a análise de placas laminadas compostas inteligentes

6.6 Obtenção da matriz de rigidez do elemento 107
K e
ϕϕ =
Ωe
⎡
⎢
⎣
B 01 e
B 11e
.
B 0npiez e
1npiez
e
B
⎤
⎥
⎦
T ⎡
⎢
⎣
X Y
Y Z
.
0
1
. . .
. ..
. . .
0
.
X Y
Y Z
npiez
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
B 01 e
B 11e
.
B 0npiez e
1npiez
e
B
⎤
⎥ dΩe ⎥
⎦
(6.94)
Agregando as parcelas de campo elétrico e definindo-se a matriz constitutiva pura-
mente elétrica do laminado, de ordem 6npiez × 6npiez, formada pelas submatrizes [X k ],
[Y k ] e [Z k ], para cada lâmina piezelétrica k, simplifica-se (6.94) como
K e ⎡
⎢
ϕϕ = ⎢
⎣
Ωe
E 1e
.
npiez
e
E
⎤
⎥
⎦
T
X Y
Y Z
⎡
lam
⎢
⎣
E 1e
.
npiez
e
E
⎤
⎥
⎦ dΩe
(6.95)
As componentes da matriz constitutiva puramente elétrica do laminado são expressas
conforme
com i, j = 1, 2, 3.
X k zk
ij =
χ k ij dz = χ k ij(zk − zk−1)
zk−1
Y k
zk
ij = zχ
zk−1
k ij dz = 1
χ
2
k ij(z 2 k − z 2
k−1)
Z k zk
ij = z
zk−1
2 χ k ij dz = 1
χ
3
k ij(z 3 k − z 3
k−1)
(6.96)
Assim, a matriz de rigidez total do elemento será obtida somando as parcelas que são
todas matrizes quadradas de mesmas dimensões
K e
uu + K e
uϕ + K e
ϕu − K e
ϕϕ = K e
(6.97)