a análise de placas laminadas compostas inteligentes

7.2 Princípio dos trabalhos virtuais 117
onde ϕk−1 é o valor do potencial na superfície inferior da lâmina piezelétrica k.
De forma análoga ao que foi feito para o campo de deformações, o vetor campo elétrico
também é aproximado ao longo da espessura de cada lâmina piezelétrica por uma função
linear, seccionalmente contínua. No presente caso, como temos a definição
E (k) = −∇ϕ (k) (z) (7.18)
as componentes coplanares, Ex e Ey, são aproximadas de forma linear e a componente
transversal Ez por uma constante, isto é
Ex
Ey
(k)
⎧
z −
⎪⎨
∂ϕk−1
zk
=
∂x
hk ⎪⎩
∂ϕk−1
∂y
⎫
⎪⎬
⎪⎭ =
z −
zk
Epx
hk
E (k)
z = ϕk−1
hk
Epy
(k)
z −
zk
= {Ep} (k) (7.19)
hk
(7.20)
de forma que a equação da variação do trabalho virtual interno em (7.16) pode ser reescrita
como
δWi = − {δε
x y
0 } T {N} + {δκ} T {M} + {δκ3} T {M3}
+ {δγ 0 } T {Q} + {δκ2} T
{Q2} dy dx
npiez
+
k=1
Os esforços generalizados são definidos como
x
y
⎧
⎪⎨
{N} =
⎪⎩
⎧
⎪⎨
{M} =
⎪⎩
{δEp} (k)T
{L} (k)
+ δϕk−1Jk dy dx
Nx
Ny
Nxy
Mx
My
Mxy
⎫
⎪⎬
=
⎪⎭
⎫
⎪⎬
=
⎪⎭
h/2
−h/2
h/2
−h/2
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
σx
σy
τxy
σx
σy
τxy
⎫
⎪⎬
⎪⎭
(7.21)
dz (7.22)
⎫
⎪⎬
z dz (7.23)
⎪⎭