a análise de placas laminadas compostas inteligentes

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3.3 Construção do espaço de aproximação 26 S1 = Figura 2: Definição do suporte do nó e funções PU do elemento. ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ4 × 1, u1, u2, u3 = ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ4, (ϕ1u1), . . . , (ϕ4u3) (3.9) Com isso, o elemento τ1 passa a ter então um total de dezesseis funções de forma (quatro em cada nó) construídas com o produto das funções de forma lagrageanas ele- mentares padrão (a partição da unidade) pelas aproximações locais u1, u2 e u3, que por suposição são funções definidas globalmente que podem aproximar bem a função u, solução do PVC, ao longo do domínio do elemento τ1. Podemos generalizar esta idéia pelo aumento do número de funções de enriquecimento, resultando num espaço S1 de dimensão ainda maior. Vistas as propriedades das funções de forma de elementos finitos de partição da unidade, podemos facilmente mostrar que a combinação linear das funções de forma definidas em (3.9) pode reproduzir as aproximações locais u1, u2 e u3, isto é Em outras palavras ϕ1uj + ϕ2uj + . . . + ϕ4uj = uj ϕ1 + ϕ2 + . . . + ϕ4 = uj u1, u2, u3 ∈ Assim, caso as funções uj em (3.9) sejam polinomiais, tem-se S1 (3.10) Pp−1(ωj) ⊂ Xj(ωj), j = 1, 2, . . . , N (3.11)
3.3 Construção do espaço de aproximação 27 onde Pp−1 denota o espaço de polinômios de grau menor ou igual a p − 1. Portanto, as funções de forma do elemento finito generalizado de grau p são definidas por F p N = N j i = ϕjLij, j = 1, 2, . . . , N, i ∈ j(j) (3.12) É importante citar que a estratégia de enriquecimento polinomial fornece um espaço expandido Xj formado por um conjunto de bases linearmente dependentes, como pode ser visto em Duarte, Babuˇska e Oden (2000), pois, por exemplo, considerando elementos planos, existem constantes ax j e a y j , j = 1, . . . , Nne/∀ x ∈ τ, com Nne iqual ao número de nós do elemento, tais que em combinação linear com a PU podem reproduzir uma determinada função de enriquecimento Nne ϕj(x) = 1, j=1 Nne a x j ϕj(x) = x, j=1 Nne j=1 a y j ϕj(x) = y (3.13) Valendo-se da propriedade vista em (3.10), de que a combinação da PU com uma função de enriquecimento pode reproduzir esta função de enriquecimento, tem-se Nne j ϕjx e portanto, prova-se a dependência linear Nne = x Nne Nne ϕjx − j j j ϕj = x (3.14) a x j ϕj = 0 (3.15) levando a um sistema de equações em termos de a x j . Assim, a matriz de rigidez obtida no MEFG se torna positiva semi-definida, mesmo após a eliminação dos movimentos de corpo rígido. Fica evidente que a idéia básica dos métodos de partição da unidade e, em particular, do MEFG, é o uso da partição da unidade para associar às aproximações locais. As funções de forma são construídas de tal forma que podem reproduzir, através de combinações lineares, a aproximação local definida em cada nuvem. Deve-se notar que existe considerável liberdade na escolha dos espaços Xj e a escolha mais óbvia para a base Xj são as funções polinomiais que podem aproximar bem as funções suaves. A implementação do método hp adaptativo é extremamente facilitada
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