a análise de placas laminadas compostas inteligentes

6.6 Obtenção da matriz de rigidez do elemento 105
Logo, a contribuição completa de rigidez puramente mecânica do elemento é represen-
tada na forma da matriz de rigidez puramente mecânica [K e uu], de ordem ((7 + N)Nne +
npar) × ((7 + N)Nne + npar), obtida pela soma de [K e mf ] e [Ke c].
A partir da parcela mecânica-eletricamente acoplada δPuϕ (6.76) da variação da
energia de deformação pode-se identificar a parcela de rigidez mecânica-eletricamente
acoplada, composta por uma contribuição de rigidez acoplada de membrana e flexão
[K e mf−ϕ ] e acoplada de cisalhamento transversal [Ke c−ϕ]. A integração no domínio plano
das parcelas acopladas de membrana e flexão pode ser esquematizada conforme
K e ⎡
⎢
mf−ϕ = ⎢
⎣
Ωe
B me
f e
B
3f e
B
⎤
⎥
⎦
T ⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
O P
P Q
R S
⎤
⎥
⎦
1
. . .
⎡
⎢
⎣
O P
P Q
R S
⎤
⎥
⎦
npiez ⎤
⎡
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎢
⎣
B 01 e
B 11e
.
B 0npiez e
1npiez
e
B
⎤
⎥ dΩe ⎥
⎦
(6.88)
Agregando as parcelas de deformações e as parcelas de campo elétrico e definindo-se a
matriz constitutiva mecânica-eletricamente acoplada de membrana de flexão do laminado,
de ordem 9×6npiez, formada pelas submatrizes [O] k , [P] k , [Q] k , [R] k e [S] k , independentes
para cada lâmina piezelétrica k, simplifica-se (6.88) como
K e
mf−ϕ = B
Ωe
e
⎡
T ⎢
mf ⎣
O P
P Q
R S
⎤
⎥
⎦
lam ⎡
⎢
⎣
E 1e
.
npiez
e
E
⎤
⎥
⎦ dΩe
(6.89)
As componentes das submatrizes [O] k , [P] k , [Q] k , [R] k e [S] k são dadas pelas ex-
pressões
com i, j = 1, 2, 6.
O k zk
ij =
e σk
ij dz = e σk
ij (zk − zk−1)
zk−1
P k
zk
ij = ze
zk−1
σk
ij dz = 1
e
2
σk
ij (z 2 k − z 2
k−1)
Q k zk
ij = z
zk−1
2 e σk
ij dz = 1
e
3
σk
ij (z 3 k − z 3
k−1)
R k zk
ij = z
zk−1
3 e σk
ij dz = 1
e
4
σk
ij (z 4 k − z 4
k−1)
S k zk
ij = z
zk−1
4 e σk
ij dz = 1
e
5
σk
ij (z 5 k − z 5
k−1)
(6.90)