a análise de placas laminadas compostas inteligentes

6.3 Descrição do comportamento elétrico 87
E(x, t) ke
⎧
∂
N
Nne
⎪⎨
∂x
= −
no=1
⎪⎩
e
no(x, y)
ϕk−1
zk − z
no (t) + ϕ
hk
k
z −
zk−1
no(t)
hk
∂
N
∂y
e
no(x, y)
ϕk−1
zk − z
no (t) + ϕ
hk
k
z −
zk−1
no(t)
hk
∂
N
∂z
e
no(x, y)
ϕk−1
zk − z
no (t) + ϕ
hk
k
z −
zk−1
no(t)
hk
N
−
e
no(x, y)
ϕk−1 no (t) ∂
zk − z
+ ϕ
∂x hk
k no(t) ∂
z −
zk−1
∂x hk
Ne
no(x, y)
ϕk−1 no (t) ∂
zk − z
+ ϕ
∂y hk
k no(t) ∂
z −
zk−1
∂y hk
Ne
no(x, y)
ϕk−1 no (t) ∂
zk − z
+ ϕ
∂z
k no(t) ∂
z −
zk−1
∂z
⎫
⎪⎬
⎪⎭
hk
Logo, como as derivadas das funções PU,
hk
(6.35)
Ne
no(x, y) , com relação à coordenada da
espessura são nulas, o mesmo podendo-se dizer das derivadas das funções lineares por
partes para discretização em z com relação às coordenadas planas, o campo elétrico na
lâmina piezelétrica k se simplifica conforme
E(x, k
t) e
= −
Nne
no=1
⎧
∂
N
⎪⎨
∂x
⎪⎩
e
no(x, y)
ϕk−1
zk − z
no (t) + ϕ
hk
k
z −
zk−1
no(t)
hk
∂
N
∂y
e
no(x, y)
ϕk−1
zk − z
no (t) + ϕ
hk
k
z −
zk−1
no(t)
hk
Ne
1
no(x, y) − ϕk−1 no (t) + ϕk ⎫
⎪⎬
no(t)
⎪⎭
e distribuindo os termos entre parênteses e simplificando a notação
E(x, k
t) e
= −
Nne
no=1
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂
∂x Nno
ϕk−1 no
∂
∂y Nno
ϕk−1 no
zk
hk
zk
hk
hk
− ϕk−1
z
no − ϕ
hk
k no
− ϕk−1
z
no − ϕ
hk
k no
1
− ϕk−1 no + ϕk
no
Nno
hk
zk−1
hk
zk−1
hk
+ ϕ k no
+ ϕ k no
z
hk
z
hk
(6.36)
⎫
⎪⎬
⎪⎭
(6.37)