a análise de placas laminadas compostas inteligentes

6.6 Obtenção da matriz de rigidez do elemento 106
A integração no domínio plano das parcelas acopladas de cisalhamento transversal
pode ser esquematizada conforme
K e
c B
c−ϕ =
Ωe
e
B2ce T ⎡
⎣
T U
V W
1
. . .
T U
V W
npiez
⎡
⎢
⎤ ⎢
⎦ ⎢
⎣
B 01 e
B 11e
.
B 0npiez e
1npiez
e
B
⎤
⎥ dΩe ⎥
⎦
(6.91)
Agregando as parcelas de deformações e as parcelas de campo elétrico e definindo-
se a matriz constitutiva mecânica-eletricamente acoplada de cisalhamento transversal do
laminado, de ordem 4×6npiez, formada pelas submatrizes [T] k , [U] k , [V] k e [W] k , também
independentes para cada lâmina piezelétrica k, simplifica-se (6.91) como
K e
c−ϕ =
Ωe
B e
c
T
T U
V W
⎡
lam
⎢
⎣
E 1e
.
npiez
e
E
⎤
⎥
⎦ dΩe
(6.92)
As componentes das submatrizes [T] k , [U] k , [V] k e [W] k são dadas pelas expressões
com i, j = 4, 5.
T k
zk
ij =
zk−1
U k zk
ij =
zk−1
V k
zk
ij =
zk−1
W k
zk
ij =
zk−1
τ k τ k
eij dz = eij (zk − zk−1)
τ k
zeij dz = 1
e
2
z 2 τ k
eij dz = 1
3
z 3 τ k
eij dz = 1
4
τ k
ij (z 2 k − z 2 k−1)
e
τ k
ij (z 3 k − z 3 k−1)
e
τ k
ij (z 4 k − z 4 k−1)
Assim, obtém-se [K e uϕ] pela soma de [K e mf−ϕ ] e [Ke c−ϕ].
(6.93)
Igualmente, de (6.77), obtém-se a matriz rigidez elétrica-mecanicamente acoplada,
[K e ϕu], de forma semelhante ao exposto para a matriz de rigidez mecânica-eletricamente
acoplada, [K e uϕ]. Deve-se ressaltar que [K e ϕu] = [K e uϕ] T .
Por fim, a matriz de rigidez puramente elétrica [K e ϕϕ] pode ser obtida a partir de
(6.78) pela integração no plano conforme