a análise de placas laminadas compostas inteligentes

6.6 Obtenção da matriz de rigidez do elemento 97
6.6 Obtenção da matriz de rigidez do elemento
Desenvolvendo cada uma das parcelas do funcional do PVH e inserindo a discretização
das variáveis pode-se deduzir as expressões para obtenção das contribuições elementares.
Primeiramente, a variação da energia potencial total, que inclui a energia poten-
cial mecânica e a energia potencial elétrica, é expressa na forma
δP =
V
δε x
−δE x
T σ x
D x
dV (6.61)
onde ε x é o vetor de deformações mecânicas que contém as parcelas de deformações de
membrana e flexão (6.7) e de cisalhamento transversal (6.9), podendo então ser parti-
cionado, resultando em
δP =
V
⎧
⎪⎨
⎪⎩
δε x mf
δγ x c
−δE x
⎫T
⎧⎪ ⎪⎬ ⎨
σ
⎪⎭ ⎪⎩
x
τ x
D x
⎫
⎪⎬
dV
⎪⎭
(6.62)
com • x denotando que as variáveis estão definidas no sistema de coordenadas global.
As tensões mecânicas, σ x e τ x , e o deslocamento elétrico D x podem ser escritos em
termos das deformações, ε x mf e γx c , e do campo elétrico E x , respectivamente, utilizando a
relação constitutiva acoplada, quer seja (6.52) ou (6.58), usando as submatrizes C σ , C τ ,
e σ e e τ e retirando-se • para facilitar a notação
δP =
V
δε x mf
δγ x c
− {δE x } T
eσT T C σ 0 e σT
τ T
e
0 Cτ τ T
e
−χ
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ε x mf
γ x c
−E x
⎧⎪ ⎨
⎫
⎪⎬
⎪⎩
dV
⎪⎭
ε x mf
γ x c
−E x
⎫
⎪⎬
⎪⎭
(6.63)
As deformações mecânicas, por sua vez, podem ser colocadas em função das de-
formações generalizadas, empregando (6.8) e (6.10)