a análise de placas laminadas compostas inteligentes

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7.3 Equações constitutivas do laminado piezelétrico 128 7.3 Equações constitutivas do laminado piezelétrico As equações constitutivas do laminado relacionam os esforços internos generalizados às deformações generalizadas. Cada lâmina é adimitida como sendo constituída de um material transversalmente isotrópico e as relações constitutivas expressas nas equações (6.52) e (6.58) são válidas para a k-ésima lâmina nas coordenadas do problema. Apesar das deformações coplanares serem contínuas através da espessura, as corres- pondentes tensões não são, em virtude da mudança dos coeficientes materiais de uma lâmina para outra e portanto, a integração na espessura é efetuada lâmina à lâmina. A relação constitutivas (6.52) pode ser desmembrada como a seguir, em tensões de membrana e flexão, tensões de cisalhamento transversal e deslocamentos elétricos, para uma lâmina k ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ σx σy τxy Dx Dy Dz ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ τyz τxz ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ (k) (k) = = = ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ C11 C12 C16 C12 C22 C26 C16 C26 C66 C44 C45 C45 C55 ⎤(k) ⎧⎪ ⎥ ⎨ ⎥ ⎦ ⎪⎩ (k) γyz γxz 0 0 e14 e15 0 0 0 e24 e25 0 e31 e32 0 0 e36 εx εy γxy (k) ⎤ ⎥ ⎦ (k) ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ + ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ (k) ⎡ ⎤(k) ⎧⎪ ⎫ 0 0 e31 −Ex ⎢ ⎥ ⎨ ⎪⎬ + ⎢ ⎣ 0 0 e32 ⎥ ⎦ −Ey ⎪⎩ ⎪⎭ 0 0 e36 −Ez e14 e24 0 εx εy γyz γxz γxy e15 e25 0 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ (k) − ⎡ ⎢ ⎣ ⎧ (k) ⎪⎨ ⎪⎩ −Ex −Ey −Ez χ11 χ12 0 χ12 χ22 0 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ (k) (k) (7.56) (7.57) ⎤ ⎧ ⎫ ⎪⎨ −Ex ⎪⎬ ⎥ ⎦ −Ey ⎪⎩ ⎪⎭ 0 0 χ33 −Ez (7.58) Utilizando as definições dos esforços generalizados, equações (7.22) - (7.28), as relações deformações - deslocamentos, equações (6.6), as relações campos elétricos - potenciais, (7.19) e (7.20), e as relações constitutivas, (7.56) - (7.58), pode-se definir as relações constitutivas do laminado, que envolvem os esforços generalizados e as deformações generalizadas
7.3 Equações constitutivas do laminado piezelétrico 129 ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ = + ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ = + Nx Ny Nxy ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ Mx My Mxy ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ ⎫ ⎪⎬ = ⎪⎭ N k=1 zk A11 A12 A16 A12 A22 A26 A16 A26 A66 L11 L12 L16 L12 L22 L26 L16 L26 L66 ⎫ ⎪⎬ = ⎪⎭ N k=1 zk−1 zk B11 B12 B16 B12 B22 B26 B16 B26 B66 F11 F12 F16 F12 F22 F26 F16 F26 F66 ⎛⎡ ⎜ ⎜⎢ ⎜⎢ ⎝⎣ ⎧ ⎪⎨ + ⎪⎩ ⎧ ⎤ ⎪⎨ ⎥ ⎦ ⎪⎩ ⎧ ⎤ ⎪⎨ ⎥ ⎦ zk−1 ⎪⎩ ⎛⎡ ⎜ ⎜⎢ ⎜⎢ ⎝⎣ C11 C12 C16 C12 C22 C26 C16 C26 C66 ∂u 0 ∂y e31 e32 e36 ∂ψ3x ∂y ⎧ ⎪⎨ + ⎪⎩ ⎧ ⎤ ⎪⎨ ⎥ ⎦ ⎪⎩ ⎧ ⎤ ⎪⎨ ⎥ ⎦ ⎪⎩ ∂u 0 ∂x ∂v 0 ∂y ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ (k) + ∂v0 ∂x ∂ψ3x ∂x ∂ψ3y ∂y + ∂ψ3y ∂x ⎫ ⎤(k) ⎧⎪ ⎥ ⎨ ⎥ ⎦ ⎪⎩ − ϕk−1 hk ⎡ ⎪⎬ ⎢ + ⎢ ⎣ ⎪⎭ ⎫ ⎪⎬ − ⎪⎭ C11 C12 C16 C12 C22 C26 C16 C26 C66 ∂u 0 ∂y ∂ψ3x ∂y e31 e32 e36 ∂u 0 ∂x ∂v 0 ∂y ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ (k) + ∂v0 ∂x ∂ψ3x ∂x ∂ψ3y ∂y + ∂ψ3y ∂x ⎫ ⎞ ε 0 x + zκx + z 3 κ3x ε 0 y + zκy + z 3 κ3y γ 0 xy + zκxy + z 3 κ3xy ⎟ ⎠ dz B11 B12 B16 B12 B22 B26 B16 B26 B66 npiez k=1 ⎤(k) ⎧⎪ ⎥ ⎨ ⎥ ⎦ ⎪⎩ − ϕk−1 hk ⎡ ⎪⎬ ⎢ + ⎢ ⎣ ⎪⎭ ⎫ ⎪⎬ − ⎪⎭ ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ⎞ e31 e32 e36 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ (k) ⎧ ⎤ ⎪⎨ ⎥ ⎦ ⎪⎩ ϕk−1 ε 0 x + zκx + z 3 κ3x ε 0 y + zκy + z 3 κ3y ∂ψx ∂y γ 0 xy + zκxy + z 3 κ3xy ⎟ z dz ⎠ D11 D12 D16 D12 D22 D26 D16 D26 D66 npiez k=1 ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ e31 e32 e36 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ (k) ⎧ ⎤ ⎪⎨ ⎥ ⎦ ⎪⎩ ϕk−1 ∂ψx ∂y 1 2hk ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ ∂ψx ∂x ∂ψy ∂y + ∂ψy ∂x ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ ∂ψx ∂x ∂ψy ∂y + ∂ψy ∂x ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ (z 2 k − z 2 k−1) ⎫ (7.59) ⎪⎬ (7.60) ⎪⎭
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