a análise de placas laminadas compostas inteligentes
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6.5 Correção da relação constitutiva 94 2 (e33) χ11 = χ11 χ12 = χ12 χ22 = χ22 χ33 = χ33 + C33 Para as deduções seguinte, é interessante identificar em (6.52) as parcelas ⎡ k ⎢ C σ = ⎢ ⎣ ⎡ e σ k ⎢ = ⎢ ⎣ C11 C12 C16 C12 C22 C26 C16 C26 C66 ⎤ 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎦ e31 e32 e36 k ⎤ ⎥ ⎦ k k C44 C τ = C45 C45 C55 ⎡ e τ k ⎢ = ⎢ ⎣ e14 e15 e24 e25 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ k k (6.54) Utilizando a mesma metodologia para a correção da relação constitutiva de uma lâmina piezelétrica de modo cisalhante, aplica-se a restrição da nulidade de σ x 3 a par- tir da relação constitutiva acoplada para lâmina piezelétrica (5.71), de forma que σ x 3 = C13ε x 1 + C23ε x 2 + C33ε x 3 + C36γ x 12 − e13E x 1 − e23E x 2 Explicitando o efeito de ε x 3, temos ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ C13ε x 3 C23ε x 3 0 0 C36ε x 3 e13ε x 3 e23ε x 3 0 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ k ⎧ ⎪⎨ + ⎪⎩ σ x 1 σ x 2 τ x 23 τ x 31 τ x 12 D x 1 D x 2 D x 3 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ Isolando ε x 3 em (6.55), podemos escrever C13ε x 3 = − 1 C33 k = C e T e − χ k ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ε x 1 ε x 2 γ x 23 γ x 31 γ x 12 −E x 1 −E x 2 −E x 3 (C13) 2 ε x 1 + C13C23ε x 2 + C13C36γ x 12 − C13e13E x 1 − C13e23E x 2 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ k (6.55) (6.56)
6.5 Correção da relação constitutiva 95 C23ε x 3 = − 1 C33 C36ε x 3 = − 1 e13ε x 3 = − 1 C33 C33 e23ε x 3 = − 1 C33 C23C13ε x 1 + (C23) 2 ε x 2 + C23C36γ x 12 − C23e13E x 1 − C23e23E x 2 C36C13ε x 1 + C36C23ε x 2 + (C36) 2 γ x 12 − C36e13E x 1 − C36e23E x 2 e13C13ε x 1 + e13C23ε x 2 + e13C36γ x 12 − (e13) 2 E x 1 − e13e23E x 2 e23C13ε x 1 + e23C23ε x 2 + e23C36γ x 12 − e23e13E x 1 − (e23) 2 E x 2 Pela inserção destes termos na matriz constitutiva reduzida, obtemos ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ σ x 1 σ x 2 τ x 23 τ x 31 τ x 12 D x 1 D x 2 D x 3 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ k ⎡ ⎢ = ⎢ ⎣ C11 C12 0 0 C16 e11 e21 0 C12 C22 0 0 C26 e12 e22 0 0 0 C44 C45 0 0 0 e34 0 0 C45 C55 0 0 0 e35 C16 C26 0 0 C66 e16 e26 0 e11 e12 0 0 e16 −χ11 −χ12 0 e21 e22 0 0 e 1 26 −χ12 −χ22 0 0 0 e34 e35 0 0 0 −χ33 Os novos coeficientes são dados por e11 = e11 + C13e13 C33 e21 = e21 + e13C23 C33 2 (e13) χ11 = χ11 + C33 e12 = e12 + C23e13 C33 e22 = e22 + C23e23 e34 = e14 χ12 = χ 12 + e13e23 C33 e35 = e15 C33 ⎤k ⎥ ⎦ ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ e16 = e16 + C36e13 C33 e26 = e26 + C36e23 2 (e23) χ22 = χ22 + C33 C33 ε x 1 ε x 2 γ x 23 γ x 31 γ x 12 −E x 1 −E x 2 −E x 3 χ33 = χ 33 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ k (6.57) (6.58) (6.59)
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6.5 Correção da relação constitutiva 95<br />
C23ε x 3 = − 1<br />
C33<br />
C36ε x 3 = − 1<br />
e13ε x 3 = − 1<br />
C33<br />
C33<br />
e23ε x 3 = − 1<br />
C33<br />
<br />
C23C13ε x 1 + (C23) 2 ε x 2 + C23C36γ x 12 − C23e13E x 1 − C23e23E x <br />
2<br />
<br />
C36C13ε x 1 + C36C23ε x 2 + (C36) 2 γ x 12 − C36e13E x 1 − C36e23E x <br />
2<br />
<br />
e13C13ε x 1 + e13C23ε x 2 + e13C36γ x 12 − (e13) 2 E x 1 − e13e23E x <br />
2<br />
<br />
e23C13ε x 1 + e23C23ε x 2 + e23C36γ x 12 − e23e13E x 1 − (e23) 2 E x <br />
2<br />
Pela inserção <strong>de</strong>stes termos na matriz constitutiva reduzida, obtemos<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
σ x 1<br />
σ x 2<br />
τ x 23<br />
τ x 31<br />
τ x 12<br />
D x 1<br />
D x 2<br />
D x 3<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭<br />
k<br />
⎡<br />
⎢<br />
= ⎢<br />
⎣<br />
C11 C12 0 0 C16 e11 e21 0<br />
C12 C22 0 0 C26 e12 e22 0<br />
0 0 C44 C45 0 0 0 e34<br />
0 0 C45 C55 0 0 0 e35<br />
C16 C26 0 0 C66 e16 e26 0<br />
e11 e12 0 0 e16 −χ11 −χ12 0<br />
e21 e22 0 0 e 1 26 −χ12 −χ22 0<br />
0 0 e34 e35 0 0 0 −χ33<br />
Os novos coeficientes são dados por<br />
e11 = e11 + C13e13<br />
C33<br />
e21 = e21 + e13C23<br />
C33<br />
2<br />
(e13)<br />
χ11 = χ11 +<br />
C33<br />
e12 = e12 + C23e13<br />
C33<br />
e22 = e22 + C23e23<br />
e34 = e14<br />
χ12 = χ 12 + e13e23<br />
C33<br />
e35 = e15<br />
C33<br />
⎤k<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎧⎪ ⎨<br />
⎪⎩<br />
e16 = e16 + C36e13<br />
C33<br />
e26 = e26 + C36e23<br />
2<br />
(e23)<br />
χ22 = χ22 +<br />
C33<br />
C33<br />
ε x 1<br />
ε x 2<br />
γ x 23<br />
γ x 31<br />
γ x 12<br />
−E x 1<br />
−E x 2<br />
−E x 3<br />
χ33 = χ 33<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭<br />
k<br />
(6.57)<br />
(6.58)<br />
(6.59)
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