x - Área Interdepartamental de Matemática - Instituto Politécnico de ...

sen
tg ( x)
=
cos
( x)
( x)
2
2
1. sen ( ) + cos ( x)
= 1
TABELAS DE ANÁLISE MATEMÁTICA
1
cotg ( x ) =
tg ( x)
Tabela de Trigonometria
sec
1
( x)
= ( x)
cos ( x)
cosec =
2
2
x 8. cos( 2x)
= cos ( x)
− sen ( x)
2
2
2. 1 + tg ( x)
= sec ( x)
2
2
3. 1 cotg ( x)
= cos ec ( x)
9. tg(
2x)
2tg
=
1 −
x 1 − cos x
+ 10. sen
= ±
2 2
4. sen( x y)
= sen(
x)
cos(
y)
± sen(
y)
cos(
x)
± 11.
5. cos( x y)
= cos(
x)
cos(
y)
sen(
x)
sen(
y)
6.
tg(
x
INSTITUTO POLITÉCNICO DE TOMAR
Escola Superior de Tecnologia de Tomar
Área Interdepartamental de Matemática
Curso de Engenharia Civil
2
tg
( x)
( x)
x 1 + cos
cos
= ±
2 2
±
x
12. tg
= ±
2
1 − cos
1 + cos
tg(
x)
± tg(
y)
y)
=
1 tg(
x)
tg(
y)
sen x
2 tg(
x / 2)
=
2
1 + tg ( x / 2)
± 13. ( )
7. sen ( 2x)
= 2sen(
x)
cos(
x)
14. cos(
x)
x ± y x y
15. sen(
x ) ± sen(
y)
= 2sen
cos
2 2
x + y x − y
16. cos(
x ) + cos(
y)
= 2cos
cos
2 2
x + y x − y
17. cos(
x ) − cos(
y)
= −2sen
sen
2 2
2
1
sen
( )
( x)
( x)
( x)
1 − tg ( x / 2)
=
2
1 + tg ( x / 2)
0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2
Seno 0 1/2 2 /2 3 /2 1 0 -1
Coseno 1 3 /2 2 /2 1/2 0 -1 0
Tangente 0 3 /3 1 3 - 0 -
( x)
Tabelas de Análise Matemática - 1/5

u = f ( x)
g(
x)
Tabela de Derivadas
v = α = constante a = constante
1. k ' = 0
17. ( ) ′
2
tg u = u'
sec u
2. x ' = 1
18. ( ) ′
2
cotg u = −u'
cosec u
3. ( u ± v)'=
u'±
v'
4. ( uv )'=
u'v
+ uv'
′
⎛ u ⎞ u'
v − uv'
5. ⎜ ⎟ =
2
⎝ v ⎠ v
6. ( ku ) '=
ku'
α
α −1
7. ( u ) ′ = α u u'
u'
8. ( u ) =
2 u
19. ( ) ′
sec u = u'
sec u tg u
20. ( ) ′
cosec u = −u'
cosec u cotg
u
21. ( arc sen u)
22. ( arc cos u)
′
=
′
= −
u'
1−
u
u'
23. ( arc tg u)
=
2
′
1+
u
2
u'
1−
u
′ 24. ( arc cotg u)
= −
2
′
n
9. ( u ) =
n n−1
n
u'
u
u u
10. ( e ) ′ = e u'
25. ( arc sec u )
′
′
=
u
26. ( arc cosec u )
11. a a u a
u u
( ) ′ = 'ln
27. ( ) ′
sh u = u'ch
u
v v
v−1
12. ( u ) ′ = u v 'ln
u + vu u'
28. ( ) ′
ch u = u'
sh u
′ u'
ln =
u
13. ( u)
′ u '
log a =
u ln a
14. ( u)
15. ( ) ′
sen u = u'
cos u
16. ( ) ′
cos u = −u'
sen u
u'
1+
u
u'
u
2 −
′
= −
u
2
1
u'
u
2 −
29. ( ) ′ u'
2
tgh u = = u'
sech u
2
ch u
30. ( arg sh u)
31. ( arg ch u )
′
=
′
=
′
u'
1+
u
u'
u
2 −
u'
32. ( arg tgh u)
=
2
1−
u
2
1
k = constante
1
Tabelas de Análise Matemática - 2/5

u = f ( x)
g(
x)
I - Primitivas Imediatas
Tabela de Primitivas
Pf ( x)
= F(
x)
⇒ F'
( x)
= f ( x)
v = α = constante a = constante
1. P k = kx
13. P u' cosec u cotg u = −cosec
u
2. P ku = kPu
α + 1
α u
3. Pu
u'
= , α ≠ −1
15. P
α + 1
4.
k = constante
14. P
u'
2
1 − u
= arc sen u = −arc
cos u
a
u'
2
− u
2
= arc sen
u
a
= −arc
cos
u '
u'
P = ln u
16. P = arc tg u = −arc
cotg u
2
u
1 + u
u '
5. P = u
17. P
2 u
a
6.
7.
2
u'
+ u
2
1
= arc tg
a
u
a
= −
a
u
a
1
arc cotg
u u
P e u'
= e
u'
18. P = arc sec u = −arc
cosec u
2
u u −1
u
u a
P a u'
=
ln a
19. P u' ch u = sh u
8. P u' sen u = − cos u
20. P u' sh u = ch u
9. P u' cos u = sen u
2
21. P u' sech u = tgh u
2 =
10. P u' sec u tg u
11. P u' cosec u = −cotg
u
12. P u' sec u tg u = sec u
2
II - Integração por Partes
22. P
u'
2
u + 1
= arg sh u
u'
23. P = arg ch u
2
u −1
u'
24. P arg tgh u
2
1 u
=
−
P(uv ) = (Pu) v – P((Pu) v′ )
, u < 1
u
a
Tabelas de Análise Matemática - 3/5

III - Integração por Substituição
FR (…) indica que se trata de uma fracção que envolve apenas somas, diferenças, produtos e quocientes
do que se encontra entre parêntesis.
Função a Primitivar : Substituição a Efectuar :
1
1. , k ∈IN,
k > 1
( x
2
+ a
2
)
k
P( x)
2
2. , k ∈IN,
k > 1, b − 4ac
< 0,
2
k
( ax + bx + c)
3.
onde P( x)
é um polinómio de grau inferior a 2k
P( x)
2
(( x − p)
+ q
x
k-1
4. , k ∈Q
2k
x + a
2
)
k
, k ∈IN,
onde P( x)
é um polinómio de grau inferior a
1. x = a tg () t
b
2. ax + = t
2
3. x = p + qt
4. x at
k =
rx sx
m
5. FR ( a , a , ... )
5. a = t , m = m.d.c.(r, s, ...)
x
p r
6. FR ( x
q
, x s , ... )
6. = , m = m.m.c.(q, s, ...)
m
x t
p
q
r
s
7. FR ( x , ( ax + b)
, ( ax + b)
, ... )
7. ax + b = t
m
, m = m.m.c.(q, s, ...)
ax + b ax + b
8. FR ( x,
( ) , ( ) , ... )
cx + d cx + d
p
q
r
s
ax + b
8. = t
m
, m = m.m.c.(q, s, ...)
cx + d
2 2 2
a
a
9. FR ( x, a − b x )
9. x = sen () t ou x = cos()
t
b
b
2 2 2
a
10. FR ( x , a + b x )
10. x = tg()
t
b
2 2 2
a
11. FR ( x, b x − a )
11. x = sec()
t
b
a 2 a 2
12. FR ( x , x,
a - bx )
12. x = sen () t ou x = cos () t
b
b
13. FR ( x , x,
a + bx )
13. tg t
2 a
x =
b
2k
Tabelas de Análise Matemática - 4/5

a 2
FR 14. x = sec () t
b
14. ( x, x,
bx − a )
15. ⎜⎛
2
⎟⎞ 2
FR x,
ax + bx + c
15. Se a>0 faz-se ax + bx + c = x a + t
⎝
⎠
p
2
Se c>0 faz-se ax + bx + c = c + tx
Noutros casos, bem como nos anteriores,
2
faz-se ax + bx + c = ( x −α
)tou
2
ax
2
ax
+ bx + c = ( x − β )t,
com
( x −α
)( − β )
+ bx + c = a x
16. ( ) q
m n
m + 1 n
x a + bx
16. Se ∈ Ζ faz-se a + bx = t
n
17. FR( sen(
) , cos(
mx)
)
18. FR( sen(
) , cos(
x)
)
mx 17. mx = t
x 18.
a) Se FR é ímpar em cos ( x)
, a) sen ( x ) = t
isto é, se:
FR ( sen(
x) , −cos( x)
)= - FR(
sen(
x) , cos(
x)
)
b) Se FR é ímpar em sen ( x)
, b) cos ( x ) = t
isto é, se:
( − sen(
x) , cos(
x)
)= - FR sen x , cos x
FR ( ( ) ( ) )
m + 1 p
n
Se + ∈ Ζ faz-se a + bx = x
n q
⎤ ⎡
c) Se FR é par em sen ( x)
c) tg ( x ) = t (supondo ∈⎥0
, ⎢
⎦ 2 ⎣
π
x ), sendo
e ( x)
cos ,isto é, se sen(
x)
= e cos(
x)
FR ( − sen(
x) , −cos(
x)
)= FR ( sen(
x) , cos(
x)
)
⎛ x ⎞
d) Nos restantes casos, d) ⎜ ⎟ = t
⎝ 2 ⎠
t
1+
t
assim como nos anteriores cos(
x)
=
2
2
=
q
t
1+
t
2t
sen x = e
1 + t
tg , sendo ( ) 2
1−
t
1+
t
2
2
n
t
q
Tabelas de Análise Matemática - 5/5