a análise de placas laminadas compostas inteligentes

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2 Estado da arte de modelagem de placas inteligentes 8 Em uma revisão bibliográfica, Chee, Tong e Steven (1998) citam o trabalho de Crawley e deLuis (1987) que, abordando estruturas inteligentes, analisaram a atuação de uma viga em balanço por flexão e extensão causada por atuadores piezelétricos. Os dois casos considerados foram atuadores colados sobre a viga e embutidos em seu interior. O desenvolvimento matemático da solução analítica para este problema unidimensional conduziu a uma equação do movimento dinâmico genérica com um termo extra que contém a diferença de potencial aplicada e a constante piezelétrica. Crawley e Lazarus (1991) formularam soluções analíticas para encontrar as de- formações e curvaturas induzidas para placas isotrópicas e anisotrópicas submetidas à atuação por extensão, flexão e torção. Soluções exatas puderam ser obtidas somente para casos bastante especiais quando supondo somente deformações atuantes planas, tendo a acuracidade do método sido verificada por comparação com experimento de viga em balanço. Ray, Rao e Samata (1993) analisaram estaticamente estruturas inteligentes sob flexão cilíndrica através de uma formulação bidimensional de placa retangular simplesmente apoiada, usando as equações constitutivas piezelétricas lineares. Em seguida, Ray, Bhattacharya e Samata (1993) generalizaram a solução analítica para casos de car- regamentos arbitrários, apesar da geometria ainda permanecer restrita a placa retangular (Chee, Tong e Steven, 1998). Também conforme Chee, Tong e Steven (1998), Batra e Liang (1996) analisaram o controle de vibração de uma placa retangular simplesmente apoiada, similarmente a Ray, Rao e Samata (1993), onde as condições de contorno conduziram a predições de funções de deslocamentos na forma de séries de Fourier. Os autores propuseram otimizar a localização e o tamanho das pastilhas atuadoras para que uma mínima voltagem fosse necessária para amortecer a vibração da estrutura. Resultados numéricos da solução analítica, formulada pela teoria da elasticidade linear, indicaram que a posição ótima do atuador, para o problema analisado, era a região em que a vibração inicial atingia amplitude máxima. Um dos primeiros trabalhos empregando a metodologia de elementos finitos para modelagem estrutural envolvendo o efeito piezelétrico foi realizado por Allik e Hughes (1970). Os autores escolheram um tetraedro trilinear como elemento básico de sua formulação em elementos finitos que foi empregada para realizar análises estáticas e dinâmicas. Também empregando elementos finitos sólidos, Tzou e Tseng (1990), realizaram
2 Estado da arte de modelagem de placas inteligentes 9 análises estáticas e dinâmicas de placas finas através de modelos genéricos onde tanto a estrutura hospedeira quanto os próprios conjuntos atuadores são modelados por elementos sólidos isoparamétricos de 8 nós. Os autores avaliaram numericamente o comportamento de placas com camadas piezelétricas ativas e passivas comparando os resultados com experimentos. No controle de vibrações de placas laminadas, Ha, Keilers e Chang (1992) incor- poraram modos incompatíveis a um elemento sólido de 8 nós, cada qual com 4 graus de liberdade, sendo 3 deslocamentos mecânicos e 1 potencial elétrico. Tal formulação é geral no sentido de que pode ser aplicada a substratos laminados compostos com sensores e atuadores distribuídos, ainda que a formulação não use diretamente uma hipótese cinemática, como nos modelos de placas (Chee, Tong e Steven, 1998). A maioria das implementações de estruturas inteligentes em elementos finitos sólidos exibem excessiva rigidez ao cisalhamento a medida que a espessura diminui (Detwiler, Shen e Venkayya, 1995). Além disso, a modelagem completamente tridimensional de tais estruturas gera sistemas com elevado número de graus de liberdade. Incovenientes como estes motivaram o desenvolvimento de modelos bidimensionais, buscando reduzir o custo computacional das análises. Hwang e Park (1993) implementaram um elemento finito baseado numa formulação de atuação por deformação induzida, de forma que a carga elétrica total desenvolvida no sensor é calculada diretamente da equação da piezeletricidade. Utilizando a Teoria Clássica de Placas Laminadas (Classical Laminated Plates Theory - CLPT), os autores formularam um elemento finito de placa quadrangular com 3 graus de liberdade mecânicos por nó e 1 grau de liberdade elétrico por elemento. A lâmina piezelétrica com comportamento sensitivo possui voltagem de saída dependente da deformação média ao longo da área do elemento e a lâmina ativa induz um momento de controle nas extremidades do mesmo. O elemento bidimensional de placa destes autores é mais eficiente computa- cionalmente que elementos sólidos, mas apresenta restrições, pois pode somente ser usado para modelar sensores e atuadores piezelétricos aos pares. Detwiler, Shen e Venkayya (1995) apresentaram a formulação de um elemento finito isoparamétrico quadrangular de 4 nós capaz de modelar placas laminadas compostas contendo uma ou mais lâminas piezelétricas. Por se basear no modelo eletromecânico acoplado, o referido elemento pode conter uma ou mais lâminas piezelétricas capazes de representar comportamento ativo ou sensitivo, além de poder ser submetido a carrega- mentos mecânicos e elétricos variados sob condições estática ou dinâmica. Cada lâmina
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