a análise de placas laminadas compostas inteligentes

7.2 Princípio dos trabalhos virtuais 125
onde Γ, Γ (k) e Γ σ definem, respectivamente, o contorno da superfície média do laminado,
o contorno da face inferior da camada piezelétrica k e o contorno da superfície média que
intercepta a borda com forças externas aplicadas.
Reescrevendo somente as duas primeiras integrais no contorno, fazendo-se a substi-
tuição de dx por nxds e dy por −nyds, tem-se
I = − Nxδu0nnx − Nxδu0sny + Nxyδu0nny + Nxyδu0snx+
Γ
Mxδψnnx − Mxδψsny + Mxyδψnny + Mxyδψsnx+
M3xδψ3nnx − M3xδψ3sny + M3xyδψ3nny + M3xyδψ3snx + Qyδw 0
Nyδu0nny + Nyδu0snx + Nxyδu0nnx − Nxyδu0sny+
(nx) ds+
Γ
Myδψnny + Myδψsnx + Mxyδψnnx − Mxyδψsny+
M3yδψ3nny + M3yδψ3snx + M3xyδψ3nnx − M3xyδψ3sny − Qxδw 0
(−ny) ds
(7.46)
Fazendo o produto distributivo e reagrupando os termos em função dos deslocamentos
generalizados tem-se, após rearranjo dos termos
I =
Γ
− Nxn 2 x − Nyn 2 y − Nxy(2nxny) + N n
Nxnxny − Nynxny − Nxy(n 2 n − n 2 y) + N ns
− Mxn 2 x − Myn 2 y − Mxy(2nxny) + M n
Mxnxny − Mynxny − Mxy(n 2 x − n 2 y) + M ns
− M3xn 2 x − M3yn 2 y − M3xy(2nxny) + M 3n
δu0s+
δu0n+
δψn+
δψs+
M3xnxny − M3ynxny − M3xy(n 2 x − n 2 y) + M 3ns
Qy + Qx + Qn
npiez
k=1
Γ (k)
δw 0
ds−
L (k)
npiez
y δϕk−1dx +
k=1
Γ (k)
L (k)
x δϕk−1dy
δψ3n+
δψ3s+
(7.47)
Portanto, a expressão do Princípio do Trabalhos Virtuais (7.41) para um segmento
genérico de contorno ds é