Ficha de trabalho 9 (Integrais duplos.) - deetc

Instituto Superior de Engenharia de Lisboa - DEETC - Área Científica de Matemática
1. Calcule os seguintes integrais
Análise Matemática II - LEETC e LERCM
Ficha de trabalho 9 (Integrais duplos.)
a) 1 x
0 x2 xy2 dy dx
b) 3/2 3−y
y dx dy
1 y
c) √ 2π x3 √ sin π 0 y
dy dx x
d) 1 x2 −1 −x2(x2 − y) dy dx
2. Calcule os integrais
D
f(x, y) dx dy, sendo
a) f(x, y) = x 2 e D a região limitada por xy = 16, x = y e x = 8.
b) f(x, y) = e x2
e D a região limitada por y = 2x, x = 1 e y = 0.
c) f(x, y) = 1 e D a região limitada por y = x 2 e x = y 2 .
d) f(x, y) = y e D a região limitada por x 2 + y 2 = 25 e x + y = 5.
3. Usando uma mudança de coordenadas conveniente calcule
sendo:
D
f(x, y) dx dy,
a) D = {(x, y) ∈ R2 : x + y ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x} e f(x, y) = e−(x+y)4(x2 − y2 ).
b) D = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1} e f(x, y) = e −(x2 +y 2 ) .
c) D = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0} e f(x, y) = 9 − x 2 − y 2 .
4. Inverta a ordem de integração em:
a) 2
0
√ x
f(x, y) dy dx.
0
b) 4 8
f(x, y) dx dy.
0 2y
ey c) 2
0
d) e
1
1
ln x
0
f(x, y) dx dy.
f(x, y) dy dx.
1

e) 1 π/2
f(x, y) dx dy.
0 arcsin y
f) 1
0
√ y
y 2 f(x, y) dx dy.
5. Usando uma mudança de coordenadas conveniente calcule a massa da placa
plana P supondo a densidade f(x, y) = 6x − 3.
P = {(x, y) ∈ R 2 : x − 1 ≤ y ≤ x + 1, x 2 − 1 ≤ y ≤ x 2 }.
6. Determine o centroide da região
R = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥ x, x 2 + y 2 ≥ a, x 2 + y 2 ≤ b (a < b)}.
7. Usando uma mudança de coordenadas conveniente, calcule o momento de inércia
polar duma placa plana D de densidade f(x, y), sendo
D = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x + y ≤ 2, y ≤ x ≤ y + 1}
f(x, y) =
e x+y
(x 2 + y 2 )[1 + (x − y) 2 ] .
8. Inverta a ordem de integração e calcule, usando coordenadas polares, o valor do
integral
1 2−2y
(x 2 + y 2 ) −3/2 dx dy.
0
1−y
2