a análise de placas laminadas compostas inteligentes

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7.3 Equações constitutivas do laminado piezelétrico 130 ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ = + M3x M3y M3xy ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ ⎫ ⎪⎬ = ⎪⎭ N k=1 L11 L12 L16 L12 L22 L26 L16 L26 L66 H11 H12 H16 H12 H22 H26 H16 H26 H66 Qy = + Qx zk zk−1 ⎛⎡ ⎜ ⎜⎢ ⎜⎢ ⎝⎣ ⎧ ⎪⎨ + ⎪⎩ ⎧ ⎤ ⎪⎨ ⎥ ⎦ ⎪⎩ ⎧ ⎤ ⎪⎨ ⎥ ⎦ = ⎪⎩ N k=1 Ac44 Ac45 npiez k=1 Ac45 Ac55 ∂u 0 ∂y e14 e24 e15 e25 C11 C12 C16 C12 C22 C26 C16 C26 C66 e31 e32 e36 ∂u 0 ∂x ∂v 0 ∂y ∂ψ3x ∂y zk zk−1 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ (k) + ∂v0 ∂x ∂ψ3x ∂x ∂ψ3y ∂y ⎫ ⎪⎭ + ∂ψ3y ∂x ⎛ ⎝ ⎤(k) ⎧⎪ ⎥ ⎨ ⎥ ⎦ ⎪⎩ − ϕk−1 hk ⎡ ⎪⎬ ⎢ + ⎢ ⎣ ⎫ ⎪⎬ − ⎪⎭ C44 C45 C45 C55 ⎞ ε 0 x + zκx + z 3 κ3x ε 0 y + zκy + z 3 κ3y γ 0 xy + zκxy + z 3 κ3xy ⎟ ⎠ z3 dz F11 F12 F16 F12 F22 F26 F16 F26 F66 npiez k=1 + e14 e24 e15 e25 ⎧⎪ ⎨ ψy + ⎪⎩ ∂w0 ∂y ψx + ∂w0 ⎫ ⎪⎬ + ⎪⎭ ∂x ⎧ ⎫ (k) ∂ϕk−1 ⎪⎨ ⎪⎬ hk ∂x 2 ⎪⎩ ⎪⎭ ∂ϕk−1 ∂y ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ e31 e32 e36 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ ⎧ ⎤ ⎪⎨ ⎥ ⎦ (k) ⎪⎩ ϕk−1 (k) γ 0 yz + z 2 κ2yz γ 0 xz + z 2 κ2xz (k) zk − z kk Dc44 Dc45 (k) Dc45 Dc55 ∂ψx ∂y 1 4hk Epx Epy ∂ψx ∂x ∂ψy ∂y ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ + ∂ψy ∂x ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ (z 4 k − z 4 k−1) ⎞ 3ψ3y 3ψ3x ⎠ dz (7.61) (7.62)
7.3 Equações constitutivas do laminado piezelétrico 131 Q2y = + Q2x = N k=1 Dc44 Dc45 npiez k=1 Lx − Ly Dc45 Dc55 e14 e24 e15 e25 (k) = χ11 χ12 = − hk 2 χ12 χ22 zk zk zk−1 ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ (k) zk−1 e14 e15 e24 e25 ⎛ ⎝ ⎛ ⎝ + C44 C45 C45 C55 e14 e24 e15 e25 ψy + ∂w0 ∂y ψx + ∂w0 ∂x 1 hk (k) γ 0 yz + z 2 κ2yz (k) zk − z γ 0 xz + z 2 κ2xz kk Epx Epy ⎞ ⎠ z 2 dz ⎫ ⎪⎬ F c44 F c45 3ψ3y + ⎪⎭ F c45 F c55 3ψ3x 4 zk 12 − zkz3 k−1 3 + z4 k−1 4 e14 e24 (k) zk − z (k) e15 e25 hk ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ Epx ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ (k) γ 0 yz + z 2 κ2yz Epy ψy + ∂w0 ∂y ψx + ∂w0 ∂x γ 0 xz + z 2 κ2xz hk ∂ϕk−1 ∂x ∂ϕk−1 ∂y ⎞ ⎠ z − zk dz ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ − 1 4 zk hk 12 − zkz3 k−1 3 + z4 k−1 4 e14 e15 e24 e25 (k) 3ψ3y + 1 h2 3 zk k 3 + zkz 2 k−1 − z 2 kzk−1 − z3 k−1 3 χ11 χ12 χ12 χ22 3ψ3x (k) ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ (k) ∂ϕk−1 ∂x ∂ϕk−1 ∂y ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ (7.63) (7.64)
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