a análise de placas laminadas compostas inteligentes
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7.2 Princípio dos trabalhos virtuais 124 δu0s e do ângulo α entre os eixos xy e ns δu 0 = δu0n cos α − δu0s sen α = δu0nnx − δu0sny δv 0 = δu0n sen α + δu0s cos α = δu0nny + δu0snx Adicionalmente, tem-se para as rotações de primeira ordem e de ordem superior δψx = δψnnx − δψsny δψy = δψnny + δψsnx δψ3x = δψ3nnx − δψ3sny δψ3y = δψ3nny + δψ3snx (7.43) (7.44) Assim, a substituição das variações dos deslocamentos generalizados expressas em termos de componentes no contorno (7.43) e (7.44) nas integrais de contorno em (7.41) resulta em Nx,x + Nxy,y + qx − fx δu x y 0 + Nxy,x + Ny,y + qy − fy δv 0 + Qx,y + Qy,x + qz − fw δw 0 + Mx,x + Mxy,y − Qx + my − fmx δψx + Mxy,x + My,y − Qy − mx − fmy δψy + M3x,x + M3xy,y − 3Q2x + m3y − f3mx + M3xy,x + M3y,y − 3Q2y − m3x − f3my δψ3y dy dx − − Mxy npiez k=1 Γ x Nx y L (k) x,x + L (k) y,y − Jk + qek δϕk−1 dy dx δu0nnx − δu0sny + Nxy δψnny + δψsnx + M3x + Ny δu0nny + δu0snx + Nxy Mxy + + Γ δψnnx − δψsny + M3y npiez k=1 Γ σ Γ (k) L (k) npiez y δϕk−1 dx + k=1 δu0nny + δu0snx δψ3nnx − δψ3sny δu0nnx − δu0sny δψ3nny + δψ3snx Γ (k) L (x) x δϕk−1 dy δψ3nny + δψ3snx δψ3x + Mx δψnnx − δψsny + + M3xy + Qyδw 0 dy + My δψnny + δψsnx + + M3xy δψ3nnx − δψ3sny + Qxδw 0 dx Nnδu0n + Mnδψn + M3nδ3n + Nnsδu0s + Mnsδψs + M3nsδψ3s + Qnδw 0 ds = 0 (7.45)
7.2 Princípio dos trabalhos virtuais 125 onde Γ, Γ (k) e Γ σ definem, respectivamente, o contorno da superfície média do laminado, o contorno da face inferior da camada piezelétrica k e o contorno da superfície média que intercepta a borda com forças externas aplicadas. Reescrevendo somente as duas primeiras integrais no contorno, fazendo-se a substi- tuição de dx por nxds e dy por −nyds, tem-se I = − Nxδu0nnx − Nxδu0sny + Nxyδu0nny + Nxyδu0snx+ Γ Mxδψnnx − Mxδψsny + Mxyδψnny + Mxyδψsnx+ M3xδψ3nnx − M3xδψ3sny + M3xyδψ3nny + M3xyδψ3snx + Qyδw 0 Nyδu0nny + Nyδu0snx + Nxyδu0nnx − Nxyδu0sny+ (nx) ds+ Γ Myδψnny + Myδψsnx + Mxyδψnnx − Mxyδψsny+ M3yδψ3nny + M3yδψ3snx + M3xyδψ3nnx − M3xyδψ3sny − Qxδw 0 (−ny) ds (7.46) Fazendo o produto distributivo e reagrupando os termos em função dos deslocamentos generalizados tem-se, após rearranjo dos termos I = Γ − Nxn 2 x − Nyn 2 y − Nxy(2nxny) + N n Nxnxny − Nynxny − Nxy(n 2 n − n 2 y) + N ns − Mxn 2 x − Myn 2 y − Mxy(2nxny) + M n Mxnxny − Mynxny − Mxy(n 2 x − n 2 y) + M ns − M3xn 2 x − M3yn 2 y − M3xy(2nxny) + M 3n δu0s+ δu0n+ δψn+ δψs+ M3xnxny − M3ynxny − M3xy(n 2 x − n 2 y) + M 3ns Qy + Qx + Qn npiez k=1 Γ (k) δw 0 ds− L (k) npiez y δϕk−1dx + k=1 Γ (k) L (k) x δϕk−1dy δψ3n+ δψ3s+ (7.47) Portanto, a expressão do Princípio do Trabalhos Virtuais (7.41) para um segmento genérico de contorno ds é
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7.2 Princípio dos trabalhos virtuais 124<br />
δu0s e do ângulo α entre os eixos xy e ns<br />
δu 0 = δu0n cos α − δu0s sen α = δu0nnx − δu0sny<br />
δv 0 = δu0n sen α + δu0s cos α = δu0nny + δu0snx<br />
Adicionalmente, tem-se para as rotações <strong>de</strong> primeira or<strong>de</strong>m e <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m superior<br />
δψx = δψnnx − δψsny<br />
δψy = δψnny + δψsnx<br />
δψ3x = δψ3nnx − δψ3sny<br />
δψ3y = δψ3nny + δψ3snx<br />
(7.43)<br />
(7.44)<br />
Assim, a substituição das variações dos <strong>de</strong>slocamentos generalizados expressas em<br />
termos <strong>de</strong> componentes no contorno (7.43) e (7.44) nas integrais <strong>de</strong> contorno em (7.41)<br />
resulta em<br />
<br />
Nx,x + Nxy,y + qx − fx δu<br />
x y<br />
0 <br />
<br />
+ Nxy,x + Ny,y + qy − fy δv 0<br />
<br />
<br />
+ Qx,y + Qy,x + qz − fw δw 0 <br />
<br />
<br />
+ Mx,x + Mxy,y − Qx + my − fmx<br />
<br />
δψx<br />
<br />
+ Mxy,x + My,y − Qy − mx − fmy<br />
<br />
δψy +<br />
<br />
M3x,x + M3xy,y − 3Q2x + m3y − f3mx<br />
<br />
+ M3xy,x + M3y,y − 3Q2y − m3x − f3my δψ3y dy dx<br />
−<br />
<br />
−<br />
Mxy<br />
npiez <br />
k=1<br />
Γ<br />
<br />
<br />
x<br />
Nx<br />
<br />
<br />
y<br />
<br />
L (k)<br />
x,x + L (k)<br />
<br />
y,y − Jk + qek δϕk−1 dy dx<br />
δu0nnx − δu0sny<br />
<br />
+ Nxy<br />
<br />
<br />
δψnny + δψsnx + M3x<br />
<br />
<br />
+ Ny δu0nny + δu0snx + Nxy<br />
Mxy<br />
+<br />
<br />
+<br />
Γ<br />
<br />
<br />
δψnnx − δψsny + M3y<br />
npiez <br />
k=1<br />
Γ σ<br />
<br />
Γ (k)<br />
L (k)<br />
npiez <br />
y δϕk−1 dx +<br />
k=1<br />
δu0nny + δu0snx<br />
δψ3nnx − δψ3sny<br />
δu0nnx − δu0sny<br />
δψ3nny + δψ3snx<br />
<br />
Γ (k)<br />
L (x)<br />
x δϕk−1 dy<br />
δψ3nny + δψ3snx<br />
δψ3x<br />
<br />
<br />
+ Mx δψnnx − δψsny +<br />
<br />
<br />
+ M3xy<br />
+ Qyδw 0<br />
<br />
dy<br />
<br />
<br />
+ My δψnny + δψsnx +<br />
<br />
<br />
+ M3xy δψ3nnx − δψ3sny + Qxδw 0<br />
<br />
dx<br />
<br />
Nnδu0n + Mnδψn + M3nδ3n + Nnsδu0s + Mnsδψs + M3nsδψ3s + Qnδw 0<br />
<br />
ds = 0<br />
(7.45)
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