a análise de placas laminadas compostas inteligentes

7.2 Princípio dos trabalhos virtuais 116
δWext ≡
Sσ
{T } T
{δu} dS −
Sq
qeδφ dS +
V
{F } T
{δu} + Qeδφ dV (7.13)
Utiliza-se a relação constitutiva e a relação cinemática de ordem superior para repre-
sentar o trabalho virtual interno em termos das tensões coplanares e deformações gene-
ralizadas de membrana e flexão e em termos das tensões cisalhantes transversais e as
respectivas deformações generalizadas (que também é obtida na equação (6.64), página
98)
{δε0 3
δWi = −
} + z{δκ} + z {δκ3}
V
T {σ}
+ {δγ 0 } + z 2 {δκ2} T {τ} − {δE} T {D}
dV
(7.14)
Efetuando os produtos na equação (7.14) e separando as integrais de superfície (Ω) e
ao longo da espessura do laminado
δWi = −
Ω z
{δε 0 } T {σ} + z{δκ} T {σ} + z 3 {δκ3} T {σ}
+ {δγ 0 } T {τ} + z 2 {δκ2} T {τ} − {δE} T {D}
dz dΩ
(7.15)
Efetua-se a integral em z e utilizam-se as definições dos esforços generalizados {N},
{M}, {M3}, {Q} e {Q2}
δWi = − {δε
x y
0 } T {N} + {δκ} T {M} + {δκ3} T {M3}
+ {δγ 0 } T {Q} + {δκ2} T
{Q2} dy dx
npiez
+
zk
{δE} (k)T
{D} (k) dz dy dx
k=1
x
y
zk−1
(7.16)
No último termo de (7.15), a integral na espessura do laminado foi substituída por
uma soma de integrais ao longo das npiez lâminas piezelétricas.
forma
O potencial elétrico na lâmina piezelétrica k é aproximado na direção da espessura na
ϕ (k) (z) = zk − z
hk
ϕk−1
(7.17)