a análise de placas laminadas compostas inteligentes

6.6 Obtenção da matriz de rigidez do elemento 98
δP =
Ω
z
δε 0 + zδκ + z 3 δκ3
δγ 0 + z 2 δκ2
− {δE} T
eσ eτ −χx ⎪⎨
⎪⎩
T C σ 0 e σT
⎧
0 Cτ τ T
e
⎧⎪ ⎨
ε 0 + zκ + z 3 κ3
γ 0 + z 2 κ2
−E(z)
ε 0 + zκ + z 3 κ3
γ 0 + z 2 κ2
⎪⎩
−E(z)
⎫
⎪⎬
dz dΩ
⎪⎭
⎫
⎪⎬
⎪⎭
(6.64)
Nota-se que cada parcela de deformação e o campo elétrico evolui de forma particular
ao longo da espessura do laminado: εmf varia cubicamente, γc varia quadraticamente e E
varia linearmente, este último em cada lâmina piezelétrica.
cada termo e realizar a integração em z de forma adequada.
tem-se
É então prudente explicitar
Assim, desenvolvendo (6.64) e explicitando o campo elétrico na lâmina piezelétrica k
+
Ω
δP =
npiez
k=1
zk
Ω
zk−1
z
(δε 0 + zδκ + z 3 δκ3) T C σ (ε 0 + zκ + z 3 κ3)
+ (δγ 0 + z 2 δκ2) T C τ (γ 0 + z 2 κ2)
dzdΩ
− (δε 0 + zδκ + z 3 δκ3) T e σT
E k − (δγ 0 + z 2 δκ2) T τ T
e E k
− {δE k } T e σ (ε 0 + zκ + z 3 κ3) − {δE k } T e τ (γ 0 + z 2 κ2) − {δE k } T χ x {E k }
dz dΩ
(6.65)
Observa-se que a primeira integral em (6.65) contém os termos puramente mecânicos
e a segunda integral contém os termos de acoplamento eletromecânico e o último entre os
integrandos é o termo puramente elétrico.
Para as deduções posteriores é conveniente desmembrar o campo elétrico em cada
lâmina piezelétrica em parcela constante e parcela com variação linear ao longo da espes-
sura da referida lâmina k na forma
E ke Nne
(x, t) = −
no=1
E 0k
no
+ z
E 1k
no
= − E 0k
+ z E 1k
de maneira que, buscando a estrutura da aproximação expressa em (6.43), tem-se
(6.66)