a análise de placas laminadas compostas inteligentes

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APÊNDICE A -- Solução do sistema de equações no MEFG Seja o seguinte sistema de equações, obtido da aproximação de Galerkin de um PVC para a formulação em MEFG 186 KU = F (A.1) tal que, devido à dependência linear do conjunto de funções aproximadoras, a matriz K possui novas auto-funções cuja natureza é desconhecida. Desse modo, não se define a inversa K −1 . Ainda assim, a solução do sistema existe, apesar de não ser única. Para resolvê-lo, uma das alternativas propostas no trabalho de Strouboulis, Babuˇska e Copps (2000), consiste em se introduzir uma pequena pertubação na matriz de rigidez e, através de um procedimento iterativo, corrigir a solução aproximada obtida para o novo sistema de equações, estratégia que é reportada na literatura como procedimento de Babuˇska. Considera-se então, I a matriz identidade e ɛ > 0 uma constante. A partir de K determina-se uma nova matriz, agora positiva definida e dada por Kɛ = K + ɛI (A.2) Com a nova matriz Kɛ gera-se uma primeira aproximação para a solução do sistema na forma Como U0 á aproximada, haverá um resíduo definido por U0 = K −1 ɛ F (A.3)
Apêndice A -- Solução do sistema de equações no MEFG 187 r0 = F − KU0 A aproximação e0 para o primeiro erro do procedimento é definida como e substituindo (A.4) em (A.5) obtém-se A solução aproximada é, então, atualizada através de cujo resíduo é definido por Pode-se reescrever (A.8) como (A.4) e0 = K −1 ɛ (F − KU0) (A.5) e0 = K −1 ɛ r0 (A.6) U1 = U0 + e0 (A.7) r1 = F − KU1 = F − K(U0 + e0) (A.8) r1 = r0 − Ke0 Repetindo-se (A.5), tem-se, para a iteração 1 Uma nova solução aproximada é, portanto, obtida e o resíduo correspondente é que reformulado determina (A.9) e1 = K −1 ɛ r1 (A.10) U2 = U1 + e1 = U0 + (e0 + e1) (A.11) r2 = F − KU2 = F − K(U1 + e1) = F − K(U0 + e0 + e1) (A.12)
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