a análise de placas laminadas compostas inteligentes
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7.5 Solução de Navier 148 ∞ ∞ L12 + L66 m=1 n=1 + F66α 2 m + F22β 2 n + 3Dc44 + βn αmβnUmn + Ymn + Ymn + βnWmn npiez k=1 = −ω 2 3e (k) 24 ∞ m=1 n=1 L66α 2 m + L22β 2 n Vmn + F12 + F66 αmβnXmn H12 + H66 + 9F c44Ymn + βn αmβnXmn + npiez e (k) 32 H66α 2 m + H22β 2 n Ymn 1 (z 4 k − z 4 k−1)Φ (k−1) mn 4hk k=1 4 1 zk hk 12 − zkz3 k−1 3 + z4 k−1 Φ 4 (k−1) mn sin αmx cos βny e iωt ∞ sin αmx cos βny e iωt ρ3Vmn + ρ4Ymn + ρ6Ymn (7.105) ∞ ∞ hk e 2 m=1 n=1 (k) 15 αmXmn + e (k) 15 α 2 mWmn + e (k) 24 βnYmn + e (k) 24 β 2 nWmn sin αmx sin βny e iωt ∞ ∞ 4 1 zk + hk 12 m=1 n=1 − zkz3 k−1 3 + z4 k−1 3e 4 (k) 15 αmXmn + 3e (k) 24 βnYmn sin αmx sin βny e iωt ∞ ∞ 1 − h m=1 n=1 2 3 zk k 3 + zkz 2 k−1 − z 2 kzk−1 − z3 k−1 3 χ (k) 11 α 2 mΦ (k−1) mn + χ (k) 22 β 2 nΦ (k−1) mn sin αmx sin βny e iωt ∞ ∞ + e m=1 n=1 (k) 31 αmUmn + e (k) 32 βnVmn sin αmx sin βny e iωt + + ∞ m=1 n=1 ∞ m=1 n=1 ∞ 1 ∞ 1 − (z 2hk 2 k − z 2 k−1) (z 4hk 4 k − z 4 k−1) e (k) 31 αmXmn + e (k) 32 βnYmn e (k) 31 αmXmn + e (k) 32 βnYmn sin αmx sin βny e iωt sin αmx sin βny e iωt ∞ ∞ 1 χ hk m=1 n=1 (k) 33 Φ (k−1) mn sin αmx sin βny e iωt + qek = 0 7.5.1 Análise de flexão estática (7.106) No problema de flexão estática de placas laminadas piezelétricas o lado direito da igualdade das sete primeiras equações em termos de séries para laminados simétricos cruzados (7.99) - (7.105) desaparece. Além disso, pela análise das funções trigonométricas
7.5 Solução de Navier 149 que regem os modos nas terceira e última equações, (7.101) e (7.106), percebe-se que os carregamentos são convenientemente expandidos pelas seguintes séries de Fourier q z(x, y) = q ek(x, y) = ∞ ∞ m=1 n=1 ∞ ∞ m=1 n=1 Qmn sen mπx a Θ (k) mn sen mπx a sen nπy b sen nπy b Para os carregamentos q z e q ek impostos, os coeficientes são dados por Qmn = 4 ab a b 0 0 Θ (k) mn = 4 a b ab 0 0 q z(x, y) sin mπx a q ek(x, y) sin mπx a sin nπy b sin nπy b dy dx dy dx (7.107) (7.108) Desta forma, substituindo as expansões dos carregamentos externos nas equações do movimento em termos de expansões em séries tem-se que as equações resultantes se verificam em todos os pontos do domínio para cada par m e n se + + A11α 2 m + A66β 2 n B12 + B66 A12 + A66 B66α 2 m + B22β 2 n Umn + αmβnYmn + A12 + A66 L11α 2 m + L66β 2 n + αm αmβnUmn + Ymn + + βn Ac55αmXmn + Ac44βnYmn + + 3Dc44βnYmn + npiez k=1 npiez k=1 αmβnVmn + Xmn + e (k) 31 Φ (k−1) mn = 0 A66α 2 m + A22β 2 n L12 + L66 npiez k=1 Vmn αmβnXmn + e (k) 32 Φ (k−1) mn = 0 B11α 2 m + B66β 2 n L12 + L66 Xmn αmβnYmn B12 + B66 αmβnXmn L66α 2 m + L22β 2 n Ymn Ac55α 2 m + Ac44β 2 n Wmn + 3Dc55αmXmn α 2 me (k) 15 + β 2 ne (k) hk 24 2 Φ(k−1) mn = Qmn (7.109) (7.110) (7.111)
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7.5 Solução <strong>de</strong> Navier 149<br />
que regem os modos nas terceira e última equações, (7.101) e (7.106), percebe-se que os<br />
carregamentos são convenientemente expandidos pelas seguintes séries <strong>de</strong> Fourier<br />
q z(x, y) =<br />
q ek(x, y) =<br />
∞<br />
∞<br />
m=1 n=1<br />
∞<br />
∞<br />
m=1 n=1<br />
Qmn sen mπx<br />
a<br />
Θ (k)<br />
mn sen mπx<br />
a<br />
sen nπy<br />
b<br />
sen nπy<br />
b<br />
Para os carregamentos q z e q ek impostos, os coeficientes são dados por<br />
Qmn = 4<br />
ab<br />
a b<br />
0 0<br />
Θ (k)<br />
mn = 4<br />
a b<br />
ab 0 0<br />
q z(x, y) sin mπx<br />
a<br />
q ek(x, y) sin mπx<br />
a<br />
sin nπy<br />
b<br />
sin nπy<br />
b<br />
dy dx<br />
dy dx<br />
(7.107)<br />
(7.108)<br />
Desta forma, substituindo as expansões dos carregamentos externos nas equações<br />
do movimento em termos <strong>de</strong> expansões em séries tem-se que as equações resultantes se<br />
verificam em todos os pontos do domínio para cada par m e n se<br />
<br />
<br />
+<br />
+<br />
A11α 2 m + A66β 2 n<br />
<br />
B12 + B66<br />
<br />
A12 + A66<br />
<br />
B66α 2 m + B22β 2 n<br />
<br />
Umn +<br />
αmβnYmn +<br />
A12 + A66<br />
<br />
L11α 2 m + L66β 2 n<br />
+ αm<br />
<br />
<br />
αmβnUmn +<br />
<br />
Ymn +<br />
+ βn<br />
Ac55αmXmn + Ac44βnYmn +<br />
+ 3Dc44βnYmn +<br />
npiez <br />
k=1<br />
npiez <br />
k=1<br />
<br />
<br />
αmβnVmn +<br />
<br />
Xmn +<br />
e (k)<br />
31 Φ (k−1)<br />
mn = 0<br />
A66α 2 m + A22β 2 n<br />
L12 + L66<br />
npiez <br />
k=1<br />
<br />
<br />
Vmn<br />
<br />
αmβnXmn +<br />
e (k)<br />
32 Φ (k−1)<br />
mn = 0<br />
B11α 2 m + B66β 2 n<br />
L12 + L66<br />
<br />
<br />
<br />
Xmn<br />
αmβnYmn<br />
B12 + B66<br />
<br />
αmβnXmn<br />
L66α 2 m + L22β 2 <br />
n Ymn<br />
<br />
Ac55α 2 m + Ac44β 2 <br />
n Wmn + 3Dc55αmXmn<br />
<br />
α 2 me (k)<br />
15 + β 2 ne (k)<br />
<br />
hk<br />
24<br />
2 Φ(k−1) mn = Qmn<br />
(7.109)<br />
(7.110)<br />
(7.111)
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