a análise de placas laminadas compostas inteligentes

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7.2 Princípio dos trabalhos virtuais 118 {L} (k) = ⎧ ⎪⎨ {M3} = ⎪⎩ {Q} = {Q2} = Lx Ly M3x M3y M3xy Qy Qx Q2y Q2x (k) = Jk = ⎫ ⎪⎬ = ⎪⎭ = = zk zk−1 zk zk−1 h/2 −h/2 ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ σx σy τxy h/2 τyz −h/2 τxz h/2 τyz −h/2 τxz ⎫ ⎪⎬ z ⎪⎭ 3 dz (7.24) z − zk Dx D (k) z hk hk dz (7.25) z 2 dz (7.26) Dy (k) dz (7.27) dz (7.28) Por sua vez, o trabalho virtual das forças externas pode ser escrito como na equação (7.29). Para tanto, considera-se que o corpo seja solicitado por forças distribuídas na face superior {q sx q sy q sz}, na face inferior {q ix q iy q iz} e nas bordas {T n T ns T nz}, onde n e s representam a direção normal e tangencial ao contorno, respectivamente. Admite-se que Q e = 0, visto que o material é piezelétrico, dielétrico por natureza, e não apresenta carga livre, e denota-se por q ek a carga elétrica livre distribuída na face inferior da camada piezelétrica k (por convenção neste trabalho) − npiez k=1 δWe = (F xδux + F yδuy + F zδuz) dz dy dx x y z + x y qsxδux(h/2) + qsyδuy(h/2) + qszδuz(h/2) + qixδux(−h/2) + qiyδuy(−h/2) + qizδuz(−h/2) dy dx qekδϕk−1 dy dx + Γσ h/2 −h/2 (T nδun + T nsδus + T nzδuz) dz ds (7.29) onde Γσ denota o contorno da superfície de referência que intercepta a borda com car- regamento externo aplicado, e δun e δus são as componentes do deslocamento virtual nas direções normal e tangencial, n e s, respectivamente. É importante observar que δφ é nulo na face superior de cada lâmina piezelétrica, impedindo assim que a carga elétrica
7.2 Princípio dos trabalhos virtuais 119 alí distribuída realize trabalho. A seguir, substituem-se os campos incógnitos pelas expressões dadas nas relações cinemáticas (6.5), página 78, isto é δux = δu 0 + zδψx + z 3 δψ3x δuy = δv 0 + zδψy + z 3 δψ3y δuz = δw 0 zk − z δϕ = hk δϕk−1 (7.30) Definem-se as componentes de deslocamentos nas direções normal e tangencial ao contorno da superfície de referência δun = δu0n + zδψn + z 3 δψ3n δus = δu0s + zδψs + z 3 δψ3s (7.31) e considera-se a definição das forças de corpo equivalentes (7.6), página 114, de forma que pode-se reescrever a variação do trabalho virtual externo como δWe = x y z Fx − ρü 0 δu 0 + zδψx + z 3 δψ3x + Fy − ρ¨v 0 δv 0 + zδψy + z 3 δψ3y + Fz − ρ ¨w 0 δw 0 dz dy dx + qsx δu x y 0 h h 3 + δψx + δψ3x 2 2 + qsy δv 0 h h 3 + δψy + ψ3y + qsz δw 2 2 0 + qix δu 0 + − h δψx + − 2 h 3 δψ3x 2 + qiy δv 0 + − h δψy + − 2 h 3 δψ3y 2 + qiz δw 0 npiez dy dx − qekδϕk−1 dy dx k=1 h/2 + T n δu0n + zδψn + z Γ −h/2 3 ψ3n + T ns δu0s + zδψs + z 3 ψ3s + T nz δw 0 dz ds x y (7.32)
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