a análise de placas laminadas compostas inteligentes

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5.4 Relação constitutiva acoplada 66 St St Su = Sω Su = Sω Sφ = 0, (5.33) Sφ = ∂Ω (5.34) Uma vez que no MEF podem-se satisfazer as duas condições de contorno essenciais tendo-se deslocamentos mecânicos e potenciais elétricos como variáveis nodais, o funcional pode ser simplificado. Caso E = −Deφ e ε = Dmu sejam satisfeitas por definição, o funcional ΠG pode ser reescrito como Π = Ω T E 1 Dmu C e 2 Deφ T e −χε Dmu Deφ − t T uds − φωds que dá origem à formulação irredutível em piezeletricidade. 5.4 Relação constitutiva acoplada St Sφ − b T u dv (5.35) Como visto, a matriz constitutiva elástica de uma lâmina no sistema de eixos intrínseco de ortotropia (eq. 4.8, pág. 36) é ⎡ ⎢ C = ⎢ ⎣ C11 C12 C13 0 0 0 C12 C22 C23 0 0 0 C13 C23 C33 0 0 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 C55 0 0 0 0 0 0 C66 Assim, tomando a matriz de constantes piezelétricas para um atuador de modo extensional, modo este que se caracteriza por uma deformação normal predominante na direção perpendicular à direção de polarização do material piezelétrico quando este é submetido a um campo elétrico paralelo à sua direção de polarização, conforme Reddy (2004) ⎤ ⎥ ⎦
5.4 Relação constitutiva acoplada 67 ee = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 e15 0 0 0 0 e24 0 0 e31 e32 e33 0 0 0 ou, em se tratando de atuador piezelétrico de modo cisalhante, caracterizado por uma deformação cisalhante predominante no plano formado pela direção de polarização do material e uma direção perpendicular na qual é aplicado o campo elétrico, conforme Vel e Batra (2001) ec = ⎡ ⎢ ⎣ e11 e12 e13 0 0 0 0 0 0 0 0 e26 0 0 0 0 e35 0 e finalmente, a matriz de constantes de permissividade dielétrica do material piezelétrico χ = ⎡ ⎢ ⎣ χ11 0 0 0 χ22 0 0 0 χ33 pode-se relacionar as matrizes de propriedades materiais e escrever as seguintes equações matriciais que representam a relação constitutiva linear eletromecanicamente acoplada (eq. 5.16) no sistema de eixos de ortotropia (indicado pelo superescrito 1) para uma lâmina piezelétrica k de modo extensional ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ σ 1 1 σ 1 2 σ 1 3 τ 1 23 τ 1 31 τ 1 12 D 1 1 D 1 2 D 1 3 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ k ⎡ ⎢ = ⎢ ⎣ C 1 11 C 1 12 C 1 13 0 0 0 0 0 e 1 31 C 1 21 C 1 22 C 1 23 0 0 0 0 0 e 1 32 C 1 31 C 1 32 C 1 33 0 0 0 0 0 e 1 33 0 0 0 C 1 44 0 0 0 e 1 24 0 0 0 0 0 C 1 55 0 e 1 15 0 0 0 0 0 0 0 C 1 66 0 0 0 0 0 0 0 e 1 15 0 −χ 1 11 0 0 0 0 0 e 1 24 0 0 0 −χ 1 22 0 e 1 31 e 1 32 e 1 33 0 0 0 0 0 −χ 1 33 e para uma lâmina piezelétrica de modo cisalhante ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ ⎤k ⎧⎪ ⎥ ⎨ ⎥ ⎦ ⎪⎩ ε 1 1 ε 1 2 ε 1 3 γ 1 23 γ 1 31 γ 1 12 −E 1 1 −E 1 2 −E 1 3 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ k (5.36)
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