a análise de placas laminadas compostas inteligentes

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6.6 Obtenção da matriz de rigidez do elemento 98 δP = Ω z δε 0 + zδκ + z 3 δκ3 δγ 0 + z 2 δκ2 − {δE} T eσ eτ −χx ⎪⎨ ⎪⎩ T C σ 0 e σT ⎧ 0 Cτ τ T e ⎧⎪ ⎨ ε 0 + zκ + z 3 κ3 γ 0 + z 2 κ2 −E(z) ε 0 + zκ + z 3 κ3 γ 0 + z 2 κ2 ⎪⎩ −E(z) ⎫ ⎪⎬ dz dΩ ⎪⎭ ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ (6.64) Nota-se que cada parcela de deformação e o campo elétrico evolui de forma particular ao longo da espessura do laminado: εmf varia cubicamente, γc varia quadraticamente e E varia linearmente, este último em cada lâmina piezelétrica. cada termo e realizar a integração em z de forma adequada. tem-se É então prudente explicitar Assim, desenvolvendo (6.64) e explicitando o campo elétrico na lâmina piezelétrica k + Ω δP = npiez k=1 zk Ω zk−1 z (δε 0 + zδκ + z 3 δκ3) T C σ (ε 0 + zκ + z 3 κ3) + (δγ 0 + z 2 δκ2) T C τ (γ 0 + z 2 κ2) dzdΩ − (δε 0 + zδκ + z 3 δκ3) T e σT E k − (δγ 0 + z 2 δκ2) T τ T e E k − {δE k } T e σ (ε 0 + zκ + z 3 κ3) − {δE k } T e τ (γ 0 + z 2 κ2) − {δE k } T χ x {E k } dz dΩ (6.65) Observa-se que a primeira integral em (6.65) contém os termos puramente mecânicos e a segunda integral contém os termos de acoplamento eletromecânico e o último entre os integrandos é o termo puramente elétrico. Para as deduções posteriores é conveniente desmembrar o campo elétrico em cada lâmina piezelétrica em parcela constante e parcela com variação linear ao longo da espessura da referida lâmina k na forma E ke Nne (x, t) = − no=1 E 0k no + z E 1k no = − E 0k + z E 1k de maneira que, buscando a estrutura da aproximação expressa em (6.43), tem-se (6.66)
6.6 Obtenção da matriz de rigidez do elemento 99 E ke Nne (x, t) = − no=1 E 0k no + z E 1k no = − Nne no=1 B ke no U e no (6.67) Assim, o arranjo [Bke no], para aproximação em MEF, expresso em (6.44), pode ser reescrito como B ke no ⎡ 7 N ⎢ zk ∂Nno ⎢ 0 · · · 0 · · · 0 · · · − ⎢ hk ∂x ⎢ = ⎢ ⎢· · · 0 · · · 0 · · · 0 ⎢ ⎣ 0 · · · 0 · · · 0 zk−1 ∂Nno 0 · · · 0 hk ∂x zk ∂Nno · · · − hk ∂y zk−1 ∂Nno 0 · · · 0 hk ∂y · · · − 1 ⎤ ⎥ · · · ⎥ ⎥ 1 ⎥ Nno Nno 0 · · · 0 ⎥ hk hk ⎦ ⎡ ⎢ 0 ⎢ + z ⎢· · · ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0 · · · · · · · · · 0 0 0 · · · · · · · · · 0 · · · 0 0 − 7 1 · · · ∂Nno hk ∂x − 1 ∂Nno hk ∂x 0 · · · 0 1 ⎤ · · · ∂Nno hk ∂y 0 1 ∂Nno hk ∂y 0 0 0 · · · · · · ⎥ 0 · · · ⎥ 0 ⎦ N de onde se pode identificar dois novos arranjos, [B 0ke no ] e [B 1ke no ], tais que E ke Nne (x, t) = − no=1 B 0ke no + z B 1ke no U e no = − B 0ke + z B 1ke U e (6.68) (6.69) De forma análoga aos arranjos que se propõem para as deformações, equações (6.15) ou (6.18), para o campo elétrico é interessante agrupar [E 0k ] e [E 1k ], da definição (6.66) na seguinte forma E ke 0k E = − E1k visto que se tornam parcelas generalizadas de campo elétrico. (6.70) A título de ilustrução, vale expandir os arranjos [B 0ke no ] e [B 1ke no ] para a situação em que se tenha mais de uma lâmina piezelétrica. Assim, para o trecho relativo ao nó no, para
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