a análise de placas laminadas compostas inteligentes

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5.4 Relação constitutiva acoplada 68 ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ σ 1 1 σ 1 2 σ 1 3 τ 1 23 τ 1 31 τ 1 12 D 1 1 D 1 2 D 1 3 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ k ⎡ ⎢ = ⎢ ⎣ C 1 11 C 1 12 C 1 13 0 0 0 e 1 11 0 0 C 1 21 C 1 22 C 1 23 0 0 0 e 1 12 0 0 C 1 31 C 1 32 C 1 33 0 0 0 e 1 13 0 0 0 0 0 C 1 44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C 1 55 0 0 0 e 1 35 0 0 0 0 0 C 1 66 0 e 1 26 0 e 1 11 e 1 12 e 1 13 0 0 0 −χ 1 11 0 0 0 0 0 0 0 e 1 26 0 −χ 1 22 0 0 0 0 0 e 1 35 0 0 0 −χ 1 33 5.4.1 Rotação da relação constitutiva acoplada ⎤k ⎧⎪ ⎥ ⎨ ⎥ ⎦ ⎪⎩ ε 1 1 ε 1 2 ε 1 3 γ 1 23 γ 1 31 γ 1 12 −E 1 1 −E 1 2 −E 1 3 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ k (5.37) As estruturas laminadas em geral podem ser concebidas com lâminas nas mais diversas orientações, buscando-se com isso adequação aos requisitos de projeto, otimização das propriedades mecânicas, etc. Além disso, como já citado, devido à sua natureza ortotrópica, os materiais compostos empregados na estrutura base e os materiais piezelétricos incor- porados possuem individualmente propriedades que dependem da orientação em que são dispostos. Por consequência, a análise do comportamento de estruturas assim concebidas exige a definição de um sistema de coordenadas global, para que se obtenha a relação constitutiva do laminado. Emprega-se para esta finalidade, matrizes constitutivas transformadas de cada lâmina, que são obtidas pela rotação coplanar de um ângulo medido entre o sistema intrínseco da lâmina e o sistema global. As relações constitutivas (5.36) e (5.37) para um material ortotrópico foram escritas em termos de componentes de tensão e deformação que são referenciadas a um sistema de coordenadas que coincide com o sistema de coordenadas principal (íntrinseco) do material. Assim, existe uma necessidade de estabelecer relações de transformação entre tensões e deformações em um sistema de coordenadas às quantidades correspondentes no outro sistema de coordenadas. Estas relações podem ser usadas para transformar as equações constitutivas das coordenadas materiais de cada lâmina para as coordenadas usadas na descrição do problema. Na confecção de laminados planos, lâminas reforçadas por fibras são dispostas com
5.4 Relação constitutiva acoplada 69 seus planos 12 paralelos mas cada uma tendo uma orientação própria das fibras, ou seja, uma rotação em torno do eixo 3. Se o eixo z do problema é considerado ao longo da espessura do laminado, a coordenada 3 de cada lâmina será sempre coincidente com a coordenada z do problema. Assim, temos um tipo especial de transformação entre coordenadas materiais e coordenadas usadas na descrição do problema. Seja (x, y, z) denotando o sistema de coordenadas usado para escrever as equações governantes do laminado, e seja (1, 2, 3) as coordenadas materiais principais de uma lâmina típica no laminado tal que o eixo 3 é paralelo ao eixo z. As coordenadas de um ponto material em dois sistemas de coordenadas são relacionadas como segue ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪⎨ 1 ⎪⎬ cos θ sin θ 0 ⎪⎨ x ⎪⎬ ⎪⎨ x ⎪⎬ ⎢ ⎥ 2 = ⎢ ⎣ − sin θ cos θ 0 ⎥ ⎦ y = [L] y ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ 3 0 0 1 z z (5.38) onde o ângulo θ é medido a partir do eixo x do sistema de coordenadas do problema para o eixo 1 de ortotropia do material. A inversa da equação (5.38) é: ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎪⎨ x ⎪⎬ cos θ − sin θ 0 ⎪⎨ 1 ⎪⎬ ⎢ ⎥ y = ⎢ ⎣ sin θ cos θ 0 ⎥ ⎦ 2 = [L] ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ z 0 0 1 3 T ⎧ ⎫ ⎪⎨ 1 ⎪⎬ 2 ⎪⎩ ⎪⎭ 3 Note que a inversa da matriz [L] é igual à sua transposta: [L] −1 = [L] T . (5.39) As transformações (5.38) e (5.39) são também válidas para vetores unitários associados aos dois sistemas de coordenadas ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ e1 e2 e3 ⎫ ⎧ ⎪⎬ ⎪⎨ = [L] ⎪⎭ ⎪⎩ ex ey ez ⎫ ⎪⎬ , ⎪⎭ ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ex ey ez ⎫ ⎪⎬ = [L] ⎪⎭ T ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ e1 e2 e3 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ (5.40) Feitas as considerações relativas à transformação de coordenadas, passa-se ao trata- mento dispensado para transformação das componentes de tensões. A seguir consideramos a relação entre as componentes de tensões nos sistemas de coordenadas (x, y, z) e (1, 2, 3). Seja σ denotando o tensor de tensões, que possui componentes σ11, σ12, . . . , σ33 no sistema de coordenadas material (1) (1, 2, 3) e as componentes
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