a análise de placas laminadas compostas inteligentes

6.8 Obtenção das forças elementares 110
ρ0 =
ρ1 =
ρ2 =
ρ3 =
ρ4 =
ρ6 =
N
zk
zk−1
k=1
zk
N
zk−1
k=1
zk
N
zk−1
k=1
zk
N
zk−1
k=1
zk
N
zk−1
k=1
zk
N
k=1
zk−1
ρ k dz =
N
k=1
ρ k z dz = 1
2
ρ k z 2 dz = 1
3
ρ k z 3 dz = 1
4
ρ k z 4 dz = 1
5
ρ k z 6 dz = 1
7
ρ k (zk−1 − zk)
N
k=1
N
k=1
N
k=1
N
k=1
N
k=1
ρ k (z 2 k−1 − z 2 k)
ρ k (z 3 k−1 − z 3 k)
ρ k (z 4 k−1 − z 4 k)
ρ k (z 5 k−1 − z 5 k)
ρ k (z 7 k−1 − z 7 k)
(6.105)
Agrupando as parcelas das matrizes de aproximação dos deslocamentos generaliza-
dos, [N e ] e introduzindo o caráter matricial às massas generalizadas através de matrizes
identidades [I] ou partes destas, tem-se finalmente a variação da energia cinética
δK = −δU eT
Ωe
⎧
⎪⎨
⎪⎩
N 0
N 1
N 3
⎫
⎪⎬
⎪⎭
T ⎡
⎢
⎣
ρ0[I3×3] ρ1[I3×2] ρ3[I3×2]
ρ1[I2×3] ρ2[I2×2] ρ4[I2×2]
ρ3[I2×3] ρ4[I2×2] ρ6[I2×2]
⎤ ⎧
⎪⎨
N
⎥
⎦
⎪⎩
0
N 1
N 3
⎫
⎪⎬
dΩe Ü
⎪⎭
e
(6.106)
A integração no domínio do elemento Ωe fornece a matriz de inércia elementar [M e ]
M e
=
Ωe
⎡
N e
T ⎢
⎣
P0 P1 P3
P1 P2 P4
P3 P4 P6
⎤
⎥
⎥
⎦ N e
dΩe
6.8 Obtenção das forças elementares
(6.107)
Por fim, o último componente do funcional do PVH é o trabalho das forças externas
aplicadas ao sistema.
O trabalho virtual exteno é