Guia do Professor: Trigonometria na Ponte Calculando ... - Rived

INTRODUÇÃO
Guia do P rofessor: Trigonometria na P onte
Calculando distâncias indiretamente com a Lei dos Senos
Ao longo dos tempos, o homem encontrou várias aplicações dos conceitos
relacionados à trigonometria no seu cotidiano. A trigonometria é bastante utilizada
na Astronomia e navegação – áreas importantes para a descoberta de novos
territórios. Com o posterior desenvolvimento dessas duas áreas e, também da
matemática em si, a trigonometria começou a ser utilizada em várias outras áreas.
A trigonometria foi se aperfeiçoando com as contribuições de matemáticos de
diferentes civilizações. Babilônios e egípcios deram os primeiros passos e
proporcionaram algum avanço das idéias da trigonometria.
Alguns séculos depois, o desenvolvimento da trigonometria estava bastante
ligado ao desenvolvimento da geometria. Vários sábios ficaram conhecidos desta
época, tais como: Tales de Mileto (625 – 546 a.C.) e Pitágoras de Samos (570 – 495
a.C.).
Os povos nesta época utilizavam os conceitos conhecidos sobre trigonometria
também para a agrimensura, para divisão das suas terras. Outro matemático
importante desta época, considerado o “Pai da Trigonometria”, é Hiparco de Nicéia.
OBJETIVOS
• Mostrar uma aplicação do Teorema de Pitágoras no cálculo de distâncias;
• Calcular distâncias utilizando relações trigonométricas em triângulos
quaisquer;
• Mostrar e utilizar a lei dos senos para calcular distâncias que não podem ser
calculadas diretamente.
P RÉ­REQUISITOS
Teorema de Pitágoras.
Razões e Relações Trigonométricas.
Página 1

COMP ETÊNCIAS E HABILIDADES QUE SE P RETENDE DESENVOLVER
Através da utilização do Teorema de Pitágoras e das relações trigonométricas,
procuramos mostrar ao aluno uma forma mais geral e mais rápida para calcular uma
distância que não pode ser medida de forma direta.
TEMP O P REVISTO P ARA A ATIVIDADE
Para cada atividade do objeto de aprendizagem serão utilizadas duas aulas,
sendo uma na sala de aula e uma no laboratório de informática. Além disso,
propomos que o professor gaste uma aula extra para discussões sobre os conceitos
vistos e algumas questões. No total serão sete aulas, mas o professor deve adequar
este tempo ao contexto da sua classe.
NA SALA DE AULA
• Material Necessário
Para a realização das atividades em sala de aula é interessante que os alunos
tenham régua graduada e transferidor.
Aula 1 ­ Atividade 1
Nesta primeira atividade, propomos uma recordação do bem conhecido
“Teorema de Pitágoras”. Dependendo da realidade de cada região, o sistema de
ensino propõe o ensino do “Teorema de Pitágoras” na 7ª ou na 8ª série do ensino
fundamental. Contudo, este é um conceito que aparece em várias situações­
problema.
Para esta atividade em sala de aula sugerimos ao professor que faça uma
revisão deste conteúdo com seus alunos, falando da importância deste conceito e
mostrando algumas aplicações deste no cotidiano do aluno.
Obs.: os problemas trabalhados nesta aula devem ser anexados ao final do
relatório do objeto “Trigonometria na Ponte” para fins da avaliação do aluno.
Aula 3 ­ Atividade 2
Página 2

Para esta atividade, sugerimos que o professor faça uma recordação do
conceito de razão trigonométrica, bem como o de relação trigonométrica, partindo de
um caso relacionado ao triângulo retângulo (caso particular, onde o valor do seno do
ângulo reto vale 1) para o caso de triângulos quaisquer, onde é válida a relação
(AB/sen P) = (BP/sen A).
O professor pode pedir para que os alunos comprovarem esta relação
utilizando triângulos de diferentes fórmulas e comparando os resultados. Para
exemplificar, consideremos o triângulo abaixo:
Podemos tirar as seguintes relações a partir do triângulo:
AB BP 6
= ⇒
sen ( P ) sen ( A ) sen ( 22
º )
Página 3
10
=
sen ( 39 º )
⇒ 16 , 01 ≅ 15,89
É importante que o professor lembre aos alunos que obteremos valores
aproximados para as razões e que estes valores ficarão mais próximos à medida que
tivermos dados mais precisos das medidas dos lados e ângulos do triângulo.
Para esta aula é interessante que os alunos tenham régua e transferidor à mão
para que possam calcular as medidas dos lados e ângulos dos triângulos. Peça para
que construam diferentes triângulos e em seguida realizem os cálculos das relações
trigonométricas pedidas.
Obs.: os problemas trabalhados nesta aula devem ser anexados ao final do
relatório do objeto “Trigonometria na Ponte” para fins da avaliação do aluno.
Aula 5 ­ Atividade 3
As atividades desta aula visam a formalização do conceito de Lei dos Senos a
partir dos conceitos trabalhados nas aulas anteriores.

Sugerimos que o professor mostre que a relação trigonométrica utilizada na
aula 3 pode ser ampliada, usando o ângulo e o lado que não foram utilizados no
cálculo, formando a regra:
A partir daí, peça aos alunos para testarem esta regra para vários triângulos
diferentes: obtusângulo, acutângulo e retângulo. Faça uma recapitulação da 1ª
atividade quando trabalhar com o triângulo retângulo, mostrando que ele pode ser
interpretado como um caso particular da regra onde o seno de 90º vale 1. Logo a
razão do lado oposto a este ângulo por este será igual ao valor do lado.
Obs.: os problemas trabalhados nesta aula devem ser anexados ao final do
relatório do objeto “Trigonometria na Ponte” para fins da avaliação do aluno.
• Questões para discussão
Para a Aula 1 sugerimos que o professor apresente uma demonstração
geométrica bem simples do Teorema de Pitágoras como a que segue abaixo:
Uma demonstração geométrica para o Teorema de Pitágoras
Sugerimos que o professor ajude os alunos a visualizar esta demonstração
pedindo a eles que façam um esboço deste desenho no caderno e, em seguida,
mostre que a área da região branca da figura 1 que vale c² é igual à área da figura 2
que vale a²+b².
Página 4

Outra demonstração para o Teorema de Pitágoras
Outra possibilidade é trabalhar com o objeto do teodolito 1 que está na página
do RIVED, ou ainda utilizar esta atividade do teodolito fora da sala de aula, em uma
situação onde os alunos pudessem manusear este instrumento. No site da revista
Nova Escola há uma atividade que mostra a utilização do teodolito em situações do
cotidiano 2 .
Para a Aula 3 sugerimos que reveja os conceitos de razão e de relação
trigonométrica com os alunos. Mostre em um triângulo qualquer, existe uma relação
entre os lados e os ângulos do triângulo. Se possível peça que os alunos levem
calculadora, transferidor e também possuam uma tabela trigonométrica à mão para
realizarem alguns cálculos.
Peça para que construam alguns triângulos em uma folha que deverá ser
entregue em anexo ao relatório final das atividades previstas. Em seguida, peça para
que calculem o comprimento dos lados e o valor dos ângulos com o transferidor.
Lembre­os de sempre anotar todos os dados.
Após esta parte da atividade, chame a atenção dos alunos para a parte
principal dessa aula. Eles deverão encontrar o seno dos respectivos ângulos na
tabela trigonométrica, anotar os valores encontrados na folha e, em seguida, peça
que façam o seguinte cálculo: dividir um dos lados pelo seno do ângulo oposto a este
lado, realizando o cálculo com uma calculadora para que o resultado seja mais
1
Objeto de Aprendizagem do Teodolito. Pode ser acessado através do endereço
. Acesso em 13/10/2006.
2
Atividade do site da Revista Nova Escola ilustrando o processo de montagem de um teodolito simples e sua utilização no
cotidiano. Acesso em 13/10/2006.
Página 5

aproximado. Depois peça para que façam o mesmo para os outros lados e ângulos e
ao final, peça que coloquem na folha uma conclusão dos resultados que obtiveram.
Perceba que esta aula é uma preparação para a introdução do conceito de Lei
dos Senos, e será reforçada com a atividade com o objeto no laboratório.
Para a Aula 5 sugerimos que o professor recorde as duas aulas anteriores,
uma em sala e a outra no laboratório, pois esta aula é o ponto de partida para a
definição de Lei dos Senos. Mostre aos alunos que a Lei dos Senos é uma regra que
relaciona as razões entre os lados e os senos dos ângulos opostos de qualquer
triângulo.
Em seguida, passe alguns problemas para os alunos mostrando a aplicação
desta lei no cotidiano. A seguir, sugerimos alguns problemas:
Questão 1) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para
uma caixa­d’água a 50 m de distância. Sabemos que o ângulo formado pelas
direções (caixa d’água­casa) e (casa­bomba) é de 45º e que o ângulo formado pelas
direções (bomba­caixa d’água) e (caixa d’água­casa) é de 60º. Se pretendermos
bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de
encanamento são necessários?
Resolução:
Chamemos o lado que queremos encontrar de a. Pela Lei dos Senos, temos a
seguinte relação:
Página 6

a
sen ( 60
a × sen ( 45 º ) = 50 × sen ( 60 º )
a ×
a ×
2
2
º )
a = 50 ×
= 50 ×
2 = 50 ×
50
=
sen ( 45 º )
3
2
3
2
Racionalizando, temos que:
3
a = 50 6 m
ou
a = 61 , 24 m
Portanto serão necessários 61,24 metros de encanamento.
Questão 2) Uberaba, Uberlândia e Araguari são cidades do triângulo mineiro
localizados conforme a figura.
A partir dos dados fornecidos, determine a distância aproximada de Uberaba a
Uberlândia. 3
(Dados: sen36º=0,59; cos36º=0,81; sen132º=0,74 e cos132=­0,67)
Resolução: Pela Lei dos Senos, temos a seguinte relação:
3
Extraído de DANTE, Luiz Roberto. Matemática – Contexto e Aplicações. Capítulo 15 – Resolução de triângulos
quaisquer, página 223, exercício de revisão 30.
Página 7

d 140
=
sen ( 36 º ) sen ( 132 º )
d
0 , 59
0 , 74
140
140 × 0 , 59
d =
0 , 74
d = 111 , 621 m
Portanto, a distância entre Uberlândia e Uberaba é de 111,62 metros.
• Dicas e comentários
=
O professor pode complementar suas aulas utilizando materiais concretos ou
utilizando problemas históricos de matemática para motivar os alunos.
NA SALA DE COMP UTADORES:
• P reparação
Sugerimos que em cada computador fiquem no máximo dois alunos, mas
ressaltamos que a situação deve ser analisada pelo professor e, adequada ao
contexto do laboratório da escola.
Outra sugestão antes de ir para o laboratório é deixar o objeto sobre Lei dos
Senos e outros materiais que serão utilizados em cada um dos computadores,
evitando­se assim que algum problema com a Internet impossibilite o
desenvolvimento da atividade. Se possível faça atalhos para os materiais na área de
trabalho ou no menu iniciar para direcionar mais rapidamente os alunos para a
atividade.
• Material necessário
Pedir para que os alunos levem o lápis e papel para fazer anotações.
• Requerimentos técnicos
Página 8
_____

Plugin do Macromedia Flash 8 ou superior.
Navegador de Internet.
DURANTE A ATIVIDADE
Observação importante: ao utilizar o objeto, principalmente nas atividades 2 e 3,
os alunos podem se deparar diante de uma situação que envolve cálculos com
valores aproximados. Em alguma situação, poderá encontrar um triângulo que tem
soma dos ângulos internos igual a 179º. Isso não está errado! O que ocorre é que
devido a arredondamentos numéricos realizados pelo computador, ao observarmos o
triângulo, num primeiro momento pensamos que tenha realmente 179º, mas que na
verdade tem 180º. Tomemos, por exemplo, um triângulo que possui ângulos iguais a
α = 45,4 º, β = 64,3º, e δ = 70,3º. Este é um triângulo que possui 180º como soma
dos seus ângulos internos. Ao realizar o arredondamento, o computador nos
apresenta na tela os seguintes valores α = 45 º, β = 64º, e δ = 70º, resultando num
total de 179º. Ou seja, o problema proposto aos alunos terá uma pequena margem
de erro, mas que em nada influencia o resultado final do trabalho.
Aula 2 – Atividade 1
Nesta primeira aula com o objeto procure organizar os alunos em duplas ou
trios nos computadores. Direcione a turma para a atividade que irão realizar. Assim
que abrirem o objeto de aprendizagem, peça para que manipulem a primeira
atividade. Deixe que os alunos manipulem durante alguns minutos a situação que
lhes é posta como desafio. Em seguida, direcione todos para a questão que devem
responder no botão Questões. Para auxiliar os alunos na tarefa, eles podem consultar
a teoria relacionada à questão. Lembre que eles deverão fazer um relatório, seguindo
as dicas que são sugeridas pelo objeto.
metros.
Obs.: o comprimento da ponte nesta atividade é aproximadamente igual a 245
Aula 4 – Atividade 2
Nessa atividade, os alunos irão começar a compreender o conceito de Lei dos
Senos, mesmo que nela não mencionemos esta regra. Utilizando a relação
Página 9

trigonométrica e, comparando com a Atividade 1, realizada na primeira aula, procure
levantar a seguinte discussão com os alunos: a relação trigonométrica (AB/sen P) =
(BP/sen A) é válida para qualquer triângulo? Lembre­os da discussão feita em sala
sobre a questão. Assim como na primeira aula, deixe os alunos manipularem
livremente o objeto durante alguns minutos. Peça para que eles tentem encontrar
uma situação semelhante a que foi vista na Atividade 1, onde construímos um
triângulo retângulo, e dessa forma, pudemos calcular a distância utilizando o
Teorema de Pitágoras. Como os alunos não irão conseguir encontrar esta situação,
lembre­os da discussão sobre a relação (AB/sen P) = (BP/sen A) e peça para que
observem as dicas apresentadas no objeto.
metros.
Obs.: o comprimento da ponte nesta atividade é aproximadamente igual a 355
Aula 6 – Atividade 3
Esta atividade procura aprofundar os conceitos vistos nas aulas anteriores e
formalizar a Lei dos Senos. Lembre os alunos das discussões das aulas anteriores e
procure fazer com que eles compreendam a relação que há entre estes conceitos.
Mostre que a Lei dos Senos é uma ampliação do conceito visto na Atividade 2.
Observe que nesta atividade propomos que os alunos utilizem o Círculo
Trigonométrico para calcularem o valor do seno do ângulo escolhido na atividade.
Lembre­os de sempre anotarem todos os dados que julgarem necessários para a
conclusão do relatório que deverá ser entregue no final das atividades. Além disso,
peça que copiem uma tela de cada atividade para ilustrar o relatório, utilizando a
tecla e depois editando a figura em algum editor simples como o
Paint ou similar.
metros.
Obs.: o comprimento da ponte nesta atividade é aproximadamente igual a 355
AVALIAÇÃO
Sugerimos que o professor acompanhe todo o processo de desenvolvimento do
relatório que será redigido pelos grupos. Procure avaliar a participação coletiva,
observando em que cada integrante está cooperando para o trabalho. Peça aos
alunos para fazerem uma auto­avaliação crítica da sua participação individual e em
Página 10

grupo durante o processo de aprendizagem e mostrar quais foram os conhecimentos
obtidos utilizando o objeto de aprendizagem. A questão da distribuição de pontos
para esta atividade fica a seu cargo professor, visto que cada escola possui um
sistema diferente de avaliação.
ATIVIDADES COMP LEMENTARES
• Questões para discussão
Questão 1) Usando 6 palitos de mesmo tamanho, construir 4 triângulos
eqüiláteros. 4
Resposta:
Questão 2) (Unicamp­SP) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de
incêndio florestal em F. Conhecendo os ângulos FÂB = 45°, F A = 105° e a distância
AB = 15 km, determine as distâncias AF e BF. 5
Resolução: Temos que α = 30º. Vamos calcular BF utilizando a Lei dos Senos:
4 Extraído de Matemática Essencial – Alegria: Problemas Criativos. Problema 2) Palitos e mais palitos, letra f). Disponível
em . Acesso em 20 de out. de 2006.
5
Extraído de DANTE, Luiz Roberto. Matemática – Contexto e Aplicações. Capítulo 15 – Resolução de triângulos
quaisquer, página 223, exercício de revisão 32.
Página 11

BF AB
=
sen ( 45 º ) sen ( 30 º )
sen ( 45 º )
BF = 15 ×
sen ( 30 º )
BF = 15 ×
BF = 15
2
2
2 km
Utilizando novamente a Lei dos Senos, vamos calcular AF:
AF AB
=
sen ( 105 º ) sen ( 30 º )
sen ( 45 + 60 )
AF = 15 ×
sen ( 30 º )
sen ( 45 º ) cos( 60 º ) + cos( 45 º ) sen ( 60 º )
AF = 15 ×
sen ( 30 º )
⎛
⎜
AF = 15 × ⎜
⎜
⎜
⎝
AF = 15 ×
2
2
2 +
2
×
1
2
6
+
1
2
km
2
2
×
×
Página 12
2
1
3 ⎞
⎟
2 ⎟ = 15 ×
⎟
⎟
⎠
Desafio 1) Numa fazenda o galpão fica 50 m distante da casa. Sejam x e y,
respectivamente, as distâncias da casa e do galpão ao transformador de energia,
2 +
4
1
2
conforme a figura abaixo. Calcule o valor de x + y em função de α e β. 6
6
Extraído de DANTE, Luiz Roberto. Matemática – Contexto e Aplicações. Capítulo 15 – Resolução de triângulos
quaisquer, página 218, exercício proposto 7.
6

Resolução: Pela Lei dos Senos temos que
50
y x
= =
sen ( 180 − ( α + β )) sen ( α ) sen ( β )
50
y x
= =
sen ( 180 º ) cos( α + β ) − cos( 180 º ) sen ( α + β ) sen ( α ) sen ( β )
50 y x
= =
sen ( α + β ) sen ( α ) sen ( β )
Dessa forma obtemos:
sen ( α ) sen ( β )
x + y = 50 ×
+ 50 ×
sen ( α + β ) sen ( α + β )
( sen ( α ) + sen ( β ))
x + y = 50 ×
sen ( α + β )
Desafio 2) Um corredor A está sobre uma reta r e corre sobre ela no sentido AX.
Um corredor B não está em r e, correndo em linha reta, pretende alcançar A. Sendo
a partida simultânea, que direção deve tomar B se as velocidades de ambos são
conhecidas?
Considere BÂX=110º, velocidade de A igual a 8m/s e velocidade de B igual a 9m/s.
Determine o ângulo que a trajetória de B deve fazer com a reta BA para que o
encontro seja possível. 7
Resolução: denotemos por α o ângulo formado pela trajetória de B com a reta BA.
Como o corredor A tem velocidade de 8m/s, podemos dizer que irá percorrer 8d
7
Extraído de DANTE, Luiz Roberto. Matemática – Contexto e Aplicações. Capítulo 15 – Resolução de triângulos
quaisquer, página 222, Desafio.
Página 13

metros até que encontre com o corredor B. Da mesma forma, dizemos que o
corredor B, que tem velocidade de 9m/s irá percorrer 9d metros até encontrar A.
Assim, pela Lei dos Senos, temos que:
9 d
sen ( 110 º )
9 d × sen ( α ) =
8 d
=
sen ( α )
8 d × sen ( 110 º )
8 d × sen ( 110 º )
sen ( α ) =
9 d
8 × sen ( 110 º )
sen ( α ) =
9
sen ( α ) = 0,83528
Como α é um dos ângulos de um triângulo, sabemos que é menor do que 90º e,
portanto, está no 1º quadrante. Utilizando uma tabela trigonométrica ou uma
calculadora, obteremos o valor 56º64’ para o ângulo α procurado. Portanto a
resposta é α=56º64’.
Página 14

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DANTE, Luiz Roberto. Matemática – Contexto e Aplicações. Volume 2, 2º grau.
Editora Ática, 2ª Edição. 2004, São Paulo.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR. José Ruy,
Matemática Fundamental, FTD. Volume Único, 2º grau. 1994, São Paulo.
LOBO DA COSTA, Nielce M. A História da Trigonometria. Artigo – Pontifícia
Universidade Católica, São Paulo. Disponível em
. Acesso em: 25 de
setembro de 2006.
NOVAESCOLA. Sucata: gaste 1 real e faça um teodolito. Disponível em
. Acesso em:
13 de outubro de 2006.
RIVED. Objeto de Aprendizagem: Teodolito. Disponível em
.
Acesso em: 04 de outubro de 2006.
TELECURSO 2000. O teorema de P itágoras (aula 55). Disponível em
.
WIKIPÉDIA. Definição e Demonstração da Lei dos Senos. Disponível em
. Acesso em: 02 de outubro de
2006.
WIKIPÉDIA. Definição de triângulo e suas classificações. Disponível em
. Acesso em: 02 de outubro de 2006.
Página 15

WIKIPÉDIA. Definição de Triângulo Retângulo. Disponível em
. Acesso em: 02 de outubro
de 2006.
WIKIPÉDIA. Teorema de P itágoras – Demonstrações. Disponível em
. Acesso em: 13 de
outubro de 2006.
WIKIPÉDIA. Teorema de P itágoras – Teoria e Aplicações. Disponível em
. Acesso em: 02 de
outubro de 2006.
WIKIPÉDIA. Trigonometria – Conceitos e Definições. Disponível em
. Acesso em: 02 de outubro de
2006.
Página 16