a análise de placas laminadas compostas inteligentes

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6.7 Obtenção da matriz de inércia elementar 108 6.7 Obtenção da matriz de inércia elementar Do funcional do PVH tem-se que a energia cinética do sistema é dada pela expressão Logo, a variação da energia cinética é K = − ρu V T ü dV (6.98) δK = − ρδu V T ü dV (6.99) Então, a matriz de inércia elementar pode ser obtida desenvolvendo a expressão da variação da energia cinética a partir da inserção da discretização das variáveis. Os deslocamentos generalizados das expansões das componentes de deslocamentos u, v e w, podem ser agrupados em vetores de acordo com a ordem da relação com a coordenada z, à maneira com que é feito para as deformações e para o campo elétrico. ⎧ ⎪⎨ u {u(x, t)} = ⎪⎩ 0 (x, , y, t) v0 (x, y, t) w0 ⎫ ⎪⎬ ⎧ ⎫ ⎪⎨ ψx(x, y, t) ⎪⎬ (x, y, t) + z ψy(x, y, t) + z ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ 0 3 ⎧ ⎫ ⎪⎨ ψ3x(x, y, t) ⎪⎬ ψ3y(x, y, t) ⎪⎩ ⎪⎭ 0 (6.100) Seja a matriz de aproximação das funções de deslocamentos mecânicos generalizados, [N e ] , cujo trecho relativo ao nó no é semelhante ao exposto em (6.22), mas agora com colunas nulas referentes aos parâmetros nodais correspondentes aos potenciais elétricos nas lâminas piezelétricas, respeitando a definição do vetor de parâmetros elementares (6.47). Então, considerando [Ne ] também particionada de modo que se tenha [N0e] para os deslocamentos no plano de referência, [N1e] para a rotações de primeira ordem e [N3e] para as rotações de ordem superior, pode-se reescrever a equação (6.99) em termos das aproximações das funções incógnitas como δK = − δUe ρ T N 0T + zδU Ωe z eT N 1T 0 N Ü e + zN 1 Ü e + z 3 N 3 Ü + z 3 δU eT N 3T e dz dΩe (6.101)
6.7 Obtenção da matriz de inércia elementar 109 O produto distributivo entre as parcelas conduz a δK = − Ωe z ρ δU eT N 0T N 0 Ü e + zδU eT N 0T N 1 Ü e + z 3 δU eT N 0T N 3 Ü e + zδU eT N 1T N 0 Ü e + z 2 δU eT N 1T N 1 Ü e + z 4 δU eT N 1T N 3 Ü e + z 3 δU eT N 3T N 0 Ü e + z 4 δU eT N 3T N 1 Ü e + z 6 δU eT N 3T N 3 Ü e dz dΩe (6.102) Colocando em evidência, de um lado, a variação dos deslocamentos nodais, e do outro, o vetor de acelerações nodais e explicitando a integração na direção da espessura em cada camada isoladamente tem-se a seguinte expressão δK = − Ωe N k=1 zk zk−1 δU eT ρ k N 0 T N 0 + ρ k zN 0T N 1 + ρ k z 3 N 0T N 3 + ρ k zN 1T N 0 + ρ k z 2 N 1T N 1 + ρ k z 4 N 1T N 3 + ρ k z 3 N 3T N 0 + ρ k z 4 N 3T N 1 + ρ k z 6 N 3T N 3 Ü e dz dΩe (6.103) Retirando os vetores de parâmetros nodais da integral, uma vez que são constantes, e restringindo a integração na direção da espessura apenas aos termos dependentes de z, pode-se reescrever a equação (6.103) como por δK = −δU eT Ωe N 0T ρ0N 0 + N 0T ρ1N 1 + N 0T ρ3N 3 + N 1T ρ1N 0 + N 1T ρ2N 1 + N 1T ρ4N 3 + N 3T ρ3N 0 + N 3T ρ4N 1 + N 3T ρ6N 3 dΩe Ü e (6.104) Na equação (6.104) as massas generalizadas, ρ0, ρ1, ρ2, ρ3, ρ4 e ρ6, foram definidas
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