a análise de placas laminadas compostas inteligentes

7.5 Solução de Navier 141
(B12 + B66) ∂2 u 0
L11
+ B66
∂x∂y
∂2v 0 ∂
+ B22
∂x2 2v0 ∂y2 + (D12 + D66) ∂2ψx ∂x∂y
+ (F12 + F66) ∂2 ψ3x
∂w
− Ac44ψy − Ac44
0
−
npiez
k=1
npiez
−
k=1
∂ 2 ψ3y
∂ 2 ψ3y
∂y 2
+ D66
+ F66
∂x∂y ∂x2 + F22
∂y − Ac45ψx
∂w
− Ac45
0
∂x − 3Dc44ψ3y − 3Dc45ψ3x
1
2hk
hk
2
(z 2 k − z 2 k−1)
e (k)
14
∂ϕk−1
∂x
e (k)
36
+ e(k)
24
∂2u0 ∂
+ L66
∂x2 2u0 ∂y2 + (L12 + L66) ∂2v 0
+ H11
∂ 2 ψ3x
+ H66
∂x2 ∂ϕk−1
∂x
∂ϕk−1
∂y
+ F11
∂x∂y
+ e(k)
32
∂ϕk−1
∂y
− mx = fmy
∂2ψy ∂
+ D22
∂x2 2ψy ∂y2 ∂2ψx ∂
+ F66
∂x2 2ψx ∂y2 + (F12 + F66) ∂2ψy ∂x∂y
∂2ψ3x ∂y2 + (H12 + H66) ∂2ψ3y ∂x∂y
∂w
− 3Dc45ψy − 3Dc45
0
∂y − 3Dc55ψx
∂w
− 3Dc55
0
∂x − 9F c45ψ3y − 9F c55ψ3x
npiez 1
− (z
4hk k=1
4 k − z 4
k−1) e (k)
∂ϕk−1 ∂ϕk−1
31 + e(k) 36
∂x ∂y
npiez
1
−
k=1
hk
(L12 + L66) ∂2 u 0
4 zk 12 − zkz3 k−1
3 + z4 k−1
4
+ L66
∂x∂y
3e (k)
15
∂ϕk−1
∂x
+ 3e(k)
25
∂ϕk−1
∂y
∂2v 0 ∂
+ L22
∂x2 2v0 ∂y2 + (F12 + F66) ∂2ψx ∂x∂y
+ (H12 + H66) ∂2 ψ3x
∂ 2 ψ3y
∂ 2 ψ3y
∂y 2
+ F66
+ m3y = f3mx
∂2ψy ∂
+ F22
∂x2 2ψy ∂y2 + H66
∂x∂y ∂x2 + H22
∂w
− 3Dc44ψy − 3Dc44
0
∂y − 3Dc45ψx
∂w
− 3Dc45
0
∂x − 9F c44ψ3y − 9F c45ψ3x
npiez 1
− (z
4hk k=1
4 k − z 4
k−1) e (k)
∂ϕk−1 ∂ϕk−1
36 + e(k) 32
∂x ∂y
npiez
1
−
− m3x = f3my
k=1
hk
4 zk 12 − zkz3 k−1
3 + z4 k−1
4
3e (k)
14
∂ϕk−1
∂x
+ 3e(k)
24
∂ϕk−1
∂y
(7.87)
(7.88)
(7.89)
Então, substituindo as expansões propostas para os deslocamentos generalizados (7.74)