3ª Lista de Exercícios do Curso de Verão de Análise Funcional

Universidade Federal do Pará
Instituto de Ciências Exatas e Naturais
Programa de Pos-graduação em Matemática e Estatística - PPGME
Professor: Giovany M. Figueiredo
Curso de Análise Funcional
Lista de Exercícios 3
Base de Hamel, base de Schauder e espaços separáveis
1. Mostre que todo espaço normado E de dimensão finita é separável.
2. Mostre que o espaço normado (lp, | . |p), 1 ≤ p < ∞ é separável.
3. Mostre que o espaço normado (l∞, | . |∞) não é separável.
4. Prove que se E é um espaço normado separável e M é um subespaço fechado de
E, então o espaço quociente E\M é separável.
5. Mostre que (C0, | . |∞) é um exemplo de espaço normado de dimensão infinita que
possui uma base que é ao mesmo tempo de Schauder e de Hamel.
6. Mostre que todo espaço normado E que possui uma base de Schauder é separável.
A recíproca não é verdadeira, pois em 1973, Per Enflo apresentou um exemplo
de espaço de Banach separável que não admite base de Schauder, para maiores
detalhes ver Acta Math. 130, 309-317.
7. Mostre que (C[a, b], . ∞) é separável.
8. Um espaço normado E é separável se, e somente se, existe um subconjunto M ⊂ E
enumerável, linearmente independente e tal que SpanM = E.
9. Sejam E um espaço normado e M ⊂ E um subconjunto. Mostre que:
a) Se E é separável, então M é separável;
1

) Se M é separável, então o fecho M é separável;
c) M é separável se, e somente se, SpanM é separável.
Funcionais lineares e duais topológicos
1. Mostre que o dual topológico do IR N é o próprio IR N .
2. Mostre que o dual topológico de (lp, | . |p), 1 < p < ∞, é o espaço lq, onde 1 1 + p q
3. Mostre que o dual topológico de (l1, | . |1) é o espaço l∞.
4. Mostre que o dual topológico de (C0, | . |∞) é o espaço l1.
5. Mostre que o dual topológico de (C, | . |∞) é l1 + Span{ϕ}, onde ϕ : C −→ IR é
definido por ϕ(x) = lim xn, x = (xn)n∈IN ∈ C.
6. Mostre que se ϕ : E −→ IR é um funcional linear não-nulo então existe x0 ∈
E\Ker(ϕ) tal que E = Span{x0} + Ker(ϕ) e Span{x0} ∩ Ker(ϕ) = {0}.
7. Sejam E um espaço normado e f, g : E −→ IR funcionais lineares tais que Ker(f) ⊂
Ker(g). Prove que existe λ ∈ IR tal que g = λf.
8. Sejam E um espaço vetorial com dimE = N e {e1, e2, . . . , eN} uma base de E.
Cada x ∈ E pode ser escrito de modo único como uma combinação linear
N
x = xjej,
j=1
xj ∈ IR, ∀j ∈ {1, 2, . . . , N}.
Para cada f ∈ E ′ , ponhamos fj = f(ej).
= 1.
a) Defina em E a norma da soma e determine explicitamente em função dos fj a
norma dual f de um elemento f ∈ E ′ .
b) Refaça o ítem a) considerando E munido da norma do máximo.
c) Refaça o ítem a) considerando E munido da norma euclidiana.
9. Seja f : E −→ IR um funcional linear não-nulo. Mostre que f é descontínuo se, e
somente se, seu núcleo é denso em E.
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10. Seja f : E −→ IR um funcional linear. Mostre que Ker(f) é fechado se, e somente
se, f é contínuo.
11. Mostre que um espaço normado E tem dimensão finita se, e somente se, todo
funcional linear definido em E é contínuo.
12. Seja X = {φ ∈ C[0, 1] : φ(0) = φ(1)} munido da norma do supremo. Considere o
funcional linear Λ : X −→ IR definido por
a) Mostre que Λ é contínuo;
b) Calcule o valor de Λ ;
Λ(φ) =
1
0
φ(t)dt.
c) Refaça os ítens a) e b) considerando X = {φ ∈ C[0, 1] : φ(0) = φ(1) = 0}.
13. Seja en = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) assumindo 1 na posição n.
a) Existe ϕ ∈ C ′ 0 tal que ϕ(en) = 1 , ∀n ∈ IN?
n
b) Existe ϕ ∈ l ′ 1 tal que ϕ(en) = (−1) n , ∀n ∈ IN?
c) Existe ϕ ∈ l ′ 2 tal que ϕ(en) = 1, ∀n ∈ IN?
d) Existe ϕ ∈ l ′ 2 tal que ϕ(en) = 1
n
, ∀n ∈ IN?
e) Existe ϕ ∈ l ′ 1 tal que ϕ(en) =
1 + 1
n , ∀n ∈ IN?
n
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