a análise de placas laminadas compostas inteligentes

6.6 Obtenção da matriz de rigidez do elemento 102
Colocando-se em evidência o vetor de parâmetros nodais U e e sua variação e separando
as parcelas acopladas da parcela puramente elétrica em δPeχ, de forma a identificar δP ke
uϕ,
δP ke
ϕu e δP ke
ϕϕ, respectivamente, parcela mecânica-eletricamente acoplada, parcela elétrica-
mecanicamente acoplada e parcela puramente elétrica
δP ke
uϕ = δU eT
Ω
zk
zk−1
B meT
e σT
B 0ke f eT
+ zB e σT
B 0ke
+ z 3 3f eT
B e σT
B 0ke
+ zB meT
e σT
B 1ke
+ z 2 f eT
B e σT
B 1ke
+ z 4 3f eT
B e σT
B 1ke
+ B ceT
+ z 2 B 2ceT τ T
e B 0ke
+ zB ceT τ T
e B 1ke
+ z 3 B 2ceT τ T
e B 1ke
dz dΩ
δP ke
ϕu = δU eT
Ω
zk
zk−1
τ T
e B 0ke
U e
B 0keT
e σ B me
+ zB 1keT
e σ B me
+ zB 0keT
e σ f e
B
+ z 2 B 1keT
e σ f e
B + z 3 B 0keT
e σ 3f e
B + z 4 B 1keT
e σ 3f e
B
+ zB 1keT
e τ B ce
+ z 2 B 0keT
e τ B 2ce
+ z 3 B 1keT
e τ B 2ce
dz dΩ
δPϕϕ = −δU eT
Ω
zk
zk−1
+ B 0keT
e τ B ce
U e
B 0keT
χB 0ke
+ zB 1keT
χB 0ke
+ zB 0keT
χB 1ke
+ z 2 B 1keT
χB 1ke
dz dΩ
(6.76)
(6.77)
U e
(6.78)
Desenvolvendo a primeira integral em (6.65), que representa a variação da energia de
deformação puramente mecânica, δPuu, tem-se
δPuu =
Ω
z
δ B me
U e f e
+ zB U e + z 3 3f e
B U eT σ
C B me
U e f e
+ zB U e + z 3 3f e
B U e
+ δ B ce
U e + z 2 B 2ce
U eT τ
C B ce
U e + z 2 B 2ce
U e
dz dΩ
Em seguida, efetuando-se os produtos distribuitivos, pode-se escrever
(6.79)