a análise de placas laminadas compostas inteligentes

5.4 Relação constitutiva acoplada 69
seus planos 12 paralelos mas cada uma tendo uma orientação própria das fibras, ou seja,
uma rotação em torno do eixo 3. Se o eixo z do problema é considerado ao longo da
espessura do laminado, a coordenada 3 de cada lâmina será sempre coincidente com
a coordenada z do problema. Assim, temos um tipo especial de transformação entre
coordenadas materiais e coordenadas usadas na descrição do problema.
Seja (x, y, z) denotando o sistema de coordenadas usado para escrever as equações
governantes do laminado, e seja (1, 2, 3) as coordenadas materiais principais de uma lâmina
típica no laminado tal que o eixo 3 é paralelo ao eixo z. As coordenadas de um ponto
material em dois sistemas de coordenadas são relacionadas como segue
⎧ ⎫ ⎡
⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪⎨
1 ⎪⎬
cos θ sin θ 0 ⎪⎨
x ⎪⎬ ⎪⎨
x ⎪⎬
⎢
⎥
2 = ⎢
⎣ − sin θ cos θ 0 ⎥
⎦ y = [L] y
⎪⎩ ⎪⎭
⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭
3 0 0 1 z
z
(5.38)
onde o ângulo θ é medido a partir do eixo x do sistema de coordenadas do problema para
o eixo 1 de ortotropia do material.
A inversa da equação (5.38) é:
⎧ ⎫ ⎡
⎤ ⎧ ⎫
⎪⎨
x ⎪⎬
cos θ − sin θ 0 ⎪⎨
1 ⎪⎬
⎢
⎥
y = ⎢
⎣ sin θ cos θ 0 ⎥
⎦ 2 = [L]
⎪⎩ ⎪⎭
⎪⎩ ⎪⎭
z 0 0 1 3
T
⎧ ⎫
⎪⎨
1 ⎪⎬
2
⎪⎩ ⎪⎭
3
Note que a inversa da matriz [L] é igual à sua transposta: [L] −1 = [L] T .
(5.39)
As transformações (5.38) e (5.39) são também válidas para vetores unitários associados
aos dois sistemas de coordenadas
⎧
⎪⎨
⎪⎩
e1
e2
e3
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
= [L]
⎪⎭ ⎪⎩
ex
ey
ez
⎫
⎪⎬
,
⎪⎭
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ex
ey
ez
⎫
⎪⎬
= [L]
⎪⎭
T
⎧
⎪⎨
⎪⎩
e1
e2
e3
⎫
⎪⎬
⎪⎭
(5.40)
Feitas as considerações relativas à transformação de coordenadas, passa-se ao trata-
mento dispensado para transformação das componentes de tensões.
A seguir consideramos a relação entre as componentes de tensões nos sistemas de
coordenadas (x, y, z) e (1, 2, 3). Seja σ denotando o tensor de tensões, que possui compo-
nentes σ11, σ12, . . . , σ33 no sistema de coordenadas material (1) (1, 2, 3) e as componentes