a análise de placas laminadas compostas inteligentes

6.5 Correção da relação constitutiva 92
6.5 Correção da relação constitutiva
Aqui, vale salientar a complicação que surge devido à hipótese que considera a lâmina
submetida a um estado plano de tensões (EPT) quando da obtenção da matriz constitutiva
da lâmina e, consequentemente, do laminado. Por exemplo, Mendonça (2005) e Vel
e Batra (2001), citam a necessidade de se fazer uma correção na matriz de rigidez da
lâmina, na ocasião da análise de placas e cascas segundo teorias cujas relações cinemáticas
preconizam a inextensibilidade do segmento normal à superfície de referência. Verifica-se,
portanto, uma incoerência, uma vez que a inextensibilidade na direção da espessura da
placa reflete a nulidade da deformação normal na mesma direção, que se contrapõem à
ausência de restrição nesta direção quando do tratamento em EPT.
Primeiramente, fazendo a correção, ou seja, impondo a nulidade da tensão σ x 3, a partir
da relação constitutiva acoplada para lâmina piezelétrica de modo extensional (5.70),
temos
σ x 3 = C13ε x 1 + C23ε x 2 + C33ε x 3 + C36γ x 12 − e33E x 3 = 0 (6.49)
o que corresponde à eliminação da terceira linha da relação constitutiva (5.70).
Em seguida, multiplica-se a terceira coluna desta relação constitutiva reduzida pela
componente de deformação ε x 3, inserindo este efeito no vetor de tensões mecânicas e deslo-
camentos elétricos, ou seja, explicitando o efeito de ε x 3, conforme
⎧
⎪⎨
⎪⎩
C13ε x 3
C23ε x 3
0
0
C36ε x 3
0
0
e33ε x 3
⎫
⎪⎬
⎪⎭
k
⎧
⎪⎨
+
⎪⎩
σ x 1
σ x 2
τ x 23
τ x 31
τ x 12
D x 1
D x 2
D x 3
⎫
⎪⎬
⎪⎭
Isolando ε x 3 em (6.49) pode-se escrever
C13ε x 3 = − 1
C33
k
=
C e T
e − χ
k
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ε x 1
ε x 2
γ x 23
γ x 31
γ x 12
−E x 1
−E x 2
−E x 3
(C13) 2 ε x 1 + C13C23ε x 2 + C13C36γ x 12 − C13e33E x
3
⎫
⎪⎬
⎪⎭
k
(6.50)