a análise de placas laminadas compostas inteligentes

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4.1 Macromecânica de uma lâmina composta 34 onde ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6 ⎫ ⎡ ⎢ ⎪⎬ ⎢ = ⎢ ⎣ ⎪⎭ C11 C12 C13 C14 C15 C16 C12 C22 C23 C24 C25 C26 C13 C23 C33 C34 C35 C36 C14 C24 C34 C44 C45 C46 C15 C25 C35 C45 C55 C56 C16 C26 C36 C46 C56 C66 ⎤ ⎧ ⎥ ⎪⎨ ⎥ ⎦ ⎪⎩ ε1 = ε11 , ε2 = ε22 , ε3 = ε33 , ε4 = 2ε23 , ε5 = 2ε13 , ε6 = 2ε12 ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ (4.3) (4.4) Mendonça (2005) ainda cita que se existem dois planos ortogonais de simetria de propriedades no material, necessariamente existirá simetria relativa ao terceiro plano mu- tuamente ortogonal aos outros dois, de forma que a relação tensão-deformação se simplifica como ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6 ⎫ ⎡ ⎢ ⎪⎬ ⎢ = ⎢ ⎣ ⎪⎭ C11 C12 C13 0 0 0 C12 C22 C23 0 0 0 C13 C23 C33 0 0 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 C55 0 0 0 0 0 0 C66 onde os planos de simetria são: 1 − 2, 1 − 3 e 2 − 3. ⎤ ⎧ ⎥ ⎪⎨ ⎥ ⎦ ⎪⎩ ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ (4.5) Esta lei constitutiva é característica dos materiais ditos ortotrópicos, e definem-se em seu meio três direções principais paralelas às interseções dos três planos ortogonais de simetria. Destarte, um material ortotrópico possui pelo menos um sistema de coordenadas em cada ponto em que as tensões normais provocam apenas deformações normais e as tensões cisalhantes provocam apenas deformações cisalhantes na direção do carregamento. Esta matriz de rigidez [C], por ser não-singular, pode ser invertida, resultando na relação deformação-tensão, e por isso, agora denominada matriz de flexibilidade [S]
4.1 Macromecânica de uma lâmina composta 35 ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 ⎫ ⎡ ⎢ ⎪⎬ ⎢ = ⎢ ⎣ ⎪⎭ S11 S12 S13 S14 S15 S16 S12 S22 S23 S24 S25 S26 S13 S23 S33 S34 S35 S36 S14 S24 S34 S44 S45 S46 S15 S25 S35 S45 S55 S56 S16 S26 S36 S46 S56 S66 ⎤ ⎧ ⎥ ⎪⎨ ⎥ ⎦ ⎪⎩ σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ (4.6) Conforme Mendonça (2005) e Reddy (2004), os coeficientes da matriz de flexibilidade podem ser escritos em termos das chamadas constantes de engenharia, que repre- sentam propriedades elásticas do material e possuem interpretação física óbvia, que são os módulos de Young generalizados (E1, E2, E3), os módulos de Coulomb generalizados (G12, G23, G31) e os coeficientes de Poisson (ν12, ν21, ν23, ν32, ν13, ν31), mensurados segundo os eixos principais de ortotropia, tal que os termos não-nulos são S11 = 1 E1 , S12 = − ν21 , S13 = − ν31 E1 E2 E2 E3 S21 = − ν12 , S22 = 1 , S23 = − ν32 E3 S31 = − ν13 , S32 = − ν23 , S33 = 1 E1 Deve-se ressaltar que, embora foram definidas 12 constantes de engenharia para o material ortotrópico, a simetria de [S] mostra que existem apenas 9 constantes independentes pois νij Ei = νji Ej E3 E3 para i, j = 1, 2, 3. (4.7) A matriz de rigidez [C] para um material ortotrópico, em termos das constantes de engenharia, pode então ser obtida mediante a inversão da matriz de flexibilidade [S], tal que os termos não nulos são: C11 = C22 = 1 − ν23ν32 E2E3∆ , C44 = G23, C12 = ν21 + ν31ν23 E2E3∆ 1 − ν13ν31 E1E3∆ , C55 = G31, C13 = ν31 + ν21ν32 E2E3∆
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