a análise de placas laminadas compostas inteligentes

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6.6 Obtenção da matriz de rigidez do elemento 102 Colocando-se em evidência o vetor de parâmetros nodais U e e sua variação e separando as parcelas acopladas da parcela puramente elétrica em δPeχ, de forma a identificar δP ke uϕ, δP ke ϕu e δP ke ϕϕ, respectivamente, parcela mecânica-eletricamente acoplada, parcela elétrica- mecanicamente acoplada e parcela puramente elétrica δP ke uϕ = δU eT Ω zk zk−1 B meT e σT B 0ke f eT + zB e σT B 0ke + z 3 3f eT B e σT B 0ke + zB meT e σT B 1ke + z 2 f eT B e σT B 1ke + z 4 3f eT B e σT B 1ke + B ceT + z 2 B 2ceT τ T e B 0ke + zB ceT τ T e B 1ke + z 3 B 2ceT τ T e B 1ke dz dΩ δP ke ϕu = δU eT Ω zk zk−1 τ T e B 0ke U e B 0keT e σ B me + zB 1keT e σ B me + zB 0keT e σ f e B + z 2 B 1keT e σ f e B + z 3 B 0keT e σ 3f e B + z 4 B 1keT e σ 3f e B + zB 1keT e τ B ce + z 2 B 0keT e τ B 2ce + z 3 B 1keT e τ B 2ce dz dΩ δPϕϕ = −δU eT Ω zk zk−1 + B 0keT e τ B ce U e B 0keT χB 0ke + zB 1keT χB 0ke + zB 0keT χB 1ke + z 2 B 1keT χB 1ke dz dΩ (6.76) (6.77) U e (6.78) Desenvolvendo a primeira integral em (6.65), que representa a variação da energia de deformação puramente mecânica, δPuu, tem-se δPuu = Ω z δ B me U e f e + zB U e + z 3 3f e B U eT σ C B me U e f e + zB U e + z 3 3f e B U e + δ B ce U e + z 2 B 2ce U eT τ C B ce U e + z 2 B 2ce U e dz dΩ Em seguida, efetuando-se os produtos distribuitivos, pode-se escrever (6.79)
6.6 Obtenção da matriz de rigidez do elemento 103 δPuu = Ω z δU eT B meT C σ B me U e + zδU eT f eT B C σ B me U e + z 3 δU eT 3f eT B C σ B me U e + zδU eT B meT C σ f e B U e + z 2 δU eT f eT B C σ f e B U e + z 4 δU eT 3f eT B C σ f e B U e + z 3 δU eT B meT C σ 3f e B U e + z 4 δU eT f eT B C σ 3f e B U e + z 6 δU eT 3f eT B C σ 3f e B U e + δU eT B ceT C τ B ce U e + z 2 δU eT B 2ceT C τ B ce U e + z 2 δU eT B ceT C τ B 2ce U e + z 4 δU eT B 2ceT C τ B 2ce U e dz dΩ (6.80) Finalmente, a variação da energia de deformação total do sistema δP é obtida pela soma das equações (6.76), (6.77), (6.78) e (6.80), ou seja δP = δPuu + δPuϕ + δPϕu + δPϕϕ (6.81) A partir da parcela puramente mecânica da variação da energia de deformação (6.81) pode-se identificar a parcela de rigidez puramente mecânica, composta por uma con- tribuição de rigidez de membrana e flexão [K e mf ] e cisalhamento transversal [Ke c]. A integração no domínio plano, Ωe do elemento e, das parcelas de membrana e flexão pode ser esquematizada conforme segue K e ⎡ ⎢ mf = ⎢ ⎣ Ωe B me f e B 3f e B ⎤ ⎥ ⎦ T ⎡ ⎢ ⎣ A B B D L F ⎤ ⎡ B ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ L F H me f e B ⎤ ⎥ ⎦ 3f e B dΩe (6.82) Agregando as três parcelas de deformações de membrana e flexão na matriz [B e mf ], pode-se simplificar (6.82) como K e mf = B Ωe e ⎡ T ⎢ mf ⎣ A B L B D F L F H ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ B e mf dΩe (6.83) A integração no domínio plano das parcelas de cisalhamento transversal pode ser esquematizada conforme segue K e c B c = Ωe e B2ce T Ac Dc Dc Fc B c e B 2ce dΩe (6.84)
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