a análise de placas laminadas compostas inteligentes

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8.2 Placa com pastilhas piezelétricas discretas 158 Figura 9: Modelo de placa laminada composta com posicionamento dos atuadores. Saravanos, Heyliger e Hopkins (1997) utilizaram uma formulação desenvolvida completamente em camadas discretas para implementação de um elemento de placa qua- drangular bilinear. Estes autores forneceram as curvas para três deslocamentos normalizados a citar: a deflexão por flexão axial, a curvatura por flexão transversal e o ângulo de torção devido ao acoplamento flexão-torção. Para tanto, os autores trazem as seguintes equações para normalização dos deslocamentos T1 = w2 B T2 = 1 w2 − B (w1 + w3) 2 T3 = (w3 − w1) B (8.1) onde w2, w1 e w3 são deslocamentos transversais ao longo da linha média e das duas arestas paralelas ao comprimento, respectivamente, e B é a largura da placa. Os autores supracitados consideraram um laminado [0/ + 45/ − 45]s cuja flexão é induzida por um campo elétrico uniforme de 394 V/mm, de polaridade oposta nas pastilhas inferiores e superiores. Com um modelo de 16 × 9 elementos finitos, os autores obtiveram curvas dos referidos deslocamento normalizados, a partir das quais percebe-se boa concordância entre os resultados obtidos numericamente com aqueles apresentados por Crawley e Lazarus (1991) para o deslocamento T1, enquanto para T2 e T3 não se pode relatar o mesmo. Os autores citam o fato de seus resultados se aproximarem bastante
8.2 Placa com pastilhas piezelétricas discretas 159 daqueles apresentados por Ha, Keilers e Chang (1992) e atribuem a fraca correlação com os valores experimentais à incertezas quanto às propriedades materiais adotadas e à possíveis imperfeições no corpo de prova utilizado por Crawley e Lazarus (1991). Chee (2000) empregou para a modelagem uma malha de 12 × 7 elementos finitos bi- quadráticos do tipo Serendipity. O autor realizou uma primeira análise para um laminado [0/+45/−45]s, para o qual as pastilhas piezelétricas foram submetidas a um potencial uniforme de 100 V. Em seguida, modificou-se a orientação das lâminas, considerando uma sequência [+30/ + 30/0]s, situação em que foi aplicado um potencial de 120 V. Foram apresentadas curvas de deflexões ao longo do comprimento, sem citar qualquer procedi- mento de normalização dos valores, e os resultados foram comparados novamente com aqueles apresentados por Crawley e Lazarus (1991), verificando-se também alguma discrepância entre estes. De acordo com o autor, esta diferença não é de toda inesperada em virtude das diferentes formulações. Conforme Chee (2000), o trabalho de Craw- ley e Lazarus (1991) é um dos pioneiros neste campo e estes utilizam o conceito de deformação induzida, ou seja, permitindo somente análises onde as pastilhas piezelétricas se comportam como atuadores. Por outro lado, Lee (2001) utilizou uma malha com 16 × 9 elementos finitos do tipo Serendipity com 8 nós, formulados completamente segundo a teoria em camadas discretas, exceto para o deslocamento transversal w, considerando 8 lâminas discretas para elementos de placa e casca. O autor apresentou duas curvas de deslocamentos transversais normalizados que se enquadram na definição de deflexão por flexão axial de Saravanos, Heyliger e Hopkins (1997). As situações analisadas também foram um campo elétrico aplicado de 394 V/mm para uma configuração [0/ + 45/ − 45]s e 472 V/mm para uma configuração [+30/ + 30/0]s. Ainda, Lima Jr. (1999) empregou elementos finitos de placa baseados na FSDT, cujas matrizes de rigidez elementares foram obtidas com funções lagrangeanas bilineares para o deslocamento transversal e as rotações no plano de referência e funções de interpolação diferentes para o efeito de distorção. Com uma malha de 10 × 6 elementos, o autor obteve resultados para a configuração [0/ + 45/ − 45]s que são mostrados também na forma de gráficos, para os quais utilizou a mesma normalização dos deslocamentos transversais que Saravanos, Heyliger e Hopkins (1997), onde se pode observar boa concordância para o deslocamento normalizado T1. Utilizando elementos finitos do tipo Serendipity de oito nós, Faria (2006) analisou o mesmo problema empregando uma malha de 12 × 7 elementos considerando as duas
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