a 5 9. Determine n, sabendo que a 5 6 561. 5
1 2 n
Resolução:
9
a 5 1; a 5 9 → q 5 5 9
1 2
1
an 5 a1 n 2 1
? q
n 2 1
→ 6 561 5 1 ? 9
8
3
2(n 2 1)
5 3 → 8 5 2n 2 2 → n 5 5
17 (UFRGS) Para pagar uma dívida de x reais no seu cartão de crédito, uma pessoa, após um mês,
passará a fazer pagamentos mensais de 20% sobre o saldo devedor. Antes de cada pagamento, será lançado
juro de 10% sobre o saldo devedor. Efetuados 12 pagamentos, a dívida, em reais, será:
a) zero c) (0,88) 12x e) (1,1) 12x b) x
12
d) (0,92)12x Resolução:
Sendo x o saldo devedor, a cada mês serão acrescidos a esse saldo 10% de juros e, em seguida,
descontados 20% a título de pagamento, gerando um novo saldo devedor de x ? 1,1 ? 0,8 5 0,88 x.
Como a cada mês o procedimento se repete, cada novo saldo devedor corresponderá ao anterior
multiplicado por 0,88, gerando uma seqüência do tipo x; 0,88x; (0,88) 2x; (0,88) 3x; ..., que é uma PG
de 1o termo x e razão 0,88, na qual cada novo saldo devedor é dado por (0,88) n 2 1x, sendo n o no de
termos da seqüência.
Após 12 pagamentos, estaremos no 13o termo da seqüência, ou seja, A 5 (0,88) 13 13 2 1 x 5 (0,88) 12x.

18 (UEM-PR) Os números x, y e z formam uma PA crescente cuja soma é igual a 48. Somando-se 8
unidades a z, a nova seqüência passa a formar uma PG. Calcule o valor de z. 24
Resolução:
Considerando as duas afirmações:
a) (x, y, z) é uma PA crescente de soma 48; logo:
S3
x z 3
2
x z x 32 z
x z
y
2
y
2
y
5
( 1 ) ?
5 48 → 1 5 32 → 2 5
1
5 →
32
5 → 5 16
b) (x, y, z 1 8) é uma PG, daí:
2
y
2
5 x ? ( z 1 8) → 16
2
5 x ? (32 2 x 1 8) → 256 5 40x 2 x →
2
x 2 40x 1 256 5 0
5 1 600 2 1 024
5 576
40 24
x 5 5
2
x 5 32
x
5 8
Como a PA é crescente, x
[ z 5 24
5 8: (8, 16, 24)
19 (Fuvest-SP) Três números positivos, cuja soma é 30, estão em PA. Somando-se, respectivamente, 4,
24 e 29 ao 1o , 2o e 3o termos dessa PA, obtemos três números em PG. Então, um dos termos da PA é:
a) 9 c) 12 e) 15
b) 11 c) 13
Resolução:
Seja (x 2 r, x, x 1 r) a PA.
Se a soma dos termos é igual a 30, temos: x 2 r 1 x 1 x 1 r 5 30 → 3x 5 30 → x 5 10
Somando-se 4, 24 e 29, nessa ordem, aos termos da PA, temos a PG (10 2 r 1 4, 10 2 4, 10 1 r 2 9),
ou ainda (14 2 r, 6, 1 1 r).
2 2
Na PG, teremos: 6 5 (14 2 r) ? (1 1 r) → 36 5 14 1 14r 2 r 2 r →
2
r 2 13r 1 22 5 0
5 169 2 88 5 81
13 9
r 5
2
5
r 5 11 (não
convém)
r 5 2 [ r 5 2 e a PA procurada é (8, 10,
12).
20 (UENF-RJ) Numa reserva florestal foram computados 3 645 coelhos. Uma determinada infecção
alastra-se de modo que, ao final do primeiro dia, há cinco coelhos infectados e, a cada cinco dias, o número
total de coelhos infectados triplica.
a) Determine a quantidade de coelhos infectados ao final do 21o dia. 405 coelhos
b) Calcule o número mínimo de dias necessários para que toda a população de coelhos esteja infectada.
Resolução:
a) a 5 n n o de coelhos infectados na n-ésima etapa
b 5 dia em que ocorre a n n
a 5 5 ? 3 n n 2 1 e b 5 1 1 (n 2 1) ? 5
n
Sendo b 5 21, temos:
n
21 5 1 1 (n 2 1) ? 5 → n 5 5
Portanto:
a 5 5 ? 3 5 5 2 1 → a 5 405 coelhos
5
31 dias
b) Sendo a 5 3 645, temos:
n
3 645 5 5 ? 3n 2 1 → 3n 2 1 5 729
3n 2 1 5 36 n 5 7
Portanto:
b 5 1 1 (7 2 1) ? 5 → b 5 31 dias
7 7

21 (UFPB) Socorro, apaixonada por Matemática, propôs para seu filho, João: “Você ganhará uma viagem
de presente, no final do ano, se suas notas, em todas as disciplinas, forem maiores ou iguais à quantidade
de termos comuns nas progressões geométricas (1, 2, 4, ..., 4 096) e (1, 4, 16, ..., 4 096)”. De acordo com a
proposta, João ganhará a viagem se não tiver nota inferior a:
a) 6 c) 8 e) 10
b) 7 d) 9
Resolução:
PG (1, 2, 4, 8, 16, ..., 4 096)
PG (1, 4, 16, ..., 4 096)
Os termos iguais são os termos da PG
(1, 4, 16, ..., 4 096). Logo:
n 2 1
a 5 a ? q n 1
n 2 1
4 096 5 1 ? 4
212 n 2 1 5 4
2
22 (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s):
12 2(n 2 1) 5 2
212 2n 2 2 5 2
(01) O 20o termo da PA (x, x 1 10, x2 , ...)
com x , 0 é 186.
(02) A soma dos n primeiros números
naturais ímpares é n2 1 1.
1
(04) O termo encontra-se na
1 024
a_
12 posição na PG 2, 1, 1 ⎛ ⎞
, ...
⎝
⎜
2 ⎠
⎟ .
Resolução:
01. (Verdadeira)
x 1 10 2 x 5 x2 2 (x 1 10) →
→ 10 5 x2 2 x 2 10
x2 2 x 2 20 5 0 → x 5 5 (não serve)
ou
x 5 24
A progressão aritmética é (24, 6, 16, ...).
Logo: a 5 a 1 19r →
20 1
a 5 24 1 19 ? 10 5 186
20
02. (Falsa)
Os números ímpares são (1, 3, 5, 7, ...).
a 5 a 1 (n 2 1)r →
n 1
a 5 1 1 (n 2 1) ? 2 → a 5 2n 2 1
n n
(a 1 a )n
1 n
Logo: S 5
→
n
2
(1 1 2n 2 1)n 2
→ S 5 5 n
n
2
04. (Verdadeira)
11
11
⎛ 1⎞
a 5 a q → a 5 2 ? →
12 1
12
⎝
⎜
2⎠
⎟
1 1
→ a 5 2 ? 5
12
2 048 1 024
12 5 2n 2 2
2n 5 14
n 5 7
A nota deverá ser maior ou igual a 7.
(08) Sabendo que a sucessão (x, y, 10) é uma PA
crescente e a sucessão (x, y, 18) é uma PG
crescente, então xy 5 12.
x x
(16) O valor de x na igualdade x 1 1 1... 512,
3 9
na qual o 1o membro é a soma dos termos de
uma PG infinita, é 10. 1 1 4 1 8 5 13
08. (Verdadeira)
(x, y, 10) é uma PA [ 10 2 y 5 y 2 x →
→ x 5 y 1 y 210 → x 5 2y 210
(I)
(x, y, 18) é uma PG 5 5 5
0
y 18 2
[ → y 18x → x
x y
y
2
18
Fazendo (I) 5 (II), teremos:
2
y
2
5 2y
2 y 5 36y 2180
18
2
y 2 36y 1180 5
5
y 5
10 → →
→
0
576
36 576 36 24
30
5
2 2
6
2 6 10 2
y5
5
y
5
Se y 56, então x 5 ? 2 5
Se y 5 30, então x 5 2? 30 210 5 50
Como a PA e a PG
são crescentes, teremos
x 5 2 e y 56, conseqüentemente,
x ? y 5 2? 6 512.
16. (Falsa)
x x
x x x
x 1 1 1 ... 5 5 5 5
3 9
1 3 2 1 2
1 2
3 3 3
3x
5 →
2
3x
5 12 → 3x 5 24 →
x 5 8
2
(II)

Em questões como a 23, as alternativas verdadeiras devem ser marcadas na coluna I, e as falsas, na II.
23 (UFSE) Verifique a veracidade das afirmações que seguem:
V – F
0 – 0 Os termos da seqüência (a , a , a , ..., a , a , a , ...), em que a 5 a 5 1 e a 5 a 1 a ,
1 2 3 n 2 1 n n 1 1 1 2 n 1 1 n n 2 1
; n IN e n . 1, são chamados números de Fibonacci. Assim sendo, o 8o número de Fibonacci é 21.
1 – 1 A seqüência (22x , 22x 1 1 , 3 ? 22x , 22x 1 2 , ...) é uma PA de razão 4x .
2 – 2 A soma de todos os números pares compreendidos entre 57 e 217 é 10 980.
3 – 3 Podem ser inseridos cinco meios geométricos reais entre os números 23 e 96.
4 – 4 Se a seqüência (40, a, b, 5,...) é uma PG, então a soma de seus dez primeiros termos é igual a
Resolução:
00. (Verdadeira)
n 5 2 → a 5 a 1 a → a 5 2
3 2 1 3
n 5 3 → a 5 a 1 a → a 5 3
4 3 2 4
n 5 4 → a 5 a 1 a → a 5 5
5 4 3 5
n 5 5 → a 5 a 1 a → a 5 8
6 5 4 6
n 5 6 → a 5 a 1 a → a 5 13
7 6 5 7
n 5 7 → a 5 a 1 a → a 5 21
8 7 6 8
11. (Verdadeira)
22x , 2 ? 22x , 3 ? 22x , 4 ? 22x , ...
A razão é:
r 5 2 ? 22x 2 22x 5 1 ? 22x 5 (22 ) x 5 4x 22. (Falsa)
A seqüência é (58, 60, 62, ..., 216)
a 5 a 1 (n 2 1) r → 216 5
n 1
5 58 1 (n 2 1) ? 2 → n 5 80
Sn
(a1 5
1 a )n n
2
→
→ Sn
(58 1 216) ? 80
5
2
→
→ S 5 10 960
n
24 (UFSC) Se a, b, c são termos consecutivos de uma PA de razão 5 e (a 1 2), b, (c 2 1) são termos
consecutivos de uma PG, qual o valor de a 1 b 1 c?
Resolução:
(a, b, c): PA com r 5 5 (a 1 2, b, c 2 1):
PG
b 5 a 1 5
c 5 a 1 10
(I)
(II)
b c 2
5
a 1 2 b
(III)
Substitui
⎧
36
⎨
⎩
⎧
1
⎨
⎩
ndo as expressões (I) e (II) na expressão (III):
a 1 5 a 1 10 2 1
5
a 1 2 a 1 5
→ a 5 7 [ b 5 12; c 5 17
Logo, a 1 b 1 c 5 7 1 12 1 17
a 1 b 1 c 5 36
5 115
64 .
33. (Falsa)
a 5 a q 7 1 6 → 96 5 23 ? q6 → q6 5 232 → ∃⁄ raiz real
44. (Verdadeira)
(40, a, b, 5, ...) é uma PG; portanto,
3 3 3 5 1
a 5 a ? q , ou seja, 5 5 40 ? q → q 5 5 →
4 1
40 8
1 1
→ q 5 3 → q 5 .
8 2
10
1
40 1
1 1 024
40
2
1
S10
1
1
2
5
? 2 ?
5
2
2
⎛ ⎛ ⎞ ⎞
⎛ ⎞
⎜
⎝
⎜
⎠
⎟ ⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎜ 024 ⎠
⎟
5 115
5
12 2 64
2

1 1 1
25 (UFPA) A soma da série infinita 1 1 1 1 1 ... é:
5 25 125
a)
6
5
c)
5
4
e)
b)
7
5
d) 2
Resolução:
1
a 5 1; a 5 1 2
5
1
→ q 5
5
Sn
a1
5
1 2 q
→ Sn
1
5
1
1 2
5
26 (UFPel-RS) O lado de um quadrado mede , unidades de comprimento. Unindo-se os pontos médios
dos lados opostos, obtêm-se quatro novos quadrados. Se procedermos assim sucessivamente, obteremos
novos quadrados cada vez menores, conforme a figura, que mostra parte de uma seqüência infinita.
Determine a soma dos perímetros de todos os quadrados coloridos dessa seqüência. 8 ,
5
5
4
Resolução:
4 ,
a 5 4 , ; a 5 ; a
1 2 3
2
4 ,
5
4
→ q 5
Sn
a1
5
1 2 q
→ Sn
4 ,
5
1
1 2
2
5 8 ,
2
1
2
4
8
7
4