a análise de placas laminadas compostas inteligentes
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7.4 Equações do movimento em termos de deslocamentos generalizados 132 Jk = ⎧ ⎪⎨ = ⎪⎩ + 1 4hk zk 1 zk−1 hk e31 e32 e36 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ ⎛⎧ ⎜⎪⎨ ⎜ ⎝⎪⎩ (k) T ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ (z 4 k − z 4 k−1) e31 e32 e36 ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ∂u 0 ∂y ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ ∂u 0 ∂x ∂v 0 ∂y e31 e32 e36 (k) T ⎧⎪ ⎨ + ∂v0 ∂x ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ ⎪⎩ (k) T ε 0 x + zκx + z 3 κ3x ε 0 y + zκy + z 3 κ3y γ 0 xy + zκxy + z 3 κ3xy ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ + 1 2hk ∂ψ3x ∂y (z 2 k − z 2 k−1) ∂ψ3x ∂x ∂ψ3y ∂y + ∂ψ3y ∂x ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ + χ(k) 33 hk e31 e32 e36 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ ϕk−1 (k) T + χ(k) 33 ϕk−1 hk ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ⎞ ⎟ ⎠ dz ∂ψx ∂y ∂ψx ∂x ∂ψy ∂y + ∂ψy ∂x ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ (7.65) 7.4 Equações do movimento em termos de deslocamentos generalizados As equações do movimento do problema em análise são obtidas em termos dos deslo- camentos generalizados substituindo as relações constitutivas em termos de esforços gene- ralizados (7.59) - (7.65), no conjunto de equações diferenciais do movimento (7.53) e levando-se em conta as relações deformações-deslocamentos generalizados (6.7) e (6.9) ∂ A11 2u0 ∂ + 2A16 2 2u0 + B11 + L11 ∂x ∂2ψx ∂x2 ∂ + 2B16 2ψx ∂x∂y ∂2ψ3x ∂x2 ∂ + 2L16 2ψ3x ∂x∂y + A66 ∂x∂y npiez − k=1 + B66 + L66 ∂ 2 u 0 + A16 ∂y2 ∂ 2 ψx + B16 ∂y2 ∂2v 0 ∂x2 + (A12 + A66) ∂2v 0 ∂ + A26 ∂x∂y 2v0 ∂y ∂2ψy ∂x2 + (B12 + B66) ∂2ψy ∂ + B26 ∂x∂y 2ψy ∂y2 ∂ + L26 2ψ3y ∂y2 ∂2ψ3x ∂ + L16 ∂y2 2ψ3y ∂x2 + (L12 + L66) ∂2ψ3y ∂x∂y e (k) ∂ϕk−1 31 ∂x − npiez k=1 e (k) ∂ϕk−1 36 ∂y + qx = fx (7.66)
7.4 Equações do movimento em termos de deslocamentos generalizados 133 ∂ A16 2u0 ∂x2 + (A12 + A66) ∂2u0 ∂x∂y ∂ + B16 2ψx ∂x2 + (B12 + B66) ∂2ψx ∂x∂y ∂ + L16 2ψ3x ∂x2 + (L12 + L66) ∂2ψ3x ∂x∂y − npiez k=1 ∂ψx ∂ψx ∂ψy Ac55 + Ac45 + Ac45 ∂x ∂y ∂x + npiez k=0 ∂ψ3x + 3Dc55 e (k) hk ∂ 15 2 2ϕk−1 ∂x2 + npiez ∂ B11 2u0 ∂ + 2B16 2 2u0 + D11 + F11 ∂x k=1 + A26 + B26 + L26 ∂ 2 u 0 + A66 ∂y2 ∂ 2 ψx + B66 ∂y2 ∂ 2 ψ3x e (k) ∂ϕk−1 36 ∂x − npiez + L66 ∂y2 k=1 ∂ψy + Ac44 ∂y ∂ψ3x + 3Dc45 ∂x ∂y k=0 + B66 ∂x∂y 2hk e (k) 14 + e (k) 25 ∂ 2 u 0 ∂2v 0 ∂ + 2A26 2 2v0 ∂x ∂x∂y ∂2ψy ∂ + 2B26 2 2ψy ∂x ∂2ψ3y + 2L26 ∂x2 e (k) ∂ϕk−1 32 ∂y + qy = fy + Ac55 ∂ 2 w 0 ∂x ∂ψ3y + 3Dc44 hk 2 + B16 ∂y2 ∂y ∂2ϕk−1 ∂x∂y + npiez ∂x∂y ∂ 2 ψ3y ∂x∂y ∂ 2 w 0 + 2Ac45 2 ∂x∂y ∂ψ3y + 3Dc45 ∂x k=0 ∂ 2 v 0 ∂x 2 + (B12 + B66) ∂2 v 0 ∂ + A22 2v0 ∂y2 ∂ + B22 2ψy ∂y2 ∂ + L22 2ψ3y ∂y2 (7.67) ∂ + Ac44 2w0 ∂y2 e (k) hk ∂ 24 2 2ϕk−1 ∂y2 + qz = fz ∂x∂y ∂2ψx ∂ + 2D16 ∂x2 2ψx ∂ + D66 ∂x∂y 2ψx ∂y2 ∂ + D16 2ψy ∂x2 + (D12 + D66) ∂2ψy ∂x∂y ∂2ψ3x ∂x2 ∂ + 2F16 2ψ3x ∂ + F66 ∂x∂y 2ψ3x ∂y2 ∂ + F16 2ψ3y ∂x2 + (F12 + F66) ∂2ψ3y ∂x∂y ∂w − Ac45ψy − Ac45 0 ∂y − Ac55ψx ∂w − Ac55 0 npiez − e (k) 31 1 (z 2 k − z 2 k−1) ∂ϕk−1 ∂x − npiez e (k) 36 (z 2 k − z 2 k−1) ∂ϕk−1 ∂y − npiez k=1 e (k) hk ∂ϕk−1 15 2 ∂x − npiez k=1 ∂x − 3Dc45ψ3y − 3Dc55ψ3x 1 k=1 2hk e (k) hk ∂ϕk−1 25 2 ∂y + my = fmx ∂ + B26 2v0 ∂y2 ∂ + D26 2ψy ∂y2 ∂ + F26 2ψ3y ∂y2 (7.68) (7.69)
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7.4 Equações do movimento em termos <strong>de</strong> <strong>de</strong>slocamentos generalizados 133<br />
∂<br />
A16<br />
2u0 ∂x2 + (A12 + A66) ∂2u0 ∂x∂y<br />
∂<br />
+ B16<br />
2ψx ∂x2 + (B12 + B66) ∂2ψx ∂x∂y<br />
∂<br />
+ L16<br />
2ψ3x ∂x2 + (L12 + L66) ∂2ψ3x ∂x∂y<br />
−<br />
npiez <br />
k=1<br />
∂ψx ∂ψx ∂ψy<br />
Ac55 + Ac45 + Ac45<br />
∂x ∂y ∂x<br />
+<br />
npiez <br />
k=0<br />
∂ψ3x<br />
+ 3Dc55<br />
e (k) hk ∂<br />
15<br />
2<br />
2ϕk−1 ∂x2 +<br />
npiez<br />
∂<br />
B11<br />
2u0 ∂<br />
+ 2B16<br />
2 2u0 + D11<br />
+ F11<br />
∂x<br />
k=1<br />
+ A26<br />
+ B26<br />
+ L26<br />
∂ 2 u 0<br />
+ A66<br />
∂y2 ∂ 2 ψx<br />
+ B66<br />
∂y2 ∂ 2 ψ3x<br />
e (k) ∂ϕk−1<br />
36<br />
∂x −<br />
npiez<br />
+ L66<br />
∂y2 <br />
k=1<br />
∂ψy<br />
+ Ac44<br />
∂y<br />
∂ψ3x<br />
+ 3Dc45<br />
∂x ∂y<br />
<br />
k=0<br />
+ B66<br />
∂x∂y<br />
2hk<br />
<br />
e (k)<br />
14 + e (k)<br />
25<br />
∂ 2 u 0<br />
∂2v 0 ∂<br />
+ 2A26<br />
2 2v0 ∂x<br />
∂x∂y<br />
∂2ψy ∂<br />
+ 2B26<br />
2 2ψy ∂x<br />
∂2ψ3y + 2L26<br />
∂x2 e (k) ∂ϕk−1<br />
32<br />
∂y + qy = fy<br />
+ Ac55<br />
∂ 2 w 0<br />
∂x<br />
∂ψ3y<br />
+ 3Dc44<br />
hk<br />
2<br />
+ B16<br />
∂y2 ∂y<br />
∂2ϕk−1 ∂x∂y +<br />
npiez <br />
∂x∂y<br />
∂ 2 ψ3y<br />
∂x∂y<br />
∂ 2 w 0<br />
+ 2Ac45<br />
2 ∂x∂y<br />
∂ψ3y<br />
+ 3Dc45<br />
∂x<br />
k=0<br />
∂ 2 v 0<br />
∂x 2 + (B12 + B66) ∂2 v 0<br />
∂<br />
+ A22<br />
2v0 ∂y2 ∂<br />
+ B22<br />
2ψy ∂y2 ∂<br />
+ L22<br />
2ψ3y ∂y2 (7.67)<br />
∂<br />
+ Ac44<br />
2w0 ∂y2 e (k) hk ∂<br />
24<br />
2<br />
2ϕk−1 ∂y2 + qz = fz<br />
∂x∂y<br />
∂2ψx ∂<br />
+ 2D16<br />
∂x2 2ψx ∂<br />
+ D66<br />
∂x∂y 2ψx ∂y2 ∂<br />
+ D16<br />
2ψy ∂x2 + (D12 + D66) ∂2ψy ∂x∂y<br />
∂2ψ3x ∂x2 ∂<br />
+ 2F16<br />
2ψ3x ∂<br />
+ F66<br />
∂x∂y 2ψ3x ∂y2 ∂<br />
+ F16<br />
2ψ3y ∂x2 + (F12 + F66) ∂2ψ3y ∂x∂y<br />
∂w<br />
− Ac45ψy − Ac45<br />
0<br />
∂y − Ac55ψx<br />
∂w<br />
− Ac55<br />
0<br />
npiez <br />
− e (k)<br />
31<br />
1<br />
(z 2 k − z 2 k−1) ∂ϕk−1<br />
∂x −<br />
npiez<br />
e (k)<br />
36 (z 2 k − z 2 k−1) ∂ϕk−1<br />
∂y<br />
−<br />
npiez <br />
k=1<br />
e (k) hk ∂ϕk−1<br />
15<br />
2 ∂x −<br />
npiez <br />
k=1<br />
∂x − 3Dc45ψ3y − 3Dc55ψ3x<br />
1<br />
k=1<br />
2hk<br />
e (k) hk ∂ϕk−1<br />
25<br />
2 ∂y + my = fmx<br />
∂<br />
+ B26<br />
2v0 ∂y2 ∂<br />
+ D26<br />
2ψy ∂y2 ∂<br />
+ F26<br />
2ψ3y ∂y2 (7.68)<br />
(7.69)
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