a análise de placas laminadas compostas inteligentes

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6.4 Associação das variáveis mecânicas e elétricas 88 6.4 Associação das variáveis mecânicas e elétricas 6.4.1 Aproximação via MEF Neste estágio deve-se definir a estrutura do vetor de deslocamentos e potenciais nodais elementares, acrescentando-se os correspondentes graus de liberdade elétricos do nó no aos respectivos graus de liberdade mecânicos, de forma que se tem U e T no = . . . u 0 no, v 0 no, w 0 no, ψxno, ψyno, ψ3xno, ψ3yno, ϕ G.L. mecânicos 1 no, ϕ 2 no, · · · , ϕ k no, · · · , ϕ N no G.L. elétricos As funções incógnitas agora são T u(x, y, t) = u 0 (x, y, t), v 0 (x, y, t), . . . , ψ3y(x, y, t), ϕ 1 (x, y, t), ϕ 2 (x, y, t), . . . , ϕ k (x, y, t), . . . , ϕ N (x, y, t) . . . (6.38) (6.39) Estas funções são aproximadas no domínio do elemento de forma análoga ao exposto em (6.12). Assim, deve-se definir o arranjo [N e ], de ordem (7 + N) × (7 + N)Nne, que contém as funções base no elemento. A parcela referente ao nó no tem a seguinte representação N e no = ⎡ ⎢ ⎢· · · ⎢ ⎣ Nno 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . 0 0 0 Nno 0 0 0 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 Nno 0 0 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 0 Nno 0 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 0 0 Nno 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 0 0 0 Nno 0 0 0 . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 Nno 0 0 . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Nno 0 . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Nno . . . 0 0 . . . . . . . . . . .. . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . Nno 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . 0 Nno ⎤ ⎥ · · · ⎥ ⎦ (6.40)
6.4 Associação das variáveis mecânicas e elétricas 89 Por consequência, as deformações mecânicas generalizadas de membrana e flexão são obtidas de maneira análoga à (6.16), considerando os novos arranjos de [N e no] e {U e no}, de forma que a matriz [Be mf ], de ordem 9 × (7 + N)Nne, é tal que a parcela referente ao nó no é B e mfno = ⎡ ⎢ ⎢· · · ⎢ ⎣ Nno,x 0 0 0 0 0 0 0 Nno,y 0 0 0 0 0 Nno,y Nno,x 0 0 0 0 0 0 0 0 Nno,x 0 0 0 0 0 0 0 Nno,y 0 0 0 0 0 Nno,y Nno,x 0 0 0 0 0 0 0 Nno,x 0 0 0 0 0 0 0 Nno,y 0 0 0 0 0 Nno,y Nno,x ⎤ N ⎥ 0 0 · · · 0 · · · 0 ⎥ 0 0 · · · 0 · · · 0 ⎥ 0 0 · · · 0 · · · 0 ⎥ 0 0 · · · 0 · · · 0 ⎥ 0 0 · · · 0 · · · 0 · · · ⎥ 0 0 · · · 0 · · · 0 ⎥ 0 0 · · · 0 · · · 0 ⎥ 0 0 · · · 0 · · · 0 ⎥ 0 0 · · · 0 · · · 0 ⎦ (6.41) De forma semelhante, as deformações generalizadas cisalhantes transversais são aproximadas, de forma análoga a (6.19), com o uso do arranjo [B e c], de ordem 4×(7+N)Nne, cuja parcela referente ao nó no é B e cno = forma ⎡ ⎢ ⎢· · · ⎢ ⎣ 0 0 Nno,y 0 Nno 0 0 0 0 Nno,x Nno 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3Nno 0 0 0 0 0 3Nno 0 ⎤ N ⎥ 0 0 · · · 0 · · · 0 ⎥ 0 0 · · · 0 · · · 0 ⎥ · · · ⎥ 0 0 · · · 0 · · · 0 ⎥ 0 0 · · · 0 · · · 0 ⎦ (6.42) Finalmente, o vetor campo elétrico na lâmina piezelétrica k pode ser aproximado na E(x, k t) e = − Nne no=1 onde a parcela referente ao nó no, [B ke no] é B ke no U e no = − B ke U e (6.43)
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