a análise de placas laminadas compostas inteligentes

5.4 Relação constitutiva acoplada 70
σxx, σxy, . . . , σzz no sistema de coordenadas de descrição do problema (x) (x, y, z). Visto
que o tensor tensão é um tensor de segunda ordem, a transformação se dá de acordo com
a equação:
(σkq) 1 = ℓkiℓqj(σij) x , (σkq) x = ℓikℓjq(σij) 1
(5.41)
onde (σij) 1 são componentes do tensor tensão σ nas coordenadas materiais (1, 2, 3), en-
quanto (σij) x são as componentes do mesmo tensor tensão σ no problema de coordenadas
(x, y, z) e ℓij são os cossenos diretores definidos por:
ℓij = (ei) 1 · (ej) x
(5.42)
com (ei) 1 e (ei) x sendo os vetores de bases ortonormais no sistema de coordenadas ma-
terial e do problema, respectivamente. Note que as equações de transformação tensorial
(eq.5.41) são válidas somente entre componentes tensoriais. Esta transformação (5.41)
pode ser expressa na forma matricial. Primeiro, introduzimos arranjos de dimensão 3 × 3
de componentes de tensão nos dois sistemas de coordenadas:
[σ] x =
⎡
⎢
⎣
σxx σxy σxz
σxy σyy σyz
σxz σyz σzz
⎤
⎡
⎥
⎦ , [σ]1 ⎢
= ⎢
⎣
Então, (5.41) pode ser expresa na forma matricial como
[σ] 1 = [L][σ] x [L] T
[σ] x = [L] T [σ] 1 [L]
σ11 σ12 σ13
σ12 σ22 σ23
σ13 σ23 σ33
⎤
⎥
⎦
(5.43)
(5.44)
A primeira das equações em (5.44) tem o propósito de converter as componentes de
tensão referenciadas às coordenadas do problemas àquelas referenciadas às coordenadas
do material, enquanto a segunda das equações (5.44) faz exatamente o contrário. As
equações (5.44) são válidas para qualquer transformação de coordenadas e, portanto, são
válidas para as transformações especiais representadas em (5.38) e (5.39).
inversa
Neste sentido, deve-se partir da equação do efeito eletromecânico acoplado na forma
{σ} = [C]{ε} + [e] T {−E} (5.45)