a análise de placas laminadas compostas inteligentes

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6.5 Correção da relação constitutiva 92 6.5 Correção da relação constitutiva Aqui, vale salientar a complicação que surge devido à hipótese que considera a lâmina submetida a um estado plano de tensões (EPT) quando da obtenção da matriz constitutiva da lâmina e, consequentemente, do laminado. Por exemplo, Mendonça (2005) e Vel e Batra (2001), citam a necessidade de se fazer uma correção na matriz de rigidez da lâmina, na ocasião da análise de placas e cascas segundo teorias cujas relações cinemáticas preconizam a inextensibilidade do segmento normal à superfície de referência. Verifica-se, portanto, uma incoerência, uma vez que a inextensibilidade na direção da espessura da placa reflete a nulidade da deformação normal na mesma direção, que se contrapõem à ausência de restrição nesta direção quando do tratamento em EPT. Primeiramente, fazendo a correção, ou seja, impondo a nulidade da tensão σ x 3, a partir da relação constitutiva acoplada para lâmina piezelétrica de modo extensional (5.70), temos σ x 3 = C13ε x 1 + C23ε x 2 + C33ε x 3 + C36γ x 12 − e33E x 3 = 0 (6.49) o que corresponde à eliminação da terceira linha da relação constitutiva (5.70). Em seguida, multiplica-se a terceira coluna desta relação constitutiva reduzida pela componente de deformação ε x 3, inserindo este efeito no vetor de tensões mecânicas e deslo- camentos elétricos, ou seja, explicitando o efeito de ε x 3, conforme ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ C13ε x 3 C23ε x 3 0 0 C36ε x 3 0 0 e33ε x 3 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ k ⎧ ⎪⎨ + ⎪⎩ σ x 1 σ x 2 τ x 23 τ x 31 τ x 12 D x 1 D x 2 D x 3 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ Isolando ε x 3 em (6.49) pode-se escrever C13ε x 3 = − 1 C33 k = C e T e − χ k ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ε x 1 ε x 2 γ x 23 γ x 31 γ x 12 −E x 1 −E x 2 −E x 3 (C13) 2 ε x 1 + C13C23ε x 2 + C13C36γ x 12 − C13e33E x 3 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ k (6.50)
6.5 Correção da relação constitutiva 93 C23ε x 3 = − 1 C33 C36ε x 3 = − 1 e33ε x 3 = − 1 C33 C33 C23C13ε x 1 + (C23) 2 ε x 2 + C23C36γ x 12 − C23e33E x 3 C13C36ε x 1 + C23C36ε x 2 + (C36) 2 γ x 12 − e33C36E x 3 e33C13ε x 1 + e33C23ε x 2 + e33C36γ x 12 − (e33) 2 E x 3 Pela inserção destes termos na matriz constitutiva reduzida, obtemos ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ σ x 1 σ x 2 τ x 23 τ x 31 τ x 12 D x 1 D x 2 D x 3 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ k ⎡ ⎢ = ⎢ ⎣ C11 C12 0 0 C16 0 0 e31 C12 C22 0 0 C26 0 0 e32 0 0 C44 C45 0 e14 e24 0 0 0 C45 C55 0 e15 e25 0 C16 C26 0 0 C66 0 0 e36 0 0 e14 e15 0 −χ11 −χ12 0 0 0 e24 e25 0 −χ12 −χ22 0 e31 e32 0 0 e36 0 0 −χ33 Os novos coeficientes são dados por C11 = C11 − C22 = C22 − (C13) 2 C33 (C23) 2 C33 e31 = e31 + C13e33 C44 = C44 C33 C12 = C12 − C13C23 C33 C26 = C26 − C23C36 C45 = C45 C33 e32 = e32 + C23e33 C33 C55 = C55 ⎤k ⎥ ⎦ ⎧⎪ ⎨ ⎪⎩ ε x 1 ε x 2 γ x 23 γ x 31 γ x 12 −E x 1 −E x 2 −E x 3 C16 = C16 − C13C36 C66 = C66 − C33 (C36) 2 C33 e36 = e36 + e33C36 e14 = e14 e15 = e15 e24 = e24 e25 = e25 C33 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ k (6.51) (6.52) (6.53)
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