a análise de placas laminadas compostas inteligentes

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7.2 Princípio dos trabalhos virtuais 122 N n = N ns = h/2 −h/2 h/2 −h/2 Tndz, M n = Tnsdz, M ns = Q n = e as forças generalizadas de inércia h/2 −h/2 h/2 −h/2 h/2 −h/2 zTndz, M 3n = zTnsdz, M 3ns = Tnzdz h/2 −h/2 h/2 −h/2 z 3 Tndz z 3 Tnsdz fx = ü 0 ρ0 + ¨ ψxρ1 + ¨ ψ3xρ3, fy = ¨v 0 ρ0 + ¨ ψyρ1 + ¨ ψ3yρ3, fz = ¨w 0 ρ0 fmx = ü 0 ρ1 + ¨ ψxρ2 + ¨ ψ3xρ4, fmy = ¨v 0 ρ1 + ¨ ψyρ2 + ¨ ψ3yρ4 f3mx = ü 0 ρ3 + ¨ ψxρ4 + ¨ ψ3xρ6, f3my = ¨v 0 ρ3 + ¨ ψyρ4 + ¨ ψ3yρ6 (7.36) (7.37) sendo ainda necessário para estas últimas a definição dos momentos de massa generalizados (7.38) {ρ0; ρ1; ρ2; ρ3; ρ4; ρ6} = h/2 ρ {1; z; z −h/2 2 ; z 3 ; z 4 ; z 6 } dz (7.38) Usando as relações deformações-deslocamentos lineares (6.6), página 78, pode-se escre- ver a expressão dos trabalhos virtuais somente em termos de deslocamentos generalizados e de suas derivadas em relação às coordenadas planas − x y Nxδu 0 ,x +Nyδv 0 ,y +Nxy(δu 0 ,y +δv 0 ,x ) + Mxδψx,x + Myδψy,y + Mxy(δψx,y + δψy,x) + M3xδψ3x,x + M3yδψ3y,y + M3xy(δψ3x,y + δψ3y,x)+ Qy(δψy + δw 0 ,y ) + Qx(δψx + δw 0 ,x ) + Q2y(3δψ3y) + Q2x(3δψ3x) + + − npiez k=1 x x y y npiez − k=1 x y L (k) x δϕk−1,x + L (k) y δϕk−1,y + Jkδϕk−1 dy dx dy dx qxδu 0 + qyδv 0 + qzδw 0 − mxδψy + myδψx − m3xδ3y + m3xδ3y dy dx fxδu 0 + fyδv 0 + fzδw 0 + fmxδψx + fmyδψy + fm3xδψ3x + fm3yδψ3y dy dx x y qekδϕk−1 dy dx + + N nsδu0s + M nsδψs + M 3nsδψ3s + Q nδw 0 Γσ N nδu0n + M nδψn + M 3nδψ3n ds = 0 (7.39)
7.2 Princípio dos trabalhos virtuais 123 Em seguida, objetivando a remoção das derivações das variações dos deslocamentos generalizados nas parcelas da energia potencial de deformação, aplica-se a versão do Teo- rema da Divergência para funções de duas variáveis, conforme Mendonça (2005) Ω ∂h ∂x g dΩ = Γ g h nx dS − Γ h ∂g ∂x dΩ (7.40) (o que é analogamente válido para a derivada com relação à coordenada y) onde nx e ny são as componentes do vetor n normal ao contorno Γ. Portanto, a expressão do Princípio dos Trabalhos Virtuais em termos somente das variações dos deslocamentos generalizados é Nx,x + Nxy,y + qx − fx δu x y 0 + Nxy,x + Ny,y + qy − fy δv 0 + Qx,y + Qy,x + qz − fw δw 0 + Mx,x + Mxy,y − Qx + my − fmx δψx+ Mxy,x + My,y − Qy − mx − fmy δψy + M3x,x + M3xy,y − 3Q2x + m3y − f3mx M3xy,x + M3y,y − 3Q2y − m3x − f3my δψ3y dy dx − + − − + npiez k=1 x L y (k) x,x + L (k) y,y − Jk + qek δϕk−1 dy dx Nyδv Γ 0 + Nxyδu 0 + Myδψy + Mxyδψx + M3yδψ3y + M3xyδψ3x + Qxδw 0 dx Nxδu Γ 0 + Nxyδv 0 + Mxδψx + Mxyδψy + M3xδψ3x + M3xyδψ3y + Qyδw 0 dy npiez k=1 Γ (k) L (k) npiez y δϕk−1dx + k=1 Γ (k) L (k) x δϕk−1dy N nδu0n + M nδψn + M 3nδψ3n + N nsδu0s + M nsδψs + M 3nsδψ3s + Qnδw 0 Γσ δψ3x+ ds = 0 (7.41) Para simplificar as parcelas de integração no contorno consideram-se, primeiramente, as relações dx = −ds sen α = −ds ny dy = ds cos α = ds nx (7.42) e a relação das variações das componentes de deslocamentos δu 0 e δv 0 em termos de δu0n,
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