INTEGRAIS DUPLOS - deetc

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
1. Definição e propriedades.
INTEGRAIS DUPLOS.
Neste capitulo generalizaremos a noção de integral para o caso quando em vez
de intervalos teremos regiões planas fechadas G e a função integranda é uma função
real de duas variáveis. O integral resultante diz-se integral duplo e representa-se por
∫∫
G
f ( x,
y)
dxdy .
Seja G uma região plana e fechada e f x y G ⊆ R → R
2
( , ) :
.
Definição 1.1. Chama-se diâmetro da região plana G e denota-se por d a distância
maior entre dois pontos de G , isto é, com A = x , y ), B = ( x , y ) temos
d =
( 1 1
2 2
2
max d(
A,
B)
= max ( x1
− x2
) + ( y1
− y2
A,
B∈G
A,
B∈G
Fazemos uma partição Δ de G em n regiões elementares
Δ s Δ s , Δ s , , Δ s
1, 2 3 L n , onde quaisquer duas na intersecção não tem pontos interiores
d d d d , , , , 1 2 3 L os diâmetros deles. Designa-se por
(figura 1), denotando por n
diâmetro da partição ou por norma de Δ o elemento maior do conjunto
d d , d , , d
Δ = d , d , d , L,
d ).
{ }
1, 2 3 L n e denota-se por Δ ( max{ 1 2 3 n}
Utilizemos i s Δ para denotar uma região elementar da partição e a sua área. Em
cada região elementar i s Δ fixemos, arbitrariamente, um ponto ) , ( M i ξ i ηi
, calculemos
f ( ξ i , ηi
) e formemos a soma
n
n
∑
i=
1
f ( ξ , η ) ⋅ Δ s .
Definição 2.1. A soma ∑ f ( ξ i , ηi
) ⋅ Δ si
chama-se soma integral da função f ( x,
y)
i=
1
na região G , associada à partição Δ e aos pontos M i ( ξ i , ηi
) .
i
i
i
)
2
.
1

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Definição 3.1. O número I chama-se limite das somas integrais ∑ f ( ξ i , ηi
) ⋅ Δ si
i=
1
quando Δ → 0 , se ∀ δ > 0 ∃ ε > 0 tal que para qualquer partição da região G com
Δ < ε e para qualquer escolha dos pontos M i ( ξi , ηi
) ∈σ
i tem-se
n
∑
i=
1
f ( ξ , η ) ⋅ Δs
− I < δ .
i
i
Definição 4.1. Se existir o limite finito das somas integrais ∑ f ( ξ i , ηi
) ⋅ Δ si
quando
i=
1
Δ → 0 , dizemos que f ( x,
y)
é integrável na região G e o limite chama-se integral
duplo da função f ( x,
y)
na região G .
Denotem-se os integrais duplos por ∫∫ f ( x,
y)
ds .Portanto
G
n ⎛
⎞
I = ∫∫ f ( x,
y)
ds = lim ⎜∑
f ( ξ i , ηi
) ⋅ Δ si
⎟ . (1.1)
Δ →0
G
⎝ i=
1
⎠
Notamos que da definição do integral duplo como limite finito das somas
n
∑
i=
1
f ( ξ , η ) ⋅ Δ s resulta que o valor do integral duplo não depende de modo no qual
i
i
i
efectuemos a partição Δ de G e da escolha dos pontos M i ( ξi , ηi
) ∈σ
i . Na base disso
efectuemos a partição de G em rectângulos elementares traçando rectas paralelas aos
eixos coordenados. Consideremos a partição interior que é constituída só pelos
rectângulos interiores. Neste caso a soma integral ∑ f ( ξ i , ηi
) ⋅ Δ si
diz-se soma de
i=
1
Riemann. As regiões elementares representam rectângulos com os lados i x Δ e i y Δ .
Portanto Δ si = Δxi
⋅ Δyi
e ds = dx ⋅ dy . Então o integral duplo pode ser denodado e por
∫∫
G
f ( x,
y)
dxdy . Resumindo temos:
n ⎛
⎞
I = ∫∫ f ( x,
y)
ds = ∫∫ f ( x,
y)
dxdy = lim ⎜∑
f ( ξ i , ηi
) ⋅ Δ si
⎟ . (2.1)
Δ →0
G
G
⎝ i=
1
⎠
Na base da definição dos integrais duplos podem ser demonstradas as seguintes
propriedades:
P1) Linearidade:
∫∫
G
( a ⋅ f x,
y)
+ b ⋅ g(
x,
y)
) ds = a ( f ( x,
y)
) ds + b ( g(
x,
y)
)
∫∫
G
i
( ds .
P2) Aditividade:
Se a região G é reunião de um número finito de regiões G i , i , n , = 1 K , quaisquer duas
das quais não têm pontos interiores na intersecção, então
∫∫
∑∫∫
f ( x,
y)
ds = f ( x,
y)
ds .
G i= 1 Gi
n
n
∫∫
G
n
n
2

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P3) Se ∀ ( x, y)
∈ G f ( x,
y)
≥ g(
x,
y)
, então ∫∫ f ( x,
y)
ds ≥ ∫∫ g(
x,
y)
ds .
Particularmente, se ∀ ( x, y)
∈ G f ( x,
y)
≥ 0 , então o f ( x,
y)
ds ≥ 0 e representa o
volume do sólido limitado inferiormente pela região G , superiormente pelo gráfico da
função e lateralmente pela superfície cilíndrica de geratriz paralela ao eixo O z , cuja
directriz é a fronteira de G :
V = f ( x,
y)
ds = f ( x,
y)
dxdy (3.1)
∫∫
G
Nota 1.1. Se f ( x,
y)
= 1 em G , então temos: S G = ∫∫ ds = ∫∫dxdy
.
P4) ∫∫ f ( x,
y)
ds ≤ ∫∫ f ( x,
y)
ds .
G
G
∫∫
G
Teorema do valor médio. Se f ( x,
y)
é continua em G fechado, então existe pelo
menos um ponto interior ( x0 , y0
) ∈ G tal que
∫∫
G
f x,
y)
ds = f ( x , y ) ⋅ S
G
( 0 0
onde S G é a área da região G .
No processo de cálculo das somas integrais supusemos que a função f ( x,
y)
é
limitada em G . Esta condição é condição necessária de integrabilidade, mas não é
suficiente. Por exemplo a função
⎧ 1,
y ∈ Q ( y racional),
f ( x,
y)
= ⎨
⎩0,
y ∈ R \ Q ( y irracional),
é limitada no quadrado { ( x , y)
: 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1}
, mas não é integrável, porque o
limite das somas integrais depende da escolha dos pontos M i ( ξ i , ηi
) . Escolhendo
sempre y irracional obtemos a soma igual à zero quando n → ∞ e escolhendo sempre
y racional obtemos que a soma tende para o infinito.
A condição suficiente de integração é dada pelo:
Teorema 1.1. Se f ( x,
y)
é continua na região limitada e fechada G , então ela é
integrável nesta região.
Uma generalização deste teorema é:
Teorema 2.1. Se f ( x,
y)
é limitada na região limitada e fechada G e é continua nos
todos pontos desta região, com excepção de um conjunto de pontos com medida nula,
então ela é integrável nesta região.
Nota 2.1. Diz-se que o conjunto de pontos P do plano tem medida nula, se ∀ε > 0
existe um polígono Q que contem P e área de Q é inferior à ε . Por exemplo o
conjunto de pontos { ( x, y)
: y = f ( x)
∧ a ≤ x ≤ b}
(ou { ( x, y)
: x = g(
y)
∧ c ≤ y ≤ d}
)
tem medida zero.
G
∫∫
G
G
,
G
G
3

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2. Cálculo dos integrais duplos.
1.2. Determinação das fórmulas de integração
Calcular um integral duplo usando a definição não é prático. Comecemos com o cálculo
2
do integral ∫∫ f ( x,
y)
dxdy , onde G = { ( x,
y)
∈ R : a < x < b ∧ ϕ1( x)
≤ y ≤ ϕ 2 ( x)
}
G
(figura 2 a)). Neste caso a região é limitada pelas linhas x = a,
x = b,
y = ϕ1(
x)
e
y = ϕ 2 ( x)
, com a < b,
ϕ1( x)
≤ ϕ 2 ( x)
e qualquer recta paralela ao eixo O y , que passe
por um ponto interior, intersecta a fronteira em não mais de dois pontos (figura 2 a)).
Este tipo de região diz-se regular segundo o eixo O y (ou de tipo 1).
Nota 1.2. Analogamente, definimos a região regular segundo o eixo O x (ou
2
de tipo 2): G { x,
y)
∈ R : c < y < d ∧ ψ ( y)
≤ x ≤ψ
( y)
}
= ( 1
2 (figura 2 b)), isto é, a
região é limitada pelas linhas y = c,
y = d,
x = ψ 1( y)
e x = ψ 2 ( y)
, com
c < d,
ψ 1(
y)
≤ψ
2 ( y)
e qualquer recta paralela ao eixo O x , que passe por um ponto
interior, intersecta a fronteira em não mais de dois pontos (figura 2 b)).
Nota-se que os segmentos das rectas x = a,
x = b,
y = c e y = d que delimitam as
regiões podem degenerar em pontos.
Seja G regular segundo o eixo O y .
Sabemos que se ∀ ( x, y)
∈ G f ( x,
y)
≥ 0 , então o ∫∫ f ( x,
y)
ds representa o volume do
sólido limitado inferiormente pela região G , superiormente pelo gráfico da função e
lateralmente pela superfície cilíndrica de geratriz paralela ao eixo O z , cuja directriz é
a fronteira de G . Intersectemos este sólido com um plano paralelo ao plano yOz , isto
é, x = const,
a ≤ x ≤ b . Na intersecção obtemos um trapézio curvilíneo PMNR a área
do qual é o integral definido da função f ( x,
y)
no segmento PM (figura 3). Levando
em conta que neste segmento a função depende só da variável y e y tem os valores de
y P até à y M , concluímos que
S(
x)
=
ϕ2
( x)
∫
ϕ1
( x)
G
f ( x,
y)
dy .
4

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Conhecendo a área da corte para qualquer a ≤ x ≤ b , podemos calcular o volume do
sólido utilizando a fórmula (ver as aplicações do integral definido)
b
∫
V = S(
x)
dx .
a
No nosso caso temos
b x
V ∫ ∫ f x y dy dx
⎟
a x
⎟
ϕ ⎛ 2 ( ) ⎞
= ⎜ ( , )
(1.2)
⎜
⎝ ϕ1(
) ⎠
e na base de (3.1) obtemos a fórmula de cálculo do integral duplo (para o caso
considerado):
b x
∫∫ f x y ds ∫∫ f x y dxdy ∫ ∫ f x y dy dx
⎟
G
G
a x
⎟
ϕ ⎛ 2 ( ) ⎞
( , ) = ( , ) = ⎜ ( , ) . (2.2)
⎜
⎝ ϕ1
( ) ⎠
b ϕ x
b x
⎛ 2 ( )
ϕ ⎞
2 ( )
A expressão ⎜
∫ ∫ f ( x,
y)
dy ⎟ dx = ∫ ∫ f ( x,
y)
dydx
de (2.2) chama-se integral iterado
⎜
⎟
a ⎝ ϕ1
( x)
⎠ a ϕ1
( x)
da função f ( x,
y)
na região G e se calcula no seguinte modo:
ϕ2
( x)
1) No inicio calculamos o integral interior ∫ f ( x,
y)
dy , isto é, integramos a função
f ( x,
y)
em relação à variável y , considerando x constante. O resultado obtido é uma
função de variável x .
2) Na continuação calculamos o integral exterior, isto é, integramos a função obtida
em relação à variável x no segmento [ a, b]
. O resultado obtido é o valor do integral
duplo na região G .
ϕ1
( x)
Nota 2.2. Última parcela de (2.2) pode ser escrita na forma
5

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b
∫ dx ∫
a
ϕ ( x)
2
ϕ ( x)
e neste caso integramos da direita à esquerda.
1
f ( x,
y)
dy
Resumindo temos: se f ( x,
y)
≥ 0 e G é de tipo 1, então o cálculo do integral
duplo reduz-se ao cálculo de um integral iterado aplicando a fórmula (2.2). Se a parte de
baixo ou (e) a parte de cima da fronteira são linhas seccionalmente regulares com as
secções definidas por várias funções, então traçando rectas paralelas ao eixo O y
partimos a região G em regiões de tipo 1, onde as partes de baixo e de cima da
fronteira são dadas, respectivamente, pelas suas funções únicas e na base da
propriedade de aditividade o integral ∫∫ f ( x,
y)
ds representa-se como uma soma de
G
integrais duplos cada um dos quais pode ser calculado aplicando a fórmula (2.2).
2
Se G { x,
y)
∈ R : c < y < d ∧ ψ ( y)
≤ x ≤ψ
( y)
}
= ( 1
2 é regular segundo o eixo
O x , então, analogamente, obtemos
∫∫
G
f ( x,
y)
ds =
=
∫∫
G
f ( x,
y)
dxdy =
d ψ 2 ( y)
∫ ∫
c ψ1
( y)
d
⎛
⎜
⎜
⎝
f ( x,
y)
dxdy
=
ψ 2 ( y
∫ ∫
c
ψ1
( y
d
) ⎞
f ( x,
y)
dx⎟
dy =
⎟
) ⎠
ψ 2 ( y)
∫ dy ∫
c
ψ1
( y)
f ( x,
y)
dx.
(3.2)
Analogamente, se f ( x,
y)
≥ 0 e G é de tipo 2, então o cálculo do integral duplo
reduz-se ao cálculo de um integral iterado aplicando a fórmula (3.2). Se a parte de
esquerda ou (e) a parte de direita da fronteira são linhas seccionalmente regulares com
as secções definidas por várias funções, então traçando rectas paralelas ao eixo O x
partimos a região G em regiões de tipo 2, onde as partes de esquerda e de direita da
fronteira são dadas, respectivamente, pelas suas funções únicas e na base da
propriedade de aditividade o integral ∫∫ f ( x,
y)
ds representa-se como uma soma de
G
integrais duplos cada um dos quais pode ser calculado aplicando a fórmula (3.2).
Portanto se f ( x,
y)
≥ 0 e G é de tipo 1 (ou de tipo 2) o cálculo de um integral
duplo reduz-se ao cálculo de um número finito de integrais iterados.
Demonstraremos a veridicidade das fórmulas (2.2) e (3.2) para f ( x,
y)
< 0 .
Seja f ( x,
y)
< 0 e G é de tipo 1. Neste caso − f ( x,
y)
> 0 e podemos aplicar a
fórmula (2.2). Aplicando, sucessivamente, a propriedade P1, a fórmula (2.2) e a
propriedade de linearidade para os integrais definidos obtemos
∫∫
G
f ( x,
y)
dxdy = −
∫∫
G
− f ( x,
y)
dxdy = −
b
∫ dx ∫
a
ϕ ( x)
2
ϕ ( x)
1
− f ( x,
y)
dy =
b
∫ dx ∫
a
ϕ ( x)
2
ϕ ( x)
1
f ( x,
y)
dy .
O caso f ( x,
y)
< 0 e G é de tipo 2 é análogo.
Portanto podemos concluir que se f ( x,
y)
não muda o seu sinal num domínio de tipo 1
(ou de tipo 2) o cálculo de um integral duplo reduz-se ao cálculo de um número finito
de integrais iterados.
6

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Se a função f ( x,
y)
é definida numa região G = G1
U G2
de tipo 1 e
∀ x , y)
∈ G f ( x,
y)
≥ 0,
∀(
x,
y)
∈ G f ( x,
y)
< 0 (figura 4 a)), onde
( 1
2
1 =
2
( x,
y)
∈ R : a < x < b ∧ 1
{ ϕ ( x)
≤ y ≤ ( x)
}
G ϕ
e
2
G2 = { ( x,
y)
∈ R : a < x < b ∧ ϕ( x)
≤ y ≤ ϕ 2 ( x)
} ,
na base da propriedade de aditividade e dos resultados obtidos anteriormente temos:
b ϕ ( x)
⎛
⎞ b ϕ ⎛ 2 ( x)
⎞
= +
= ⎜
⎟ + ⎜
⎟
∫∫ f ( x,
y)
ds ∫∫ f ( x,
y)
ds ∫∫ f ( x,
y)
ds ∫ dx
=
⎜ ∫ f ( x,
y)
dy
⎟ ∫ dx
⎜ ∫ f ( x,
y)
dy
⎟
G G1 G2
a ⎝ ϕ1
( x)
⎠ a ⎝ ϕ ( x)
⎠
b ϕ ( x)
ϕ
⎛
2 ( x)
⎞ b ϕ2
( x)
= ⎜
⎟
∫ dx ∫ f ( x,
y)
dy + ∫ f ( x,
y)
dy =
⎜
⎟ ∫ dx ∫ f ( x,
y)
dy .
a ⎝ ϕ1
( x)
ϕ ( x)
⎠ a ϕ1
( x)
Portanto a fórmula (2.2) é verdadeira e neste caso, e na base da propriedade de
aditividade pode ser generalizada para qualquer número finito de níveis da região G nas
quais o sinal da função é constante, mas muda de um nível para outro.
Caso os subdomínios G 1 e 2
a, b determinamos
os pontos pelos quais traçando rectas paralelas ao eixo Oy obtemos uma partição de G
em subdomínios, nas quais os níveis onde a função tem sinal constante são de tipo 1
(figura 4 b)).
Caso G = G1
U G2
é de tipo 2 obtemos mesmo resultado.
Na base destes resultados formulemos os teoremas:
Teorema 1.2. Seja f ( x,
y)
definida numa região
G de G são de outra forma, então em [ ]
2 { x,
y)
∈ R : a < x < b ∧ ϕ ( x)
≤ y ≤ ( x)
}
G = ( 1 ϕ 2
de tipo 1 e:
I. Existe o integral duplo ∫∫ f ( x,
y)
dxdy ;
G
II. x ∈[
a,
b]
ϕ2
( x)
∀ existe o integral definido I ( x)
= ∫ f ( x,
y)
dy .
Então existe o integral definido
ϕ1(
x)
7

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
e tem-se
∫∫
G
b
∫
a
I(
x)
dx =
b
∫
a
f ( x,
y)
dxdy =
dx
b
ϕ2
( x)
∫
a
∫
ϕ1
( x)
dx
f ( x,
y)
dy
ϕ2
( x)
∫
ϕ1
( x)
Teorema 2.2. Seja f ( x,
y)
definida numa região
f ( x,
y)
dy .
2 { x,
y)
∈ R : c < y < d ∧ ψ ( y)
≤ x ≤ ( y)
}
G =
ψ
de tipo 2 e:
I. Existe o integral duplo ∫∫ f ( x,
y)
dxdy ;
G
II. y ∈ [ c,
d]
( 1
2
ψ 2 ( y)
∀ existe o integral definido I ( y)
= ∫ f ( x,
y)
dx .
Então existe o integral definido
e tem-se
Nota 3.2.
∫∫
G
d
∫
c
I(
y)
dy =
d
∫
f ( x,
y)
dxdy =
c
dy
d
ψ 2 ( y)
∫
c
∫
ψ1
( y)
dy
ψ1
( y)
f ( x,
y)
dx
ψ 2 ( y)
∫
ψ1
( y)
f ( x,
y)
dx .
O algoritmo de cálculo de um integral duplo é seguinte:
1) Fazemos um esboço da região de integração G .
2) Se a região G é de tipo 1, aplicamos a fórmula (2.2) para calcular o integral duplo.
Se a região G é de tipo 2, aplicamos a fórmula (3.2) para calcular o integral duplo.
Se a região G não é de tipo 1 nem de tipo 2, então fazemos uma partição dela num
número mínimo possível de regiões de tipo 1 e de tipo 2 (ver os exemplos da figura 5) e
aplicamos a propriedade de aditividade.
Nota 4.2.
Mencionamos que a fórmula (2.2) pode ser aplicada para calcular os integrais
duplos não só em regiões regulares segundo o eixo Oy , mas e em regiões regulares
8

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segundo o eixo Ox . A diferença é que no primeiro caso o integral duplo reduz-se ao
cálculo de um integral iterado e no segundo caso é necessário fazer uma partição da
região em regiões de tipo 1, obtendo uma soma de integrais iterados (analogamente e
para a fórmula (3.2) ). Neste contexto podemos dizer que a fórmula (2.2) é indicada para
regiões de tipo 1 e a fórmula (3.2) é indicada para regiões de tipo 2.
Evidenciemos dois casos mais simples de aplicação das fórmulas (2.2) e (3.2):
Teorema de Fubini.
2
Seja f ( x,
y)
definida numa região G = { ( x,
y)
∈ R : a ≤ x ≤ b ∧ c < y < d } e:
I. Existe o integral duplo ∫∫ f ( x,
y)
dxdy ;
G
Então
II. x ∈[
a,
b]
∀ existe o integral definido I ( x)
= ∫ f ( x,
y)
dy e
[ c d]
∀ y ∈ , existe o integral definido I ( y)
= ∫ f ( x,
y)
dx .
∫∫
G
b d
∫∫
d b
f ( x,
y)
dxdy = f ( x,
y)
dydx
= f ( x,
y)
dxdy
. (4.2)
a c
2
Se f ( x,
y)
g(
x)
⋅ h(
y)
G = ( x,
y)
∈ R : a ≤ x ≤ b ∧ c < y < d ,
então de (4.2) obtemos que o cálculo do integral duplo pode ser feito multiplicando
dois integrais definidos, respectivamente, em x e y
∫∫
G
∫∫
c a
d
c
= é definida em { }
∫∫
b
a
∫ g(
x)
dx ⋅∫
f ( x,
y)
dxdy = g(
x)
⋅ h(
y)
dxdy = h(
y)
dy (5.2)
G
2.2. Determinação dos limites de integração para regiões regulares.
Começemos por analisar o caso da fórmula (2.2), isto é, o caso quando a região é
de tipo 1 (figura 2 a)). Para determinar os limites do integral interior (da direita), por
um ponto interior C , arbitrário, traçamos uma recta paralela ao eixo Oy e
determinamos o ponto P de entrada da recta na região e o ponto M de saída da recta
da região. Da equação da linha á qual pertence P representamos y como função de x
e tomamos esta função como limite inferior do integral interior. Analogamente, da
equação da linha á qual pertence M representamos y como função de x e tomamos
esta função como limite superior do integral interior. Os limites do integral exterior (da
esquerda) são constantes, representando os limites de variação de x , isto é, a é limite
inferior e b é limite superior.
Analisemos o caso da fórmula (3.2), isto é, o caso quando a região é de tipo 2
(figura 2 b)). Para determinar os limites do integral interior (da direita), por um ponto
interior K , arbitrário, traçamos uma recta paralela ao eixo Ox e determinamos o ponto
Q de entrada da recta na região e o ponto L de saída da recta da região. Da equação da
linha á qual pertence Q representamos x como função de y e tomamos esta função
como limite inferior do integral interior. Analogamente, da equação da linha á qual
pertence L representamos x como função de y e tomamos esta função como limite
superior do integral interior. Os limites do integral exterior (da esquerda) são
b
a
d
c
9

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constantes, representando os limites de variação de y , isto é, c é limite inferior e d é
limite superior.
Exemplo 1.2. Representar pelas duas possíveis ordens de integração o integral duplo
f x,
y)
dxdy G =
2 2
( x,
y)
∈ R : x
2
+ y
2
= R ∧ − R ≤ x ≤ R ∧ y ≥ 0 .
∫∫
G
( , onde { }
Resolução.
A região de integração é dada na figura 5.1.
A região G é simultaneamente de tipo 1 e de tipo 2.
Caso G é de tipo 1.
Neste caso a recta paralela ao eixo Oy que passa por um ponto interior de G
entra na região num ponto x do eixo Ox , isto é, y = 0 ( − R ≤ x ≤ R ) e sai da região
2 2
num ponto da circunferência, isto é, y = R − x , ( y ≥ 0)
. Portanto
Caso G é de tipo 2.
∫∫
G
R
∫
−R
R −x
f ( x,
y)
dxdy = dx f ( x,
y)
dy .
Neste caso a recta paralela ao eixo Ox que passa por um ponto interior de G
entra na região num ponto da circunferência que tem a coordenada x negativa e sai
num ponto da circunferência que tem a coordenada x positiva. Portanto, resolvendo
2 2 2
x + y = R em relação a x , obtemos que os pontos de entrada na região têm as
2 2
coordenadas ( R − y , y)
2 ( R y , y)
2
∫
0
− e os pontos de saída da região têm as coordenadas
2
− . Então, porque neste caso 0 ≤ y ≤ R , obtemos
∫∫
G
f ( x,
y)
dxdy =
R
∫
0
dy
2 2
R − y
∫
2 2
− R − y
f ( x,
y)
dx
2
Exemplo 2.2. Calcular o integral ∫∫ ( x + y ) dxdy , onde
Resolução.
G
2
2
{ x,
y)
∈ R : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ x ≤ y x}
G = ( ≤ .
A região de integração é dada na figura 6 e é de tipo1.
2
10

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
Porque a região de integração e de tipo1, apliquemos a fórmula (2.2). Portanto
Calculemos o integral interior:
x
∫
2
x
x
∫∫
G
( x + y
2
2
( x + y ) dy = ∫ xdy + ∫ y dy = ( xy)
2
x
x
2
x
x
2
x
2
) dxdy =
3 ⎛ y ⎞
+ ⎜
3 ⎟
⎝ ⎠
x
1
∫
0
2
x
dx
x
∫
2
x
= x
( x + y
2
− x
3
2
) dy .
Portanto
1 x
1
3 6 1
2
2 ⎛ 2 2x
x ⎞ ⎛
∫∫(
x + y ) dxdy = ∫ dx∫
( x + y ) dy = ∫ dx ⎜ x − − ⎟ = ∫ ⎜ x
0 2
0 ⎝ 3 3
G
⎠ 0 ⎝
1
x
3 6
x x
+ − = x
3 3
2
2x
−
3
3
2
2x
−
3
3
6
x ⎞
− ⎟
⎟dx
=
3 ⎠
6
x
− .
3
3 4 7
⎛ x x x ⎞ 5
= ⎜ − − =
3 6 21 ⎟ .
⎝
⎠ 42
0
Da representação da região observamos que ela pode ser dada como uma
2
região de tipo 2, G = { ( x,
y)
∈ R : 0 ≤ y ≤ 1 ∧ y ≤ x ≤ + y}
, e podemos calcular o
integral aplicando a fórmula (3.2):
∫∫
Calculemos o integral interior:
G
1
∫ dy ∫
2
2
( x + y ) dxdy = ( x + y ) dx .
y
y
2
5 2
2 ⎛ x 2 ⎞ y y 2
3
( x + y ) dx = ⎜ + xy ⎟ = + y − − y
∫
y
Portanto
∫∫
G
⎜
⎝
2
⎟
⎠
y
2
1 y
1
5 2
1
⎛
⎞ ⎛
2
2 ⎜
y y
+ = + =
⎟ = ⎜
y
2
3
( x y ) dxdy ∫ dy ∫ ( x y ) dx ∫ dy
⎜
+ y − − y
⎟ ∫ ⎜
+ y
0 y
0 ⎝ 2 2 ⎠ 0 ⎝ 2
2
0
y
y
.
1
5
2
2
y ⎞ 3
− − y ⎟
dy =
2 ⎠
7
1
5
⎛
⎞
2
2
3 4
⎛
2
y y ⎞ ⎜
3 y 2y
y y ⎟ 1 2 1 1 5
2 = ∫ ⎜
⎟
⎜
+ y − − y = ⎜ + − − ⎟ = + − − =
2 2 ⎟
dy
.
4 7 6 4 4 7 6 4 42
0 ⎝
⎠ ⎜
⎟
⎝
⎠ 0
Neste exemplo fazendo a mudança da ordem de integração obtemos mesmos
resultados.
11

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
2
Exemplo 3.2. Calcular o integral ∫∫ xdxdy , onde G é limitada por y = x ∧ y = 2 − x .
G
Resolução. A região de integração é dada na figura 7. Resolvendo a equação
2
x = 2 − x obtemos as coordenadas dos pontos de intersecção destas linhas:
A( − 2,
4),
B(
1,
1)
.
A região de integração é simultaneamente de tipo 1 e de tipo 2.
Calculemos o integral duplo considerando que a região é de tipo 1. Neste caso
para qualquer x 0 ∈ [ − 2,
1]
a recta 0 x
2
x = entra na região na linha y = x e sai da região
na linha y = 2 − x . Portanto:
∫∫
G
1
2−x
2−
x
2
2 3
( y)
2 = x(
2 − x − x ) dx = ( 2x
− x − x ) dx =
xdxdy = ∫ xdx ∫ dy = ∫ xdx x ∫ ∫
−2
2
x
1
−2
1
1
−2
⎛ 2 1 3 1 4 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 2 1 3 1 4 ⎞ 9
= ⎜ x − x − x ⎟ = ⎜1−
− ⎟ − ⎜(
−2)
− ( −2)
− ( −2)
⎟ = − .
⎝ 3 4 ⎠ ⎝ 3 4 ⎠ ⎝ 3 4 ⎠ 4
−2
Calculemos o integral duplo considerando que a região é de tipo 2. Neste caso é
necessário representar x como função de y . De
2
y = x obtemos x = ± y e de
y = 2 − x obtemos x = 2 − y . Neste caso temos que a linha x = ψ ( y)
≡ − y e a linha
x = ψ ( ) é seccionalmente regular e
2 y
{ ( x,
y)
: x = + y ∧ 0 ≤ y ≤ 1}
{ ( x,
y)
: x = 2 − y ∧ 1 ≤ ≤ 4}
x = ψ 2 ( y)
≡
Portanto:
U
y .
∫∫
G
1
xdxdy =
1
∫
0
dy
−
⎛ y y ⎞
dy
⎜ − ⎟ +
⎝ 2 2 ⎠
y
∫
xdx +
y
4
∫
1
dy
2−
y
−
⎛ ( 2 − y)
dy ⎜
⎝ 2
∫
xdx =
y
1
∫
0
y ⎞
− ⎟ =
2 ⎠
= ∫ ∫
∫
0
4
1
2
2 ⎛ x ⎞
dy ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
4
1
−
y
y
+
4
∫
1
1
−2
2 ⎛ x ⎞
dy ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
2−
y
2
⎛ 5 y ⎞ ⎛ 5
⎜
⎜2
− y + ⎟ dy = ⎜2
y − y
⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 4
−
y
1
=
2
+
1
6
y
3
⎞
⎟
⎠
4
1
=
12

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
⎛ 5 2 1 3 ⎞ ⎛ 5 1 ⎞ 9
⎜2
⋅ 4 − 4 + 4 ⎟ − ⎜2
− + ⎟ = − .
⎝ 4 6 ⎠ ⎝ 4 6 ⎠ 4
Exemplo 4.2. Calcular o integral ∫∫( 2x
−1)
dxdy na região
Resolução.
A região limitada pelas linhas
4 2
2
y = x − x + 0,
5 ∧ y = −x
+ 1 é
dada na figura 8 e é regular
segundo o eixo Oy (tipo 1).
Resolvendo a equação
4 2
2
x − x + 0,
5 = −x
+ 1 obtemos
x = −
2
∨ x =
2
2
, isto é,
2
⎡
x ∈ ⎢−
⎣
2
,
2
2 ⎤
⎥ . Para qualquer
2 ⎦
G
2
4 2
2
{ ( x,
y)
∈ R : y ≥ x − x + 0,
5 ∧ y ≤ − + 1}
G = x .
⎡
x 0 ∈ ⎢−
⎣
2
,
2
2 ⎤
⎥ a recta 0
2 ⎦
x x =
entra na região na linha
Portanto:
4 2
y = x − x + 0,
5 e sai da região na linha
2
y = −x
+ 1.
∫∫
G
= 2
= ∫∫ ∫∫
( 2x
−1)
dxdy = ( P1) Linearidade ) 2 xdxdy − dxdy =
2
2
∫
2
−
2
2
2
∫
2
−
2
xdx
2
−x
+ 1
∫
dy
4 2
x −x
+ 0,
5
−
2
2
∫
2
−
2
dx
2
−x
+ 1
∫
4 2
x −x
+ 0,
5
dy = 2
2
2
∫
2
−
2
G
xdx
G
2
−x
+ 1
( y)
4 2 − dx(
y)
x −x
+ 0,
5
2
2
∫
2
−
2
2
4 2
2
4 2
( − x + 1−
x + x − 0,
5)
− ∫ dx(
− x + 1−
x + − 0,
5)
= 2 xdx
x
2
2
2
2
2
−
2
2
−x
+ 1
4 2
x −x
+ 0,
5
5
4
5 1
4
2 ∫ ( 0,
5x
− x ) dx − ∫ ( 0,
5 − x ) dx = ∫ xdx − 2 ∫ x dx − ∫ dx + x dx =
2
= ∫
2
−
2
2
2
2
−
2
2 6
5
⎛ x
x x x ⎞
= ⎜ − − + ⎟
⎝ 2 3 2 5 ⎠
1
2
1
−
2
⎛ 1
= ⎜ −
⎝ 4
1
24
2
2
2
−
2
2
2
2
−
2
1 1 ⎞ ⎛ 1
− + ⎟ − ⎜ −
2 2 20 2 ⎠ ⎝ 4
2
2
2
−
2
1
24
=
−
2
2
2
2
=
1 1
+ −
2 2 20 2
⎞
⎟
⎠
=
13

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
⎛ 1 1 ⎞ 1 1 9
= 2⎜− + ⎟ = − + = − .
⎝ 2 2 20 2 ⎠ 2 10 2 10 2
3.2. Inversão da ordem de integração.
Para inverter a ordem de integração é necessário:
a) Na base dos limites de integração dadas representar graficamente a região de
integração;
b) na dependência da ordem para qual pretendemos passar, fazer uma partição da
região em regiões elementares adequadas à ordem pretendida;
c) determinar os intervalos de variação das variáveis x e y ;
d) aplicando as propriedades dos integrais duplos escrever o integral na ordem
pretendida.
Exemplo 5.2. Inverter a ordens de integração no integral iterado
1
∫
0
− 2
3 y
∫
dy f ( x,
y)
dx .
2
y
2
Resolução.
Temos 0 ≤ y ≤ 1 e
y
2
delimitam a região são: y = 0 , y = 1,
2
y
x =
2
e x =
2
3 − y . Representando
graficamente a região de integração (figura 9), concluímos que é regular segundo o eixo
Ox .
2
2
≤ x ≤ 3 − y . Portanto as equações das linhas que
14

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
Observamos que a parte superior da fronteira é limitada pelas três linhas de equações
2
y
2
diferentes: x = , y = 1 e x = 3 − y . Portanto para inverter a ordem de integração
2
é necessário dividir a região em três partes, G = G1
U G2
U G3
.
Determinemos os limites de integração em G 1 . Traçando por um ponto arbitrário
de G 1 uma recta paralela ao eixo Oy obtemos que ela entra na região num ponto do
eixo Ox e sai num ponto da parábola
2
y
x = . Portanto para o integral interior o limite
2
inferior de integração é y = 0 e resolvendo x =
2
em relação a y obtemos o limite
superior y = 2x . Calculando as abcissas dos pontos de intersecção da parábola
2
y
x =
2
com as rectas y = 0 e y = 1 concluímos que os limites de integração para o
1
integral exterior são x = 0 e x = . Portanto em G 1 temos:
2
∫∫
G1
f ( x,
y)
dxdy =
1
∫
0
2
y
dx
2x
∫
0
f ( x,
y)
dy .
Determinemos os limites de integração em G 2 . Traçando por um ponto
arbitrário de G 2 uma recta paralela ao eixo Oy obtemos que ela entra na região num
ponto do eixo Ox e sai num ponto da recta y = 1.
Portanto para o integral interior o
limite inferior de integração é y = 0 e o limite superior é y = 1.
Calculando as abcissas
dos pontos de intersecção da parábola x =
2
e da circunferência com a recta y = 1
1
concluímos que os limites de integração para o integral exterior são x = e x =
2
2 .
Portanto em G 2 temos:
∫∫
G2
2
y
f ( x,
y)
dxdy =
2
∫
1
2
dx
1
∫
0
f ( x,
y)
dy .
Determinemos os limites de integração em G 3 . Traçando por um ponto
arbitrário de G 3 uma recta paralela ao eixo Oy obtemos que ela entra na região num
2 2
ponto do eixo Ox e sai num ponto da circunferência x + y = 3.
Portanto para o
2 2
integral interior o limite inferior de integração é y = 0 e resolvendo x + y = 3 em
relação a y obtemos o limite superior y =
2
3 − x . Calculando as abcissas dos pontos
de intersecção da circunferência com as rectas y = 1 e y = 0 concluímos que os
limites de integração para o integral exterior são x = 2 e x = 3 . Portanto em 3 G
temos:
Portanto
∫∫
G3
f ( x,
y)
dxdy =
3
∫
2
dx
3−x
∫
0
f ( x,
y)
dy .
15

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
1
∫
0
dy
2
3−
y
∫
2
y
2
f ( x,
y)
dx =
1
∫
0
dx
2x
∫
0
f ( x,
y)
dy +
2
∫
1
2
dx
1
∫
0
f ( x,
y)
dy +
Exemplo 6.2. Inverter a ordens de integração no integral iterado
Resolução.
−1
−
∫
2
2−
x
∫
dx f ( x,
y)
dy + dx f ( x,
y)
dy .
2
0
No primeiro integral iterado temos − 2 ≤ x ≤ −1
e
0
∫
−1
2
x
∫
0
3
∫
2
dx
3−x
∫
0
f ( x,
y)
dy .
0 ≤ y ≤
2
2 − x . Portanto
as equações das linhas que delimitam a região G 1 no primeiro integral iterado são:
x = − 2, x = −1,
−1 ≤ x ≤ 0 e
2
= 0 e y = 2 x . No segundo integral iterado temos
y −
≤
2
. Portanto as equações das linhas que delimitam a região
2
2
0 y ≤ x
G no
segundo integral iterado são: x = −1
, x = 0 , y = 0 e y = x . Representando
graficamente a região de integração, G = G1
U G2
(figura 10), concluímos que é regular
segundo o eixo Ox .
Traçando por um ponto arbitrário de G uma recta paralela ao eixo Ox obtemos
2 2
que ela entra na região num ponto da circunferência x + y = 2 e sai num ponto da
parábola
x + y = e
2
2 2
y = x . Resolvendo 2
2
y = x em relação a x obtemos que o
2
limite inferior do integral interior é x = − 2 − y e o limite superior é x = − y . Os
limites de integração para o integral exterior são y = 0 e y = 1.
Portanto
−1
−
∫
dx
2
2
2−
x
∫
0
0
∫
−1
2
x
∫
f ( x,
y)
dy + dx f ( x,
y)
dy = dy f ( x,
y)
dx .
0
1
∫
0
−
∫
y
2
− 2−
y
Exemplo 7.2. Inverter a ordens de integração no integral iterado
16

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
Resolução.
2
∫
0
dx
2x
∫
2
2x
−x
f ( x,
y)
dy .
2
Temos 0 ≤ x ≤ 2 e 2x
− x ≤ y ≤ 2x
. Portanto as equações das linhas que
delimitam a região são: x = 0 , x = 2,
y =
2
2x
− x e y = 2x
. Representando
graficamente a região de integração G (figura 10 a)), concluímos que é regular segundo
2
o eixo Oy e as linhas y = 2x
− x e y = 2x
se intersectam no ponto ( 0,
0)
. Portanto
2
G e delimitada por x = 2 , y = 2x
− x e y = 2x
.
Para inverter a ordem de integração no integral iterado fazemos uma partição de G em
três partes regulares segundo o eixo Ox , G = G1
U G2
U G3
(figura 10 b)).
Determinemos os limites de integração em G 1 . Resolvendo
y = 2x
em relação à x obtemos que G 1 é delimitada de
y = 1.
Traçando por um ponto arbitrário de 1
que ela entra na região num ponto da parábola
2
y
2
y = 2x
− x e
x =
2
, x = 1−
2
1−
y e
G uma recta paralela ao eixo Ox obtemos
2
y
x = e sai num ponto da linha
2
2
2 2
x = 1−
1−
y (uma parte da circunferência ( x −1) + y = 1).
Portanto para o integral
y
interior os limites de integração são
2
o integral exterior são y = 0 e y = 1.
Portanto em G 1 temos:
∫∫
G
1
2
2
≤ x ≤ 1−
1−
y . Os limites de integração para
1
∫
1−
1−
y
f ( x,
y)
dxdy = dy f ( x,
y)
dx .
0
Determinemos os limites de integração em G 2 . A região é delimitada de
x = 1+
2
1−
y , x = 2 e y = 1.
Traçando por um ponto arbitrário de G 2 uma recta
paralela ao eixo Ox obtemos que ela entra na região num ponto da linha
∫
y
2
2
2
17

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
x = 1+
2
1−
y
2 2
(uma parte da circunferência ( x −1) + y = 1)
e sai num ponto da
recta x = 2 . Portanto para o integral interior o limite inferior de integração é
2
x = 1+
1−
y e o limite superior é x = 2 . Os limites de integração para o integral
exterior são y = 0 e y = 1.
Portanto em G 2 temos:
2
y
∫∫
G
2
1
∫
f ( x,
y)
dxdy = dy f ( x,
y)
dx .
0
2
∫
2
1+
1−
y
Determinemos os limites de integração em G 3 . A região é delimitada de
x = , y = 1 e x = 2 . Traçando por um ponto arbitrário de G 3 uma recta paralela ao
2
eixo Ox obtemos que ela entra na região num ponto da parábola x =
2
e sai num
ponto da recta x = 2 . Portanto para o integral interior o limite inferior de integração é
2
y
x = e o limite superior é x = 2 . Substituindo x = 2 em y =
2
2x
concluímos que o
limite superior de integração para o integral exterior é y = 2 . Portanto em G 3 temos:
2
∫
0
Portanto
2x
∫
∫
∫∫
G
3
1−
1−
y
∫
2
∫
f ( x,
y)
dxdy = dy f ( x,
y)
dx .
dx f ( x,
y)
dy = dy f ( x,
y)
dx + dy f ( x,
y)
dx + dy f ( x,
y)
dx .
2
2x
−x
1
0
2
y
2
2
1
∫
0
1
2
∫
2
y
2
2
∫
2
1+
1−
y
Nota 5.2. Em alguns casos a ordem de integração no integral iterado é dependente de
função integranda.
Exemplo 8.2.
∫∫
y
Calcular o integral duplo e dxdy
G
− 2
2
∫
1
2
∫
2
y
2
2
y
2
, onde = { ( x,
y)
∈ R : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ x ≤ y ≤ 1}
G .
Resolução.
A região de integração é, simultaneamente, regular segundo Ox e regular
segundo Oy (figura 11). Portanto no integral iterado possamos escolher qualquer das
duas ordens possíveis de integração.
Se escolhemos a ordem de integração na qual o integral interior é calculado em
relação à variável y , obtemos
18

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
onde a primitiva da função
e −
2
y
∫∫
G
2
− y
1
∫
∫
2
− y
e dxdy = dx e dy ,
0
1
x
não pode ser representada como uma combinação de
um número finito de funções elementares.
Se escolhemos a ordem de integração na qual o integral interior é calculado em
relação à variável x , facilmente, calculamos o integral duplo:
∫∫
G
e
2
− y
dxdy
1
y 1
1
1
2
2
2
2
− y
− y
y
− y
− y 2 1 2
= ∫ e dy∫
dx = ∫ e dy ⋅(
x)
= =
= − ( )
0 ∫ y e dy ∫ e dy y
0
0
4.2. Mudança de variáveis num integral duplo.
0
0
1 1
As dificuldades encontradas no cálculo dos integrais duplos, ∫∫ f ( x,
y)
dxdy ,
G
dependem da função integranda f ( x,
y)
e da região de integração G , mas fazendo uma
mudança de variáveis conseguimos simplificar o cálculo do integral.
Consideremos que efectuamos a substituição
( x,
y)
= T ( u,
v)
= ( ϕ ( u,
v),
ψ ( u,
v))
1
e ϕ ( u, v),
ψ ( u,
v)
de classe C em Γ .
≡
⎧ x = ϕ(
u,
v),
⎨
com ( u , v)
∈ Γ (6.2)
⎩y
= ψ ( u,
v),
2 2
Supomos que a função T ( u,
v)
: DT
⊂ R → R é biunívoca, isto é, cada ponto
( x, y)
∈ G é imagem de algum ponto ( u , v)
∈ Γ e cada ponto ( u , v)
∈ Γ transforma-se
num ponto ( x, y)
∈ G (figura 12). Por outras palavras, quando o ponto ( u , v)
percorre
a região Γ a sua imagem ( x , y)
percorre a região G .
Às fórmulas (6.2) podemos dar outro significado. Consideremos na região Γ o
segmento da recta u = u0
= const (figura 13), ao qual na região G corresponde a linha
dada na forma paramétrica por
x = ϕ u , v),
y = ψ ( u , v)
, (7.2)
( 0
0
onde o parâmetro é v . Analogamente, ao segmento da recta v = v0
= const de Γ na
região G corresponde a linha dada na forma paramétrica por
x = ϕ ( u,
v0
), y = ψ ( u,
v0
) , (8.2)
onde o parâmetro é u .
2
0
2
0
= −
1
2
.
19

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
Ao ponto ( 0 , 0 ) ∈ Γ v u corresponde algum ponto G y x M ∈ ) , ( 0 0 0 (com x0 = ϕ(
u0
, v0
),
y = ψ u , v ) ) e na base que é biunívoca concluímos que o ponto correspondente ao
0
( 0 0
0 ( x0
, y0
( 0, 0 v
ponto M ) é único. Então o ponto M 0 é univocamente determinado do par de
números ) u e portanto podemos considerar que os números 0 u e v 0 são as
coordenadas de M 0 (mas já não cartesianas) e as linhas (7.2) e (8.2) são as linhas de
coordenadas, respectivamente, v e u . Porque, geralmente, (7.2) e (8.2) são linhas, o par
( 0, 0)
v u diz-se a coordenada curvilínea do ponto M 0 . Portanto (6.2) podem ser
consideradas fórmulas de passagem das coordenadas cartesianas ( x , y)
ás coordenadas
( u , v)
na região G . As coordenadas curvilíneas determinam-se do sistema:
⎧u
= Φ(
x,
y),
⎨
com ( x, y)
∈ G
(9.2)
⎩v
= Ψ(
x,
y),
Fazemos uma partição de Γ traçando rectas paralelas aos eixos Ou e Ov ,
considerando Δ u = const e Δ v = const . A região Γ parte-se em rectângulos, com a
excepção dos rectângulos afectados de fronteira do domínio e não levamo-los em
consideração. O rectângulo com os vértices
M ′ 1(
u,
v),
M ′ 2 ( u + Δu,
v),
M ′ 3 ( u + Δu,
v + Δv)
e M ′ 4(
u,
v + Δv)
(figura 14 a)) através de (6.2) transforma-se num quadrilátero com os vértices
M ϕ(
u,
v),
ψ ( u,
v)),
M ( ϕ(
u + Δu,
v),
ψ ( u + Δu,
v)),
M ( ϕ(
u + Δu,
v + Δv),
( u + Δu,
v + Δv))
1(
2
3
e M ( ϕ ( u,
v + Δv),
ψ ( u,
v + Δv))
(figura 14 b)).
4
20

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
Obviamente, a área do rectângulo M ′ 1 M ′ 2M
′ 3M
′ 4 é Δ s′ = Δu
⋅ Δv
Calculemos a área s
M M M M , aproximando-o com a
Δ do quadrilátero curvilíneo 1 2 3 4
−−−
−−→
−−−−
−→
área do paralelogramo com os lados determinados dos vectores M 1 M 2 , M 1M
4 .
Sabe-se que a área do paralelogramo pode ser calculada como a norma do produto
vectorial destes vectores, isto é,
−−−
−−→
−−−−
−→
ΔsP = M 1 M 2×
M 1M
4
. Conhecendo as coordenadas
dos vértices dos vectores podemos determinar as coordenadas dos vectores. Portanto:
−−−
−−→
M M = ( ( u + Δu,
v),
ψ ( u + Δu,
v))
− ( ϕ(
u,
v),
ψ ( u,
v))
= ( Δ ϕ,
Δ ψ ) ,
1
2
−−−−
−→
ϕ u u
M M = ( ( u,
v + Δv),
ψ ( u,
v + Δv))
− ( ϕ(
u,
v),
ψ ( u,
v))
= ( Δ ϕ,
Δ ψ ) .
1
4
ϕ v v
1
Levando em conta que as funções ϕ ( u, v),
ψ ( u,
v)
são de classe C em Γ , temos:
∂ϕ
Δ uϕ
= ⋅ Δu
+ α1
⋅ Δu,
∂u
∂ψ
Δ uψ
= ⋅ Δu
+ α 2 ⋅ Δu,
∂u
∂ϕ
Δ vϕ
= ⋅ Δv
+ α 3 ⋅ Δv,
∂v
∂ψ
Δ vψ
= ⋅ Δv
+ α 4 ⋅ Δv
,
∂v
onde α → , α → 0,
α → , α → 0 quando Δu → 0 e Δv → 0 , e então
1
0 2
3
0 4
∂ϕ
Δ uϕ
≈ ⋅ Δu,
∂u
Portanto temos
∂ψ
∂ϕ
Δ uψ
≈ ⋅ Δu,
Δ vϕ
≈ ⋅ Δv,
∂u
∂v
∂ψ
Δ vψ
≈ ⋅ Δv
.
∂v
−−−
−−→
M 1 M 2
⎛ ∂ϕ
∂ψ
⎞
= ( Δ uϕ,
Δ uψ
) = ⎜ ⋅ Δu,
⋅ Δu
⎟,
⎝ ∂u
∂u
⎠
−−−−
−→
⎛ ∂ϕ
∂ψ
⎞
M 1 M 4 = ( Δ vϕ,
Δ vψ
) = ⎜ ⋅ Δv,
⋅ Δv⎟.
⎝ ∂v
∂v
⎠
Para calcular o produto vectorial destes vectores representamo-los como vectores em
3
R , considerando que as terceiras coordenadas deles são iguais à zero. Então
e
onde
−−−
−−→
M
1
→
→
→
i j k
∂ϕ
∂ψ
−−−−−→
→ → Δu
Δu
∂ϕ
∂ψ
→
M × = Δ Δ = ⋅ + ⋅ + ∂u
∂u
2 M 1M
4 u u 0 0 i 0 j
⋅ k
∂u
∂u
∂ϕ
∂ψ
∂ϕ
∂ψ
Δv
Δv
Δv
Δv
0
∂v
∂v
∂v
∂v
ΔsP
=
−−−
−−→
−−−−−
→
M 1 M 2×
M 1M
4
⎛ ∂ϕ
⎜
= mod⎜
∂u
⎜ ∂ϕ
⎜
⎝ ∂v
∂ψ
⎞
⎟
∂u
⎟ ⋅ ΔuΔv
,
∂ψ
⎟
∂v
⎠
∂ϕ
∂ψ
D(
x,
y)
∂u
J = =
D(
u,
v)
∂ϕ
∂u
é o jacobiano da transformação.
∂ψ
∂v
∂v
⎛ ∂ϕ
∂ψ
⎞
⎜ ⎟
⎛ D(
x,
y)
⎞ ⎛ D(
x,
y)
⎞ ⎜ ∂u
∂u
⎟
Portanto Δs
≈ ΔsP
= ⎜ ⎟ ⋅ Δu
⋅ Δ v = ⎜ ⎟ ⋅ Δ s′
= mod⎜
⎟ ⋅ Δ s′
⎝ D(
u,
v)
⎠ ⎝ D(
u,
v)
⎠ ⎜ ∂ϕ
∂ψ
⎟
⎜ ⎟
⎝ ∂v
∂v
⎠
21

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
e
n
∑
i=
1
n
n
~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~ ⎛ D(
x,
y)
⎞
f ( ξi
, ηi
) ⋅ Δ si
≈ ∑ f ( ϕ(
ui
, vi
), ψ ( ui
, vi
)) ⋅ Δ si
= ∑ f ( ϕ(
ui
, vi
), ψ ( ui
, vi
)) ⋅⎜
⎟ ⋅ Δ s′
,
i=
1
i=
1
⎝ D(
u,
v)
⎠
com u~ i = Φ(
ξi , ηi
), v~
i = Ψ(
ξi
, ηi
) .
Passando para o limite, quando a norma da partição tende para zero, obtemos a fórmula
de mudança de variável num integral duplo
⎛ ϕ′
u
∫∫ f ( x,
y)
ds = ∫∫ f ( x,
y)
dxdy = ∫∫ f ( ϕ( u,
v),
ψ ( u,
v))
mod⎜
⎜
G
G
Γ
⎝ψ
′ u
ϕ′
v ⎞
⎟
du dv . (10.2)
ψ ′ v ⎠
O resultado obtido pode ser formulado como
Teorema 3.2.
a) Sejam G e Γ regiões quadráveis.
b) Seja f ( x,
y)
continua em G , com excepção de um conjunto de pontos de
medida nula.
c) A aplicação (6.2) verifica as condições:
I) a aplicação é biunívoca, isto é, aos pontos distintos ( u , v)
∈ Γ
correspondem pontos distintos ( x, y)
∈ G ;
II)
1
as funções ϕ ( u, v),
ψ ( u,
v)
são de classe C em Γ ;
III)
D(
x,
y)
ϕ′
u
o Jacobiano =
D(
u,
v)
ψ ′
ϕ′
v
é diferente de zero.
ψ ′
Então
⎛ ϕ′
u
∫∫ f ( x,
y)
ds = ∫∫ f ( x,
y)
dxdy = ∫∫ f ( ϕ( u,
v),
ψ ( u,
v))
mod⎜
⎜
⎝ψ
′
G
G
Γ
u
∫∫
Γ
u
v
ϕ′
v ⎞
⎟
du dv =
ψ ′ v ⎠
= ( ϕ ( u,
v),
ψ ( u,
v))
( ϕ′
⋅ψ
′ −ϕ
′ ⋅ψ
′ ) du dv . (11.2)
f u v v u
Nota 6.2.
A fórmula (11.2) é aplicável e nos casos quando a condição I) (a aplicação é
biunívoca) ou a condição III) (o Jacobiano é diferente de zero) não se verificam num
conjunto de pontos de medida zero (por exemplo nos pontos isolados ou sobre algumas
linhas).
Estudaremos dois tipos de mudança de variáveis:
a) mudança de variáveis através de uma transformação linear;
b) mudança para coordenadas polares.
Mudança de variáveis através de uma transformação linear.
As transformações lineares transformam as rectas em rectas e tem-se:
( x , y)
= T ( u,
v)
= ( au + bv,
cu + dv)
≡
⎧x
= au + bv,
⎨
com ( u , v)
∈ Γ e a, b,
c,
d ∈ R .
⎩y
= cu + dv,
f ( x,
y)
ds = f ( x,
y)
dxdy = f ( au + bv,
cu + dv)
ad − bc du dv . (12.2)
∫∫
G
∫∫
G
∫∫
Γ
22

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
D(
u,
v)
ϕ′
′ u ϕv
⎛ D(
x,
y)
⎞
Porque = = ⎜ ⎟ , para assegurar a existência de
D(
x,
y)
ψ ′ ′ u ψ v ⎝ D(
u,
v)
⎠
D(
x,
y)
necessário exigir ≠ 0 , isto é, ad − bc ≠ 0 .
D(
u,
v)
Exemplo 9.2.
Calcular o integral duplo ∫∫( 2x
− y)
dxdy , onde
G
2 { ( x,
y)
∈ R : ( y ≤ 2 − x)
∧ ( y ≤ 2x
−1)
∧ ( y ≥ 1−
x)
∧ ( y ≥ 2 − 3)
}
G =
Resolução.
A região de integração G é representada na figura 15 a).
x .
−1
2
3
1
3
−1
T é
Podemos reduzir o cálculo do integral duplo ao cálculo de três integrais iterados,
fazendo uma partição de G em três regiões do modo representado na figura 15 a). Mas
fazendo a mudança de variáveis
⎧ + =
⎨
⎩ − =
⇔
⎧ +
⎪ =
⎨
2 −
⎪ =
⎩ 3
3
x y u,
2x
y v,
u v
x
u v
y
transformamos as rectas y = 2 − x,
y = 2x
−1,
y = 1−
x,
y = 2x
− 3 , respectivamente,
nas rectas u = 2 , v = 1,
u = 1,
v = 3 e o paralelogramo do plano xOy (figura 15 a)) se
transforma no rectângulo do plano uOv (figura 15 b)).
O jacobiano da transformação é
∂x
D(
x,
y)
J = = ∂u
D(
u,
v)
∂y
∂x
∂v
∂y
1
3
=
1
3
1
= −
3
∂u
∂v
−
e aplicando a fórmula (12.2) obtemos
∫∫
G
2 2
1 1 1 ⎛ v ⎞
( 2x
− y)
dxdy = ∫∫v
⋅ − dudv = ∫∫v
dudv = ∫ du ⎜
⎟
3 3 3
Γ
Γ
1 ⎝ 2 ⎠
3
1
=
23

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
2
2
1 2
3
1
⎛ 9 1 ⎞ 4
⎜ − ⎟du
=
⎝ 2 2 ⎠ 3
= ∫ ∫
1
4
du = u
3
1
=
4
.
3
Mudança para coordenadas polares.
Sabemos que a relação entre as coordenadas cartesianas ( x , y)
e as coordenadas
polares ( ρ , θ ) de um ponto, com o polo na origem do sistema de coordenadas
cartesianas e o semieixo polar orientado na direcção do eixo Ox , é dada por
⎧x
= ρ cosθ
,
⎨
⎩y
= ρ senθ.
Neste caso temos
∂x
∂x
D(
x,
y)
J = = ∂u
D(
u,
v)
∂y
∂v
∂y
cosθ
=
senθ
− ρ senθ
2
2
= ρ(cos
θ + sen θ ) = ρ.
ρ cosθ
∂u
∂v
Portanto
f ( x,
y)
ds = f ( x,
y)
dxdy = f ( ρ cosθ
, ρ senθ
) ρ dρ
dθ
. (13.2)
∫∫
G
∫∫
G
∫∫
Γ
Na representação do integral duplo da fórmula (13.2) por um integral iterado a ordem de
integração é determinada do tipo da região Γ .
Seja
⎧x
= ρ cosθ
,
Γ ≡ ⎨
ρ ∈[
a,
b]
, θ ∈[
α,
β ]
⎩y
= ρ senθ,
Num sistema de coordenadas polares a região Γ diz-se ρ -regular, se o raio
polar, que passa pelo um ponto interior da região, intersecta a fronteira em não mais de
dois pontos (figura 16 a)).
∫∫
G
Neste caso tem-se
∫∫
f ( x,
y)
ds = f ( ρ cosθ
, ρ senθ
) ρ dρ
dθ
= dθ
f ( ρ cosθ
, ρ senθ
) ρ dρ
. (14.2)
Γ
Analogamente, num sistema de coordenadas polares a região Γ diz-se θ -
regular, se a circunferência centrada no polo do sistema de coordenadas polares, que
b
∫
a
g ( θ )
2
∫
g ( θ )
1
24

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
passa pelo um ponto interior da região, intersecta a fronteira em não mais de dois pontos
(figura 16 b)).
Neste caso tem-se
∫∫
G
∫∫
f ( x,
y)
ds = f ( ρ cosθ
, ρ senθ
) ρ dρ
dθ
= ρ dρ
f ( ρ cosθ
, ρ senθ
) dθ
. (15.2)
Γ
Nota 7.2.
A mudança de variáveis para as coordenadas polares é vantajosa para regiões
limitadas por rectas que passam pela origem, por circunferências que passam pela
origem , por circunferências centradas na origem e para funções que envolvem a
2 2
expressão x + y .
Exemplo 10.2.
−x
− y
Calcular o integral duplo e dxdy
∫∫
G
2
2
β
∫
α
h ( ρ )
2
∫
h ( ρ )
1
2 2 2
, onde = { ( x,
y)
∈ R : x + y ≤ 4}
G .
Resolução.
A região de integração G é limitada pela circunferência de raio 2 centrada na
origem. È fácil observar que a função não é integrável em coordenadas cartesianas (o
integral não pode ser representado como combinação linear de um número finito de
funções elementares), porque, evidentemente, temos
∫∫
G
2 2
−x
− y
2
∫
−2
2
−x
2
4+
x
2
− y
e dxdy = e dx e dy .
∫
2
− 4−
x
⎧x
= ρ cosθ
,
Fazemos a mudança para as coordenadas polares ⎨
com o polo na origem
⎩y
= ρ senθ,
do sistema de coordenadas cartesianas e obtemos
2 2
−x
− y
∫∫e
O circulo
G
2 2 2
= { ( x,
y)
∈ R : x + y ≤ 4}
dxdy =
∫∫
Γ
e
2
−ρ
ρdρdθ.
G do sistema de coordenadas cartesianas xOy
(figura 17 a)), com a mudança para as coordenadas polares, se transforma num
2
rectângulo Γ = { ( ρ, θ ) ∈ R : 0 ≤ ρ ≤ 2 ∧ 0 ≤ θ ≤ 2π
} no sistema de coordenadas
cartesianas ρ O θ (figura 17 b)).
Aplicando o teorema de Fubini obtemos
25

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
∫∫
Γ
e
2
−ρ
−
2
2π
2
2
2
−ρ
1
−ρ
2 1
ρ ⋅ dρ
⋅ dθ
= ∫ dθ∫
ρ e dρ
= − ∫ dθ∫
e d(
−ρ
) = −
2
2 ∫ dθ
e
0
0
2π
0
2
0
2π
0
2
2
−ρ
( ) =
2 2π
−4
2π
−4
2
−ρ
1 −4
e −1
e −1
2π
−
( e ) = − ( e −1)
dθ
= − ⋅ dθ
= − ⋅θ
= ( 1−
e ) π.
2π
1 4
∫ d θ
0
2 ∫
2
2
0
0 0
0
= ∫
Exemplo 11.2.
2 2
Calcular o integral duplo ∫∫ ( x + y ) dxdy
G
2 2 2
, onde G { ( x,
y)
∈ R : x + y ≤ 2x}
= .
Resolução.
Porque
2 2
2
2
2
2
2 2
x + y ≤ 2x
⇔ x − 2x
+ y ≤ 0 ⇔ x − 2x
+ 1+
y ≤ 1 ⇔ ( x −1)
+ y ≤ 1 ,
concluímos que a região de integração G é limitada pela circunferência de raio 1
centrada no ponto (1,0) (figura 18 a)). Fazemos a mudança para as coordenadas polares
⎧x
= ρ cosθ
,
⎨
(16.2)
⎩y
= ρ senθ,
com o polo na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Da representação gráfica
π π
da região obtemos que − ≤ θ ≤ . Substituindo as relações (16.2) na equação da
2 2
2 2
2 2
2
2
circunferência x + y = 2x
obtemos ρ (cos θ + sen θ ) = 2ρ
cosθ
⇔ ρ = 2ρ
cosθ
.
Resolvendo a última expressão em relação à ρ obtemos ρ = 0 ou ρ = 2cosθ
.
Concluímos que a região G do plano xOy se transforma em Γ do plano ρ O θ e é
π π
limitada de linhas ρ = 0 , ρ = 2cosθ
com − ≤ θ ≤ (figura 18 b)). O jacobiano da
2 2
D(
x,
y)
transformação é = ρ (chama-se atenção que o jacobiano é nulo na fronteira
D(
ρ,
θ )
ρ = 0 da região Γ , mas o teorema é aplicável) .
Portanto temos:
∫∫
G
( x
2
2
2 2 2 2
3
3
+ y ) dxdy = ∫∫ ( ρ cos θ + ρ sen θ ) ρ dρ
dθ
= ∫∫ ρ dρ
dθ
= ∫ dθ
∫ ρ dρ
=
Γ
Γ
π
2
π
−
2
0
2 cosθ
0
26

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
π
2 4
2
2
2
⎛ ρ ⎞
4
2 2 ⎛ 1+
cos 2θ
⎞
= ∫ d θ ⎜
⎟ = 4 ∫ cos θ dθ
= 4 ∫ ( cos θ ) dθ
= 4 ∫ ⎜ ⎟ dθ
=
π
−
2
π
⎝
4
⎠
2 cosθ
0
π
π
−
2
2
2
2 ⎛ 1+
cos 4θ
⎞
= ∫ ( 1+
2cos
2θ
+ cos 2θ
) d θ = ∫ ⎜1+
2cos
2θ
+ ⎟ dθ
=
=
π
−
2
π
2
∫
π
−
2
π
π
−
2
⎝
π
π
−
2
⎛ 3
1 ⎞ ⎛ 3
1 ⎞ 2 3
⎜ + 2cos
2θ
+ cos 4θ
⎟ d θ = ⎜ θ + sen 2θ
+ sen4θ
⎟ = π .
⎝ 2
2 ⎠ ⎝ 2
8 ⎠ π 2
Neste exemplo os limites de integração no integral iterado ∫ d ∫
2
π
π
−
2
⎝
⎠
π
−
2
2
⎠
2
π
2
π
−
2
2cosθ
3
θ ρ d
podem ser determinados não só analisando a região Γ , mas também analisando a
variação das coordenadas polares na região G . Da figura 18 c) obtemos que para
⎡ π π ⎤
qualquer θ ∈
⎢
− ,
⎣ 2 2 ⎥
a variável ρ varia entre 0 (valor de ρ no polo) e 2 cosθ
⎦
(valor de ρ na circunferência , a equação da qual em coordenadas polares é
⎡ π π ⎤
ρ = 2cosθ
. Portanto os limites de integração no integral iterado são: θ ∈
⎢
− ,
⎣ 2 2 ⎥
,
⎦
ρ ∈ 0,
2cosθ
.
[ ]
Se neste exemplo fazemos a mudança de variáveis para as coordenadas polares
⎧x
−1
= ρ cosθ
,
com o polo no ponto (1,0), isto é, aplicamos a transformação ⎨
, então a
⎩ y = ρ senθ,
Ω = ( ρ, θ ) : 0 ≤ ρ ≤ 1,
∧ 0 ≤ θ ≤ 2π
imagem da circunferência G é o rectângulo { }
(figura 18 d)). Portanto
∫∫
G
( x
2
2
2 2 2
2
+ y ) dxdy = ∫∫[
( 1+
ρ cosθ
) + ρ sen θ ] ρ dρ
dθ
= ∫∫(
1+
2ρ
cosθ
+ ρ ) ρ dρ
dθ
=
Ω
2π
= ∫∫
∫ ∫
Ω
0 0
2π
0
2
3
2
3
( ρ + 2ρ
cosθ
+ ρ ) d ρ dθ
= dθ
( ρ + 2ρ
cosθ
+ ρ ) dρ
=
1
1
2 3
4 2π
⎛ ρ 2ρ
ρ ⎞ ⎛ 3 2 ⎞ ⎛ 3 2 ⎞ 3
d θ ⎜ + cosθ
+
cosθ
⎟ θ = ⎜ θ + θ ⎟ = π
2 3 4 ⎟ = ⎜ + d
sen .
⎝
⎠ 4 3
4 3 2
0 ⎝ ⎠ ⎝
⎠ 0
= ∫
∫
0
Ω
2π
0
ρ
27

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
Exemplo 12.2.
2 2
Calcular o integral duplo x y dxdy
Resolução.
∫∫
G
2
2 2
, onde = { ( x,
y)
∈ R : 1 ≤ x + y ≤ 4}
G .
A região de integração é um anel (figura 19 a)). Fazendo uma partição em
regiões regulares, por exemplo assim como e representado na figura 19 a), reduzimo-lo
ao calculo de uma soma de quatro integrais iterados.
Mas neste exemplo é mais conveniente fazer mudança para as coordenadas polares
utilizando a transformação
⎧x
= ρ cosθ
,
⎨
com 0 ≤ θ ≤ 2π
.
⎩y
= ρ senθ,
Neste caso o anelo G do plano xOy se transforma no rectângulo
Γ = ( ρ, θ ) : 1 ≤ ρ ≤ 2 ∧ 0 ≤ ϕ ≤ 2π
do plano ρ O θ (figura 19 b)). Portanto
∫∫
G
x
{ }
2
y
2
2
2
5
2 2
dxdy = ∫∫(
ρ cosθ
) ( ρ senθ
) ρ dρ
dθ
= ∫ ρ dρ
∫ cos θ ⋅sen
θ dθ
=
Γ
2 2π
2 2 2π
2
2 2π
5 ( 2cosθ
⋅senθ
)
5 sen ( 2θ
)
5 1−
cos( 4θ
)
= ∫ ρ dρ
∫
dθ
= ∫ ρ dρ
∫ dθ
= ∫ ρ dρ
∫ dθ
=
4
4
8
1
0
2
1
2π
5 1−
cos( 4θ
)
5 ⎛ 1 1
= ∫ ρ d ρ ∫ dθ
= ∫ ρ dρ⎜
θ −
8
⎝ 8 32
2
0
6 ⎛ ρ ⎞ ⎛ 1 1 ⎞
= ⎜ ⋅ ⎜ θ − ( 4θ
) ⎟
6 ⎟
sen
⎝ ⎠ ⎝ 8 32 ⎠
1
1
2
1
2π
0
0
2
1
2π
0
1
⎞
sen(
4θ
) ⎟
⎠
2π
6 ⎛ 2 1 ⎞ π 63 π 21
= ⎜ − ⋅ = ⋅ = π .
6 6 ⎟
⎝ ⎠ 4 6 4 8
0
0
=
28

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
5.2. As aplicações dos integrais duplos.
Aplicações geométricas.
A área duma região plana.
isto é,
Se na fórmula (1.1) consideramos que ∀( x , y)
∈ G f ( x,
y)
= 1,
então obtemos
O volume de um sólido.
⎛ ⎞
ds lim Δ si
⎟ = SG
,
⎠
n
∫∫ = ⎜∑
Δ →0
G ⎝ i=
1
∫∫ ds = ∫∫
S = dxdy (17.2).
G
G
G
Se ∀( x , y)
∈ G f ( x,
y)
≥ 0 então os termos f ( ξ i , ηi
) ⋅ Δ si
representam,
geometricamente, o volume do sólido limitado inferiormente pela região i s Δ ,
superiormente pela sua imagem no plano z = f ( ξi
, ηi
) e lateralmente pela superfície
cilíndrica de geratriz paralela ao eixo Oz cuja directriz é a fronteira de i s Δ . Passando
para o limite obtemos o volume do sólido limitado inferiormente pela região G ,
superiormente pela imagem de G e lateralmente pela superfície cilíndrica de geratriz
paralela ao eixo Oz cuja directriz é a fronteira de G .
Portanto
V = f ( x,
y)
ds = f ( x,
y)
dxdy .
G
∫∫
G
Se o sólido é limitado superiormente pela superfície z = ψ 1(
x,
y)
, inferiormente
pela superfície z = ψ 2 ( x,
y)
, com ψ 1(
x, y)
≥ ψ 2 ( x,
y)
, e as projecções destas superfícies
coincidem com a região G (figura 20), então
V = ψ x,
y)
−ψ
( x,
y)
ds = ψ ( x,
y)
−ψ
( x,
y)
dxdy .
G
∫∫
G
( ) ( )
∫∫
G
∫∫
1(
2
1
2
G
29

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
A área duma superfície em
em
3
R .
Os integrais duplos podem ser aplicados para calcular as áreas das superfícies
3
S =
3
( x,
y,
z)
∈ R : z = f ( x,
y)
∧ G ⊆ D uma superfície e
R . Seja { }
1
f ( x,
y)
∈ C ( G)
. Fazemos uma partição de G em regiões disjuntas n G G G Δ Δ Δ , , , 1 2 K
e em cada região i G Δ fixamos um ponto arbitrário ) , ( M i ξ i ηi
(figura 21 a)). No ponto
N i ( ξ i , ηi
, f ( ξi
, ηi
)) traçamos um plano tangente à superfície. Sabe-se que a equação
deste plano é
z − f ( ξ i , ηi
) = f ′ x ( ξi
, ηi
)( x − ξi
) + f ′ y ( ξi
, ηi
)( y −η
i ) (18.2)
→
e o vector normal, n i
, ao plano é o gradiente da função F( x,
y)
= z − f ( x,
y)
calculado
→
no ponto ( ξ i , ηi
, f ( ξi
, ηi
)) , isto é, n i = ( − f ′ x ( ξ i , ηi
), − f ′ y ( ξi
, ηi
), 1)
.
No plano traçado pelo ponto N i ( ξ i , ηi
, f ( ξi
, ηi
)) evidenciamos a região i S Δ que
se projecta sobre i G Δ (figura 21 b)).
Consideramos a soma das áreas:
n
∑ =
i 1
ΔS
.
O limite desta soma quando Δ = max( ΔSi
) tende para zero (se este limite existe), diz-
se a área da superfície S , isto é,
S
i
n
⎛ ⎞
lim ⎜ ΔSi
⎟ . (19.2)
Δ →0⎝
i 1 ⎠
= ∑ =
f
30

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
→
Denotamos por γ i o ângulo entre o vector n i e o eixo O z . Este ângulo é igual
ao ângulo entre o plano tangente traçado em N i ( ξ i , ηi
, f ( ξi
, ηi
)) e o plano xOy (figura
21 b)) e portanto Δ Gi = ΔSi
cosγ
i ( i S Δ se projecta sobre i G
ΔGi
Δ ) ou Δ Si
= .
cosγ
→
Por outro lado, conhecendo as coordenadas de n i , obtemos
2
cosγ
i =
1+
1
f ′ ( ξ , η ) + f ′ ( ξ , η )
e portanto
Substituindo em (19.2) obtemos
S
i
[ ] [ ] 2
x
i
i
2
2
[ f ′ x ( i , ηi
) ] + [ f ′ y ( ξi
, i ) ] ⋅ Gi
ΔS
= 1+ ξ η Δ .
n
⎛
⎞
lim ⎜ 1+
ξ η .
Δ →0⎝
i 1
= ∑ =
2
2
[ f ′ ] [ ′
x ( i , ηi
) + f y ( ξi
, i ) ] ⋅ ΔGi
⎟
⎠
A parte direita da relação obtida é o limite da soma integral da função
na região G e portanto
S =
∫∫
G
[ ] [ ] 2
2
′ ( x,
y)
+ f ′ ( x,
)
1+ y
f x
y
2
2
[ f ′ ( x,
y)
] + [ f ′ ( x,
y)
] dxdy
1 +
. (20.2)
x
Nota 8.2.
Se a superfície é dada na forma x = g(
y,
z)
e G é a projecção dela sobre o
plano yOz , então
S =
∫∫
G
2
2
[ g′
( y,
z)
] + [ g′
( y,
z)
] dydz
y
y
1 +
. (21.2)
Analogamente, se a superfície é dada na forma y = h(
x,
z)
e G é a projecção
dela sobre o plano xOz , então
S =
∫∫
Aplicações na física.
G
2
2
[ h′
( x,
z)
] + [ h′
( x,
z)
] dxdz
x
z
z
1 +
. (22.2)
Seja l uma lâmina com espessura desprezável que tem a forma duma região
plana G do plano xOy e cuja densidade superficial é ρ ( x,
y)
.
a) A massa da lâmina .
m
= ρ ( x,
y)
dxdy .
G ∫∫
G
y
i
i
i
31

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
b) Os momentos estáticos da lâmina .
O momento estático em relação ao eixo Ox :
∫∫
M = yρ
( x,
y)
dxdy .
O momento estático em relação ao eixo Oy :
x
G
∫∫
M = xρ
( x,
y)
dxdy .
c) As coordenadas do centro de massa da lâmina .
A abcissa do centro de massa:
x
c
M
=
m
y
G
1
=
m
A ordenada do centro de massa:
y
c
M
=
m
x
G
G
1
=
m
d) Os momentos de inércia da lâmina .
G
y
∫∫
G
∫∫
G
G
∫∫
G
xρ
( x,
y)
dxdy =
.
ρ(
x,
y)
dxdy
∫∫
G
∫∫
∫∫
xρ(
x,
y)
dxdy
G
yρ
( x,
y)
dxdy =
.
ρ(
x,
y)
dxdy
O momento de inércia em relação ao eixo Ox :
I = y ( x,
y)
dxdy
O momento de inércia em relação ao eixo Oy :
x
∫∫
G
∫∫
G
2 ρ .
I = x ( x,
y)
dxdy
y
G
2 ρ .
yρ(
x,
y)
dxdy
O momento de inércia em relação à origem do sistema de coordenadas (o momento de
inércia polar ):
2 2
I = I + I = ( x y ) ρ ( x,
y)
dxdy .
Exemplo 13.2.
O
x
y
∫∫ +
G
Calcular a área da região
G =
2
( x,
y)
∈ R :
2 2
2 2
( x + y ≥ 2x)
∧ ( x + y ≤ 4x)
∧ ( y ≤ x)
∧ ( y ≥ 0)
.
Resolução.
{ }
Para calcular a área da região G aplicaremos a fórmula S G = ∫∫ ds = ∫∫dxdy
.
G
G
32

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
Antes de representar graficamente a região G transformamos as primeiras duas linhas
que determinam a fronteira da região:
2 2
2
2
2 2
x + y = 2x
⇔ x − 2x
+ 1+
y = 1 ⇔ ( x −1)
+ y = 1.
(circunferência centrada no
ponto (1,0)).
2 2
2
2
2 2
x + y = 4x
⇔ x − 4x
+ 4 + y = 4 ⇔ ( x − 2)
+ y = 4 . (circunferência centrada no
ponto (2,0)).
Portanto
2 2
2 2
x + y ≥ 2x
⇔ ( x −1)
+ y ≥ 1.
2 2
x + y ≤ 4x
⇔
2 2
( x − 2)
+ y ≤ 4 .
A representação gráfica da região é dada na figura 22.
Fazendo a mudança para as coordenadas polares obtemos:
x
2
2
2
2
2
+ y = 2x
⇒ ( ρ cosθ
) + ( ρ senθ
) = 2ρ
cosθ
⇒ ρ = 2ρ
cosθ
⇒
⇒ ρ = 0 ∨ ρ = 2cosθ
;
2 2
2
2
2
x + y = 4x
⇒ ( ρ cosθ
) + ( ρ senθ
) = 4ρ
cosθ
⇒ ρ = 4ρ
cosθ
⇒
⇒ ρ = 0 ∨ ρ = 4cosθ
;
π
A região G é ρ -regular e é limitada pelos raios polares θ = 0 e θ = . Portanto
4
S
G
π
π
4 cosθ
4 4 cosθ
4 2
4
2
2
⎛ ρ ⎞ ⎛16
cos θ 4cos
θ ⎞
= ∫∫ds
= ∫∫ dxdy = ∫ dθ
∫ ρ dρ
= ∫ dθ
⎜
⎟ = ∫ ⎜ − ⎟
⎟dθ
=
0 2 cos 0 ⎝ 2 ⎠
0 ⎝ 2 2
G G
θ
⎠
π
2 cosθ
4
4
4
1
1
4
2
⎛ ⎞ ⎛ π 1 ⎞
= 6∫
cos θ dθ
= 6∫
( 1+
cos 2θ
) dθ
= 3 ( 1+
cos 2 ) = 3⎜
+ 2 ⎟ = 3⎜
+ ⎟.
2
∫ θ dθ
θ sen θ
⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 2 ⎠
0
π
0
Exemplo 14.2. Calcular a área da região G limitada pela linha
4
⎪⎧
⎪⎫
2 ⎛ x y ⎞
L = ⎨(
x,
y)
∈ R : ⎜ + ⎟ = 4xy⎬
.
⎪⎩
⎝ 2 4 ⎠ ⎪⎭
π
0
π
π
0
33

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
Resolução.
Porque a parte esquerda da equação da linha é não negativa para quaisquer
valores de x e y , resulta que e a parte direita é positiva e portanto x e y têm os
mesmos sinais. Portanto a região está situada no primeiro e terceiro quadrantes e é
simétrica em relação a origem do sistema. Efectivamente, se o ponto M ( x,
y)
verifica
4
⎛ x y ⎞
a relação ⎜ + ⎟ = 4xy
, então e o ponto M ′ ( −x,
−y)
também o verifica, isto é, o
⎝ 2 4 ⎠
ponto M ′ ( −x,
−y)
, o simétrico de M ( x,
y)
, pertence à linha L . Portanto a região G é
composta por duas partes, G = G1
U G2
, simétricas em relação à origem do sistema de
coordenadas (figura 23).
Calculemos a área S 1 da região G 1 situada no primeiro quadrante. Neste caso é
mais conveniente passar para as coordenadas polares generalizadas, fazendo a
mudança de variáveis:
β α
⎧x
− x0
= aρ
cos θ,
⎨
β α
⎩ y − y0
= bρ
sen θ,
onde x y , a,
b,
α, β são números convenientes, dependentes do caso analisado. O
0 , 0
2β
1 α 1 α 1
jacobiano desta transformação é α β ρ θ cos θ
−
−
−
J = a ⋅ b ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ sen ⋅ .
No nosso caso temos a = 2 , b = 4 e consideremos x 0 = y0
= 0,
α = 2,
β = 1.
Então
J = 16 ⋅ ρ ⋅ senθ
⋅ cosθ
e a linha é dada por
34

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
4
⎪⎧
2 ⎛ x y ⎞ ⎪⎫
2 4
2 2 2
L = ⎨(
x,
y)
∈ R : ⎜ + ⎟ = 4xy⎬
= { ( ρ,
θ ) ∈ R : ρ = 32 ⋅ ρ ⋅ cos θ ⋅ sen θ}
.
⎪⎩
⎝ 2 4 ⎠ ⎪⎭
4
2 2 2
De ρ = 32⋅ ρ ⋅cos
θ ⋅ sen θ obtemos ρ = 0 ∨ ρ = 4 2 ⋅ sen θ ⋅ cosθ
com
π
0 ≤ θ ≤ ( G 1 está no primeiro quadrante) e portanto a região Γ 1 do plano ρ O θ é
2
π
limitada de linhas ρ = 0 , ρ = 4 2 ⋅ sen θ ⋅ cosθ
com 0 ≤ θ ≤ (figura 24 b)).
2
Na figura 24 a) é dada a representação gráfica em coordenadas polares da linha
Portanto
S
1
⎧
2
π ⎫
L = ⎨(
ρ, θ ) ∈ R : ρ = 4 2 ⋅ senθ
⋅ cosθ
, 0 ≤ θ ≤ ⎬ .
⎩
2 ⎭
= ∫∫16ρ
⋅ senθ
⋅ cosθ
dρ
dθ
= 16∫
senθ
⋅ cosθ
dθ
∫
π
2
Γ
π
2
0
4 2senθ
⋅cosθ
4 2senθ
⋅cosθ
0
ρdρ
=
2
2
2
⎛ ρ ⎞
2 3 3
2 3 2
senθ
⋅ cosθ
dθ
⎜
⎟ = 16 ∫ sen θ ⋅ cos θ dθ
= 16 sen θ ⋅ cos θ d(
senθ
) =
⎝ 2 ⎠
0
0
= 16∫
∫
0
π
2
2
= 16 ∫
∫
0
0
3
2
2 3
5
sen θ ⋅ ( 1−
sen θ ) d(
senθ
) = 16 ( sen θ − sen θ ) d(
senθ
) =
4
6
2⎛
sen θ sen θ ⎞
= 16 ⎜ −
4 6 ⎟
⎝
⎠
128
Então SG = 2S1 = .
3
π
2
0
π
2
2 ⎛ 1 1 ⎞
= 16 ⎜ − ⎟ =
⎝ 4 6 ⎠
0
π
64
3
.
π
35

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
2 2
Exemplo 15.2. Calcular a área da superfície cilíndrica x + y = 2x
incluída na esfera
2 2 2
x + y + z = 4 .
Resolução.
A superfície mencionada é (figura 25 a))
G =
3
( x,
y,
z)
∈ R :
2 2
2 2 2
x + y = 2x
∧ x + y + z ≤ 4 .
{ }
A superfície é simétrica em relação aos planos xOy e xOz . Portanto é suficiente
calcular um quarto da área dela. Observamos que a superfície é perpendicular ao plano
xOy e portanto a projecção dela é uma linha, isto é, a área da projecção é nula.
Determinamos a projecção da superfície sobre o plano xOz . Substituindo
2 2
x + y = 2x
na equação da esfera obtemos
2
2 z
2x
+ z = 4 ou x = 2 − ,
2
isto é, a projecção sobre o plano xOz é limitada pelo eixo Oz e a parábola
(figura 25 b)). Na base da simetria consideremos só a projecção
2
+ ⎧
z
⎫
PxOz = ⎨(
x,
z)
∈ xOz : x = 2 − , x ≥ 0,
y ≥ 0⎬
.
⎩
2
⎭
x = 2 −
Da equação da superfície cilíndrica obtemos y( x,
z)
= ± x(
2 − x)
e levando
em conta que calculamos um quarto da área tomamos y( x,
z)
= x(
2 − x)
.
Então
∂y
2 − 2x
∂y
=
e = 0 .
∂x
2 x(
2 − x)
∂z
Utilizando a fórmula (22.2) obtemos:
S
2
2
( 2 − 2x)
( 1−
x)
= 4∫∫
1+
dxdz = 4 +
=
− ∫∫ 1 dxdz 4
2
2
− ∫∫
+ 4(
2x
x )
+ 2x
x
+
xOz
xOz
xOz
2
2x
− x + 1−
2x
+ x
2x
− x
G 2
P
P
P
2
2
z
2
dxdz =
36

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
= 4
∫∫ +
P
xOz
1
2x
− x
2
dxdz = 4
2
∫
0
dx
2x
− x
2
dx
2(
2−x
)
∫
0
dz = 4
2
∫
0
dx
2x
− x
2
dx ⋅
2(
2−x
)
( z)
=
2
2
2
( 2(
2 − x)
) dx 2
⎛ 1 ⎞
= 4∫
= 4∫
dx = ( integral impróprio)
= 4 2 ⋅ lim⎜
⎟
⎜∫
dx
⎟
=
2
→
x − x x
ε 0
0 2
0
⎝ ε x ⎠
= 4
⎛
2 ⋅ lim⎜
ε 0⎜
⎝
2
2
( 2 x ) = 4 2 ⋅ lim(
2 2 − 2 ) = 16
1
− ⎞
2 x dx⎟
⎟
= 4 2 ⋅ lim
.
ε →0
ε
ε →0
⎠
→ ∫ ε
ε
Exemplo 16.2. Calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies
2 2
x + y
Resolução.
2 2 2
= 4z
e x + y + z = 12 (o volume do interior do parabolóide).
O sólido é simétrico em relação aos planos xO z e yO z (figura 26 a)). Portanto
é suficiente calcular um quarto do volume dele e então
V ∫∫
G
x y
x y ⎟ dxdy ⎟
⎛
= 4 ⎜
⎝
2 2
2 2 + ⎞
12 − − −
,
4 ⎠
onde G é a projecção das superfícies no primeiro quadrante do plano xO y .
Determinemos a projecção eliminando a variável z das equações das superfícies:
2 2
x + y = 4z
⇒
2 2
x + y
2 2 2
z = e substituindo em x + y + z
4
= 12 obtemos
2
2 2 2
2 2
2 2
( x + y ) + 16(
x + y ) −192
= 0 ⇒ x + = 8
2 2
2 2 ⎛ x + y ⎞
x + y + ⎜
4 ⎟
⎝ ⎠
= 12 ⇒
y .
A projecção das superfícies sobre o plano xO y é representada na figura 26 b).
2 2
A região G é limitada pelos eixos Ox , Oy e a circunferência x + y = 8 de raio
⎧x
= ρ cosθ ,
⎡ π ⎤
2 2 . Passando para as coordenadas polares ⎨
ρ ∈ [ 0,
2 2]
, θ ∈
⎢
0,
⎥
, a
⎩y
= ρ senθ,
⎣ 2 ⎦
região G se transforma em Q (figura 26 c)) e obtemos:
0
37

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
2 2
⎛ 2 2 x + y ⎞
V = 4∫∫
⎜ 12 − x − y − ⎟ dxdy =
G ⎝
4 ⎠
4
2
2
⎛ 2
2 ( ρ cosθ
) + ( ρ senθ
) ⎞
⎜ 12 − ( ρ cosθ
) − ( ρ senθ
) −
⎟ ρ dρ
d
⎝
4 ⎠
= ∫∫ θ
Q
2
2 2 2
⎛
2 ρ ⎞
⎛
= 4 ∫∫ ⎜ 12 − ρ − ⎟ ρ dρ
dθ
= 4∫
dθ
⋅ ∫ ⎜ ρ ⋅
Q ⎝
4 ⎠
0 0 ⎝
π
3
2 ρ ⎞
12 − ρ − ⎟ dρ
=
4 ⎠
⎛
ρ ⎞ ⎛
⎞
⎜
ρ
= θ ⋅
= ⋅ − − ⎟
∫ ⎜ ρ ⋅ − ρ − ⎟ ρ π
=
⎝
⎠
⎜ ∫ ρ ρ ρ ∫ ρ
⎟
⎝
⎠
π 2 2
3
2 2
2 2 3
2
2
4 ( ) 2 12
d 2 12 d d
0 4
4
0
0
0
⎛ 2 2
2 2 ⎞ ⎡
⎢
⎛
⎜ ⎛ 1 ⎞
2
2 1 3 ⎟ 1
2
2π
⋅ − − −
= − ⎜
⎢ ⎜
−
⎜ ∫ ⎜−
⎟ 12 ρ d(
12 ρ ) ρ dρ
2π
( 12 ρ )
⎟
⎝ 0 ⎝ 2 ⎠
4 0 ⎠ ⎣
⎝ 3
= ∫
=
3
2
⎞
⎟
⎠
2
0
2
4
1 ⎛ ρ ⎞
− ⎜
⎟
4 ⎝ 4 ⎠
3
3
4
⎡ 1
1 1 ( 2 2)
⎤
2
8
48 3 40
2
2
⎡
⎤ −
= 2π
⎢−
⋅ ( 12 − ( 2 2)
) + ⋅ ( 12)
− ⋅ ⎥ = 2π
8 3 4 = ⋅π
.
3
3 4 4 ⎢
− + −
3 ⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦ 3
Exemplo 17.2. Calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies
2
z = 4 − y ,
2
x
y = e z = 0 .
2
Resolução.
2
As equações z = 4 − y ,
2
x
3
y = determinam em R superfícies cilíndricas
2
com as geratrizes paralelas, respectivamente, aos eixos Ox e Oz (figura 27 a)). O
sólido é simétrico em relação ao plano yO z e portanto é suficiente calcular o volume
da metade dele. Então
V ( y )dxdy
= 2 4
2
,
∫∫ −
onde G é a projecção da metade do sólido sobre o plano xOy (figura 27 b)).
G
38
2
0
2
⎤
⎥ =
⎥
⎦

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
Considerando a região G regular segundo o eixo Oy obtemos os limites de
2
x
integração no integral iterado: 0 ≤ x ≤ 2 e ≤ y ≤ 2 . Portanto
2
V
2 2
2
3
2
2 ⎛ y ⎞
= 2∫∫(
4 − y ) dxdy = 2∫
dx ∫ ( 4 − y ) dy = 2∫
dx ⎜
⎜4
y − ⎟ =
G
0
2
x
2
2
6
⎛ 8 2 x ⎞ ⎛16
2 3 1 7 ⎞ 128 256
= 2∫
⎜
⎜8
− − 2x
+ = 2⎜
− + ⎟ = 2 ⋅ =
3 24 ⎟
⎟dx
x x x
.
3 3 168 21 21
0 ⎝
⎠ ⎝
⎠ 0
Exemplo 18.2. Determinar os momentos de inércia da lâmina com espessura
x
desprezável limitada pelas linhas xy = 1,
xy = 2,
y = 2x,
y = do plano xOy e
2
cuja densidade superficial é constante ( ρ ( x , y)
= c ).
Resolução.
Porque
Na figura 28 é dada a representação gráfica da lâmina.
no nosso caso temos
∫∫
I = y ( x,
y)
dxdy
x
I
G
x
2
ρ e y = ∫∫
G
= c ⋅
∫∫
G
y
2
dxdy
0
⎝
2
3
⎠
2
2
x
2
I x ( x,
y)
dxdy
G
2 ρ ,
2
e I y = c ⋅∫∫
x dxdy .
Fazemos a mudança para coordenadas polares x = ρ cos ϕ,
y = ρ senϕ
. Então
1
a variável ϕ varia entre ϕ 1 = arctg e ϕ 2 = arctg2
(os ângulos entre o eixo Ox e as
2
rectas
x
y = ,
2
y = 2x
). Para qualquer ϕ ∈ [ ϕ1,ϕ
2 ] a variável ρ varia entre
39

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
1
ρ1(
ϕ)
=
senϕ
⋅ cosϕ
(o valor de ρ sobre a linha xy = 1 cuja equação em
coordenadas polares no primeiro quadrante é
2
ρ 2 ( ϕ)
=
senϕ
⋅ cosϕ
1
ρ(
ϕ)
=
senϕ
⋅ cosϕ
) e
(o valor de ρ sobre a linha xy = 2 cuja equação em
2
coordenadas polares no primeiro quadrante é ρ(
ϕ)
= ).
senϕ
⋅ cosϕ
Portanto
I
x
= c ⋅
ϕ
∫∫
G
2
y dxdy = c ⋅
ϕ
∫
ϕ
2
1
2
sen ϕ dϕ
ρ ( ϕ )
2
∫
ρ ( ϕ )
1
3
ρ dρ
= c ⋅
ϕ
∫
ϕ
2
1
4
2 ⎛ ρ ⎞
sen ϕ dϕ
⎜
⎟
⎝ 4 ⎠
2
senϕ⋅cosϕ
1
senϕ⋅cosϕ
2
2
c 2 ⎛ 4
1 ⎞ c 3
2
= ⋅ ∫ sen ϕ dϕ⎜
−
⎟ = ⋅
=
2 2
2 2
⎝ ⋅
⋅ ∫
sen ϕ dϕ
2 2
4
cos
cos ⎠ 4
ϕ sen ϕ ϕ sen ϕ ϕ
ϕ sen ϕ ⋅ cos ϕ
1
ϕ
2
3 1 3
2 3 ⎛
1 ⎞
= c ⋅ ∫ dϕ
= c ⋅
⎜
)
2
1
⎟
4 cos ϕ 4
arctg 4 ⎝
2 ⎠
ϕ
1
3 ⎛ 1 ⎞ 9
= c ⋅⎜
2 − ⎟ = ⋅ c .
4 ⎝ 2 ⎠ 8
Analogamente,
I
y
= c ⋅
ϕ
∫∫
G
2
x dxdy = c ⋅
ϕ
∫
ϕ
2
1
arctg
( tgϕ)
= c ⋅ tg(
arctg2)
− tg(
arctg =
2
cos ϕ dϕ
2
ρ ( ϕ )
2
∫
ρ ( ϕ )
1
3
ρ dρ
= c ⋅
ϕ
∫
ϕ
2
1
cos
2
ϕ
1
4 ⎛ ρ ⎞
ϕ dϕ
⎜
⎟
⎝ 4 ⎠
2
=
senϕ⋅cos
ϕ
1
senϕ⋅cos
ϕ
2
2
c 2 ⎛ 4
1 ⎞ c 3
2
= ⋅ ∫ cos ϕ dϕ⎜
−
⎟ = ⋅
=
2 2
2 2
⎝ ⋅
⋅ ∫
cos ϕ dϕ
2 2
4
cos
cos ⎠ 4
ϕ sen ϕ ϕ sen ϕ ϕ ϕ sen ϕ ⋅ cos ϕ
1
ϕ
2
3 1 3
= c ⋅ ∫ dϕ
= c ⋅
2
4 sen ϕ 4
ϕ
1
3
⎛
−
⎝
1 ⎞
ϕ ⎠
arctg 2
( − ctgϕ)
= c ⋅ ⎜ ⎟ =
1
arctg 4 tg
2
ϕ
1
arctg 2
1
arctg
2
⎛
⎞
3
⎜
⎟
c ⎜
1 1
⎟
3 ⎛ 1 ⎞ 9
= − ⋅
−
= − c ⋅⎜
− 2⎟
= ⋅ c .
4 ⎜ tg(
arctg2)
1
tg arctg
⎟ 4 ⎝ 2 ⎠ 8
⎜
( ) ⎟
⎝
2 ⎠
=
40

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
6.2 Exemplos.
Exemplo 19.2.
∫∫
G
Escreva pelas duas possíveis ordens de integração o integral duplo
f ( x,
y)
dxdy onde a região G é limitada pelas linhas y = 2 x,
y = 3x,
x = 4 .
Resolução.
A representação gráfica da região G
é dada na figura 29. Ela é regular segundo os
eixos de coordenadas.
Escrevemos o integral duplo pela
ordem dxdy . Qualquer recta paralela ao eixo
Ox que passa por um ponto interior da
região intersecta a fronteira em dois pontos.
O ponto de entrada na região pertence ao
y
semento OA da recta x = e portanto o
y
limite inferior do integral interior é . O
3
ponto de saída da região pertence à linha
seccionalmente regular OBA = OB U BA e
portanto o integral duplo pode ser
representado como soma de dois integrais iterados. O ponto B de intersecção dos
segmentos OB e BA tem as coordenadas (4,8) e o ponto A de intersecção dos
segmentos OA e BA tem as coordenadas (12,8). Para y ∈[
0,
8]
o ponto de saída
y
pertence ao segmento OB e então o limite superior do integral interior é x = . Para
2
y ∈[
8,
12]
o ponto de saída pertence ao segmento BA e então o limite superior do
integral interior é x = 4 . Portanto
∫∫
G
8
∫
y
2
∫
f ( x,
y)
dxdy = dy f ( x,
y)
dx + dy f ( x,
y)
dx .
0
y
3
Escrevemos o integral duplo pela ordem dydx . Qualquer recta paralela ao eixo
Oy que passa por um ponto interior da região intersecta a fronteira em dois pontos. O
ponto de entrada na região pertence ao semento OB da recta y = 2x
e portanto o limite
inferior do integral interior é y = 2x
. O ponto de saída da região pertence ao semento
OA da recta y = 3x
e portanto o limite superior do integral interior é y = 2x
. Neste
caso a variável x varia entre 4 e 8. Portanto
∫∫
G
4
∫
3x
f ( x,
y)
dxdy = dx f ( x,
y)
dy .
0
∫
2x
12
∫
8
4
∫
y
3
3
41

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
Exemplo 20.2.
∫∫
G
Escreva pelas duas possíveis ordens de integração o integral duplo
f ( x,
y)
dxdy onde a região G é o quadrilátero com os vértices A (−2,
3),
B ( 0,
6),
C(
3 − 3),
D(
0,
−3)
.
Resolução.
y − 3 x − ( −2)
3
A ( −2, 3),
B(
0,
6)
⇒ = ⇒ y = x + 6,
6 − 3 0 − ( −2)
2
y − 6 x − 0
B ( 0,
6),
C(
3,
−3) ⇒ = ⇒ y = −3x
+ 6 ,
− 3 − 6 3 − 0
A região G é
representada graficamente na
figura 30. Determinemos as
equações das linhas aos quais
pertencem os lados do
quadrilátero ABCD . Porque
as ordenadas dos pontos
C e D são iguais,
concluímos que o lado DC
pertence à recta y = −3
. A
equação da linha que passa
por dois pontos
2
( x , y ), ( x , y ) ∈ R é
0
0
y − y0
=
y1
− y0
obtemos:
1
x
1
1
x − x
0
− x
0
e portanto
y − 3 x − ( −2)
A ( −2, 3),
D(
0,
−3),
⇒ = ⇒ y = −3x
− 3.
− 3 − 3 0 − ( −2)
A representação gráfica da região G é dada na figura 30. Ela é regular segundo
os eixos de coordenadas.
Escrevemos o integral duplo pela ordem dxdy . Neste caso y ∈[
− 3,
6]
.
Qualquer recta paralela ao eixo Ox que passa por um ponto interior da região
intersecta a fronteira em dois pontos. O ponto de entrada na região pertence à linha
seccionalmente regular DAB = DA U AB e portanto o integral duplo pode ser
representado como soma de dois integrais iterados. Se o ponto de entrada pertence ao
1 1
segmento DA , então y ∈ [ − 3,
3]
e x varia entre x = − y −1
e x = − y + 2 . Se o
3
3
2
ponto de entrada pertence ao segmento AB , então y ∈[
3,
6]
e x varia entre x = y − 4
3
1
e x = − y + 2 . Portanto
3
42

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
∫∫
G
3
∫
−3
1
− y+
2
3
∫
1
− y−1
3
∫
1
− y+
2
3
f ( x,
y)
dxdy = dy f ( x,
y)
dx + dy f ( x,
y)
dx .
Escrevemos o integral duplo pela ordem dydx . Qualquer recta paralela ao eixo
Oy que passa por um ponto interior da região intersecta a fronteira em dois pontos.
Neste caso x ∈[
− 2,
3]
e as linhas que limitam a fronteira de baixo e de cima são
seccionalmente regulares. Da representação gráfica da região concluímos que para
x ∈[
− 2,
0]
o ponto de entrada na região pertence ao semento DA da recta y = −3x
− 3
e portanto o limite inferior do integral interior é y = −3x
− 3.
O ponto de saída da região
3
pertence ao semento AB da recta y = x + 6 e portanto o limite superior do integral
2
3
interior é y = x + 6 . Analogamente, para x ∈[
0,
3]
o ponto de entrada na região
2
pertence ao semento DC da recta y = −3
e portanto o limite inferior do integral
interior é y = −3
. O ponto de saída da região pertence ao semento CB da recta
y = −3
x + 6 e então o limite superior do integral interior é y = −3
x + 6 .
Portanto
Exemplo 21.2.
Resolução.
∫∫
G
0
∫
−2
3
x+
6
2
∫
−3x−3
6
3
∫
∫
2
y−4
3
−3x
+ 6
f ( x,
y)
dxdy = dx f ( x,
y)
dy + dx f ( x,
y)
dy .
Inverter a ordem de integração no integral iterado ∫ dx ∫ f ( x,
y)
dy .
3
0
∫
−3
e
2
e
2 ln
x
ln x
Para inverter a ordem
de integração representamos
graficamente a região de
integração. Do integral iterado
2
dado obtemos que x ∈ [ e,e
] e
y ∈ [ ln x,
2 ⋅ ln x]
. A região de
integração é representada na
figura 31 , é regular segundo
o eixo Ox e a variável y varia
entre 1 (a ordenada do ponto
de intersecção da recta x = e
com a linha y = ln x ) e 4 (a
2
ordenada do ponto de intersecção da recta x = e com a linha y = 2 ⋅ ln x ). A fronteira
do lado esquerdo da região é uma linha seccionalmente regular e é a reunião do
segmento AB (da recta x = e ) com o arco BC (da linha y = 2 ⋅ ln x ). A fronteira do
lado direito da região é uma linha seccionalmente regular e é a reunião do arco AD (da
43

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
linha y = ln x ) com o segmento DC (da recta
2
x = e ). As ordenadas dos pontos B e
D são iguais, yB = 2ln
e = 2,
2
yD
= ln e = 2 . Porque o primeiro integral para
calcular é em ordem à variável x , representemos x como função de y :
y
2
y = 2 ⋅ ln x ⇒ x = e ;
y
= ln x ⇒ x e .
y =
Portanto
e
2
∫
e
2 ln
Exemplo 22.2.
∫
x
∫∫
∫
dx f ( x,
y)
dy = f ( x,
y)
dxdy = dy f ( x,
y)
dx + dy f ( x,
y)
dx .
ln x
G
Inverter a ordem de integração no integral iterado ∫ dx ∫ f ( x,
y)
dy .
Resolução.
Para inverter a ordem de integração representamos graficamente a região de
⎡ 1⎤
2
integração. Do integral iterado dado obtemos que x ∈
⎢
0,
⎣ 2⎥
e y ∈ [ 1−
x , 2 − x]
.
⎦
Portanto
⎧
2 1
2
⎫
G = ⎨(
x,
y)
∈ R : 0 ≤ x ≤ ∧ 1−
x ≤ y ≤ 2 − x⎬
.
⎩
2
⎭
2
1
e
y
∫
e
1
2
0
4
∫
2
2 −x
2
1−x
e
e
2
∫
y
2
44

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
A região de integração é representada na figura 32 , é regular segundo o eixo
3
Ox e a variável y varia entre (a ordenada do ponto de intersecção da recta
2
com a semicircunferência
y 1− x
1
x =
2
2
= ) e 2 (a ordenada do ponto de intersecção da
recta x = 0 com a recta y = 2 − x ). A fronteira do lado esquerdo da região é uma
linha seccionalmente regular e é a reunião do segmento AB (da recta x = 0 ) com o
arco BCD (da semicircunferência
y 1− x
2
= ). A fronteira do lado direito da região é
uma linha seccionalmente regular e é a reunião do segmento AC 1 (da recta y = 2 − x )
1
com o segmento C1 D (da recta x = ). Fazendo a partição de G em regiões
2
regulares segundo o eixo Ox obtemos G = G1
U G2
U G3
e:
A ordenada do ponto A é y = 2 (o ponto de intersecção das rectas x = 0 e
y = 2 − x );
A ordenada do ponto B é y = 1 (o ponto de intersecção da recta x = 0 e com a
semicircunferência y =
2
1− x );
As ordenadas dos pontos C e C 1 são iguais e y =
1
2 − ( C 1 é o ponto de
2
1
intersecção das rectas x = e y =
2
2 − x );
A ordenada do ponto D é y =
3
1
(o ponto de intersecção da recta x = e
2
2
2
com a semicircunferência y = 1− x );
Porque o primeiro integral para calcular é em ordem à variável x ,
representemos x como função de y :
Então:
y −
2
2
= 1− x ⇒ x = 1 y e y = − x ⇒ x = 2 − y
na região G 1 temos ∫∫ f ( x,
y)
dxdy = ∫ dy ∫
G1
1
2
2 − y
0
2 − y
2 .
f ( x,
y)
dx ;
na região G 2 temos ∫∫ f ( x,
y)
dxdy = ∫ dy ∫ f ( x,
y)
dx ;
G2
1
1
2 −
2
1
2 −
2
2
1−
y
na região 3 G temos ∫∫ f ( x,
y)
dxdy = ∫ dy ∫ f ( x,
y)
dx .
Portanto
1
2
∫
0
dx
2−
x
∫
2
1−
x
f ( x,
y)
dy =
G3
1
2−
2
∫
3
2
dy
1
2
∫
2
1−
y
3
2
f ( x,
y)
dx +
1
2
2
1−
y
1
∫
dy
1
2−
2
2 − y
∫
2
1−
y
f ( x,
y)
dx +
2
∫
1
dy
2 − y
∫
0
f ( x,
y)
dx .
45

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
Exemplo 23.2.
2
− 1−
y
Inverter a ordem de integração no integral iterado ∫ dy ∫ f ( x,
y)
dx .
1
1
2
3 2
− + y−
y
4
Resolução.
Para inverter a ordem de integração representamos graficamente a região de
integração. Do integral iterado dado obtemos que
⎡1
⎤
y ∈
⎢
, 1
⎣2
⎥
⎦
e
⎡
x ∈ ⎢−
⎣
3
2
+ y − y , −
4
⎤ 2
1−
y ⎥ . Portanto
⎦
Temos:
⎧
⎫
2 1
3
2
2
G = ⎨(
x,
y)
∈ R : ≤ y ≤ 1 ∧ − + y − y ≤ x ≤ − 1−
y ⎬ .
⎩
2
4
⎭
3
2
2 3
2 2 2 1 1
2 ⎛ 1 ⎞
x = − + y − y ⇒ x = + y − y ⇒ x + y − 2 ⋅ ⋅ y + = 1 ⇒ x + ⎜ y − ⎟
4
4
2 4
⎝ 2 ⎠
2
2
2
2
x = − 1−
y ⇒ x = 1−
y ⇒ x + y
Portanto a região é limitada pelas rectas
1 2
2
= 1.
1
y = , y = 1 e pelas circunferências
2
2 ⎛ ⎞
2 2
x + ⎜ y − ⎟ = 1,
x + y = 1 e porque x ≤ 0 é situada no segundo quadrante.
⎝ 2 ⎠
A região de integração é representada na figura 33 , é regular segundo o eixo
1
Oy e a variável x varia entre − 1 (a abscissa do ponto de intersecção da recta y
=
2
2
46
= 1;

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
1 2
2 ⎛ ⎞
com a circunferência x + ⎜ y − ⎟ = 1 ) e 0 (a abscissa do ponto de intersecção da
⎝ 2 ⎠
2 2
recta y = 1 com a circunferência x + y = 1).
A fronteira que limita a região da parte
de cima é uma linha seccionalmente regular e é a reunião do arco AB (da circunferência
1 2
2 ⎛ ⎞
x + ⎜ y − ⎟ = 1 ) com o segmento BC (da recta y = 1).
A fronteira que limita a
⎝ 2 ⎠
região da parte de baixo é uma linha seccionalmente regular e é a reunião do segmento
1
2 2
AD (da recta y = ) com o arco DC (da circunferência x + y = 1).
O ponto de
2
1
intersecção das linhas 1
2
2
2 ⎛ ⎞
⎛ 3 ⎞
x + ⎜ y − ⎟ = e y = 1 tem as coordenadas ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎜
− , 1
⎟
, e o
⎝ 2 ⎠
1
⎛ 2 2
ponto de das linhas y = e x + y = 1 tem as coordenadas ⎜
2
⎜
−
⎝
3 1 ⎞
, ⎟
2 2 ⎟
. Fazendo a
⎠
partição de G em regiões regulares segundo o eixo Oy obtemos G = G1
U G2
, onde
⎧
2
G 1 = ⎨(
x,
y)
∈ R :
⎩
−1
≤ x ≤ −
3
2
∧
1 1
≤ y ≤ +
2 2
2
1−
x
⎫
⎬ ,
⎭
Portanto
1
∫
dy
2
− 1−
y
∫
⎧
⎫
2 3
2
G 2 = ⎨(
x,
y)
∈ R : − ≤ x ≤ 0 ∧ 1−
x ≤ y ≤ 1 ⎬ .
⎩
2
⎭
f ( x,
y)
dx = ∫∫ f ( x,
y)
dxdy = ∫∫ f ( x,
y)
dxdy = ∫∫ f ( x,
y)
dxdy + ∫∫ f ( x,
y)
dxdy =
1 3 2
G
G1UG
2
G1
G2
− + y−
y
2 4
=
−
∫
3
2
−1
1 2
+ 1−x
2
∫
dx f ( x,
y)
dy + dx f ( x,
y)
dy .
1
2
0
∫
3
−
2
1
∫
2
1−x
Exemplo 24.2.
No integral f ( x,
y)
dxdy passar para as coordenadas polares e escrever o
∫∫
G
integral duplo obtido pelas duas possíveis ordens de integração, se a região G é
2 2
limitada pela circunferência x + y = 2y
.
Resolução.
Porque
2 2
x + y = 2y
⇒
2
x
2
+ y − 2y
+ 1 = 1 ⇒
2
2
x + ( y −1)
= 1,
a circunferência é centrada no ponto (0,1) (figura 34 a)) e portanto
G =
2
( x,
y)
∈ R :
2
2
x + ( y −1)
≤ 1 .
{ }
47

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
A relação entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas polares com o polo
na origem do sistema cartesiana é dada por x = ρ cos ϕ,
y = ρ senϕ
. Da
representação gráfica de G concluímos que ϕ varia entre 0 e π , e ρ varia entre 0 (o
2
2
valor de ρ no polo ) e 2 senϕ
(o valor de ρ na circunferência x + ( y −1)
= 1,
cuja
equação em coordenadas polares consideradas é ρ = 2senϕ
). Portanto a região G se
transforma na região
2
= { ( ρ, ϕ)
∈ R : 0 ≤ ϕ ≤ π ∧ 0 ≤ ρ ≤ 2senϕ}
∫∫ f ( x,
y)
dxdy = ∫∫ f ( ρ cosϕ,
ρ senϕ)
ρ dρ
dϕ
.
Γ e portanto
G
Γ
A região Γ é ρ - regular, isto é, qualquer raio polar ( ϕ ∧ ϕ ∈ [ 0,
π ]
= const )
que passa por um ponto interior da região intersecta a fronteira dela em não mais de
dois pontos (figura 34 a)). Portanto
∫∫
Γ
π
∫
2senϕ
f ( ρ cosϕ,
ρsenϕ)
ρ dρ
dϕ
= dϕ
f ( ρ cosϕ,
ρsenϕ)
ρ dρ
.
A região Γ é ϕ - regular, isto é, qualquer circunferência centrada no polo que
passa por um ponto interior da região ( ρ = const ∧ ρ ∈[
0,
2]
) intersecta a fronteira dela
em não mais de dois pontos (figura 34 b)). Resolvendo ρ = 2senϕ
em relação à
ρ
variável ϕ obtemos os valores pertencentes ao segmento [ 0 , π ] , ϕ1 = arcsen e
2
ρ
ϕ 2 = π − arcsen . Portanto
2
∫∫
Γ
Resumindo temos:
∫∫
G
f ( x,
y)
dxdy
=
π
2
∫
0
∫
0
ρ
π −arcsen
2
f ( ρ cosϕ,
ρsenϕ)
ρ dρ
dϕ
= ρ ⋅ dρ
f ( ρ cosϕ,
ρsenϕ)
dϕ
.
∫
0
= ∫∫
2senϕ
∫
Γ
f ( ρ cosϕ,
ρsenϕ)
ρ dρ
dϕ
=
0
2
∫
∫
ρ
arcsen
2
ρ
π −arcsen
2
d ϕ f ( ρ cosϕ,
ρsenϕ)
ρ dρ
= ρ ⋅ dρ
f ( ρ cosϕ,
ρsenϕ)
dϕ
.
0
0
∫
ρ
arcsen
2
48

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
Exemplo 25.2.
No integral f ( x,
y)
dxdy passar para as coordenadas polares e escrever o
∫∫
G
integral duplo obtido pelas duas possíveis ordens de integração, se a região G é
2
limitada pelas linhas x = 2y
∧ y = 2 .
Resolução.
2
A região limitada pelas linhas x = 2y
∧ y = 2 é representada, graficamente,
na figura 35, onde os pontos A, B têm, respectivamente, as coordenadas
( 2,
2),
( − 2,
2)
.
Fazemos a mudança de variáveis para as coordenadas polares ( ρ , ϕ)
com o polo
na origem do sistema cartesiana xO y , x = ρ cos ϕ,
y = ρ senϕ
. Neste caso o ângulo
ϕ varia entre 0 e π .
Observamos que a região G no sistema de coordenadas polares considerada é
ρ - regular , isto é, qualquer raio polar, ϕ = const , ϕ ∈ [ 0,
π ] , que passa por um ponto
interior da região, intersecta a fronteira em não mais de dois pontos (figura 35). O raio
polar entra na região no polo e sai da região num ponto da linha fechada que o limita.
Neste caso a fronteira de saída é uma linha seccionalmente regular e é a reunião das
2
OA (o arco da parábola = 2y,
0 ≤ x ≤ 2 AB (o segmento da recta
linhas: ( )
y = 2, − 2 ≤ x ≤ 2 ) e ( )
x ), ( )
2
BO (o arco da parábola x = 2y,
− 2 ≤ x ≤ 0 ). Além disso o
π
3π
ponto A pertence ao raio polar ϕ = e o ponto B pertence ao raio polar ϕ = .
4
4
2
Porque a recta y = 2 no sistema de coordenadas polares tem a equação ρ = e a
senϕ
2 2senϕ
parábola x = 2y
no sistema de coordenadas polares tem a equação ρ = , 2
cos ϕ
passando para o sistema de coordenadas cartesianas ϕ O ρ obtemos a região Γ (figura
36)
49

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
Portanto
∫∫
G
f ( x,
y)
dxdy = ∫∫ f ( ρ cosϕ,
ρsenϕ)
ρ dρ
dϕ
= ∫ dϕ
∫ f ( ρ cosϕ,
ρsenϕ)
ρ dρ
+
+
∫
Γ
3π
4
π
4
2
senϕ
∫
π
4
0
π
∫
2senϕ
d ϕ f ( ρ cosϕ,
ρsenϕ)
ρ dρ
+ dϕ
f ( ρ cosϕ,
ρsenϕ)
ρ dρ
.
0
3π
4
2
cos
0
ϕ
2senϕ
Para escrever o integral duplo na ordem d ϕ dρ
utilizamos a representação
gráfica de Γ no sistema de coordenadas cartesianas ϕ O ρ . A região Γ não é regular
segundo o eixo O ϕ e portanto fazemos uma partição em regiões regulares assim como
é representado na figura 37, Γ = Γ1
U Γ2
U Γ3
. Porque o integral interior é calculado em
2 2senϕ
relação a variável ϕ , das relações ρ = e ρ = representamos ϕ como
2
senϕ
cos ϕ
função de ρ .
Temos:
2
2
2
2
ρ = ⇒ senϕ
= ⇒ ϕ = arcsen ∧ ϕ = π − arcsen
senϕ
ρ
ρ
ρ
e
2senϕ 2
2
ρ = ⇒ ρ cos ϕ = 2senϕ
⇒ ρ(
1−
sen ϕ)
− 2senϕ
= 0
2
cos ϕ
2
cos
∫
0
ϕ
⇒
50

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
51
⇒
+
±
−
=
+
±
−
=
⇒
=
−
+
⋅
⇒
ρ
ρ
ρ
ρ
ϕ
ρ
ϕ
ϕ
ρ
2
2
2
1
1
2
4
4
2
0
2 sen
sen
sen
.
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
+
−
−
=
∧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
+
−
=
⇒
+
+
−
=
⇒
ρ
ρ
π
ϕ
ρ
ρ
ϕ
ρ
ρ
ϕ arcsen
arcsen
sen
Portanto
=
=
= ∫∫
∫∫
∫∫
Γ
Γ
Γ
Γ
ϕ
ρ
ρ
ϕ
ρ
ϕ
ρ
ϕ
ρ
ρ
ϕ
ρ
ϕ
ρ d
d
sen
f
d
d
sen
f
dxdy
y
x
f
G 3
2
1
)
,
cos
(
)
,
cos
(
)
,
(
U
U
+
+
= ∫∫
∫∫
Γ
Γ
ϕ
ρ
ρ
ϕ
ρ
ϕ
ρ
ϕ
ρ
ρ
ϕ
ρ
ϕ
ρ d
d
sen
f
d
d
sen
f
2
1
)
,
cos
(
)
,
cos
(
+
=
+ ∫
∫
∫∫
Γ
1
3
3
)
,
cos
(
)
,
cos
(
2
2
2
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ρ
ϕ
ρ
ρ
ρ
ϕ
ρ
ρ
ϕ
ρ
ϕ
ρ d
sen
f
d
d
d
sen
f
=
+
+ ∫
∫
∫
∫
4
3
4
2
)
,
cos
(
)
,
cos
(
2
0
2
2
2
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ρ
ϕ
ρ
ρ
ρ
ϕ
ϕ
ρ
ϕ
ρ
ρ
ρ d
sen
f
d
d
sen
f
d
+
+
= ∫
∫
∫
∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
+
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
+
−
ρ
ρ
π
ρ
π
ρ
ρ
ρ
ϕ
ϕ
ρ
ϕ
ρ
ρ
ρ
ϕ
ϕ
ρ
ϕ
ρ
ρ
ρ
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
)
,
cos
(
)
,
cos
(
arcsen
arcsen
arcsen
arcsen
d
sen
f
d
d
sen
f
d
∫
∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
+
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
+
−
+
ρ
ρ
π
ρ
ρ
ϕ
ϕ
ρ
ϕ
ρ
ρ
ρ
2
2
1
1
1
1
2
0
)
,
cos
(
arcsen
arcsen
d
sen
f
d .

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
Exemplo 26.2.
1
2
1−x
No integral iterado ∫ dx ∫ f ( x,
y)
dy passar para as coordenadas polares e depois
0
1−x
escrever-lhe pelas duas possíveis ordens de integração.
Resolução.
1
2
1−x
Do integral iterado ∫ dx ∫ f ( x,
y)
dy concluímos que a região de integração G é
0
1−x
regular segundo o eixo O y e é limitada pelas rectas x = 0 , x = 1,
y = 1−
x e pela
linha
y 1− x
2
= . A representação gráfica da região é dada na figura 38.
Porque as abscissas dos pontos A e B
semicircunferência
y 1− x
, de intersecção da recta y = 1 − x com a
2
= , são, respectivamente, = 0 e x = 1
x concluímos que a
região é limitada só pelas linhas
quadrante.
y = 1 − x , y =
2
1− x e é situada no primeiro
Fazemos a mudança de variáveis para as coordenadas polares ( ρ , ϕ)
com o
polo na origem do sistema cartesiana xO y : x = ρ cos ϕ,
π
ângulo ϕ varia entre 0 e .
2
y = ρ senϕ
. Neste caso o
Substituindo x = ρ cos ϕ,
y = ρ senϕ
na equação da circunferência obtemos:
2 2 2
2
2
2
y = 1−
x ⇒ x + y = 1 ⇒ ( ρ cosϕ)
+ ( ρ senϕ)
= 1 ⇒ ρ = 1 ⇒ ρ = 1.
Substituindo x = ρ cos ϕ,
y = ρ senϕ
na equação da recta obtemos:
y = 1
− x ⇒ x + y = 1 ⇒ ρ cosϕ
+ ρ senϕ
= 1 ⇒
1
ρ =
=
cosϕ
+ senϕ
52

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
=
⎛
2⎜
⎝
1
1
cosϕ
+
2
=
1 ⎞
senϕ
⎟
2 ⎠
1
=
⎛ π ⎞
2sen⎜ϕ
+ ⎟
⎝ 4 ⎠
1 1
⋅
=
2 ⎛ π ⎞
sen⎜ϕ
+ ⎟
⎝ 4 ⎠
1 ⎛ π ⎞
⋅ cosec⎜ϕ
+ ⎟.
2 ⎝ 4 ⎠
Observamos que a região G no sistema de coordenadas polares considerada é
⎡ π ⎤
ρ - regular , isto é, qualquer raio polar, ϕ = const , ϕ ∈
⎢
0,
⎣ 2 ⎥
, que passa por um ponto
⎦
interior da região, intersecta a fronteira em não mais de dois pontos (figura 38). O raio
polar entra na região no segmento AB da recta y = 1 − x e sai da região num ponto do
arco AB da circunferência que o limita.
Analogamente, concluímos que a região G é ϕ - regular , isto é, qualquer
circunferência, ρ = const,
que passa por um ponto interior da região, intersecta a
fronteira em não mais de dois pontos (figura 39), com excepção ρ = 1.
A circunferência
entra e sai da região nos pontos do segmento AB da recta y = 1 − x . O valor mínimo
de ρ corresponde à circunferência tangente a recta y = 1 − x no ponto M , isto é, o raio
⎛ 1 1 ⎞
OM pertence à recta y = x , donde ,facilmente, concluímos que M = ⎜ , ⎟ e
⎝ 2 2 ⎠
ρ =
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
2
⎛ 1 ⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
2
=
1
.
2
Porque a recta y = 1 − x no sistema de coordenadas polares tem a equação
1 ⎛ π ⎞
2 2
ρ = ⋅ cosec
⎜ϕ
+ ⎟ e a circunferência x + y = 1 no sistema de coordenadas
2 ⎝ 4 ⎠
polares tem a equação ρ = 1,
passando para o sistema de coordenadas cartesianas
ϕ O ρ obtemos a região Γ (figura 40).
53

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
Portanto na ordem dρ dϕ
obtemos:
1
∫
0
dx
2
1−x
∫
1−x
∫∫
∫∫
f ( x,
y)
dy = f ( x,
y)
dxdy = f ( ρ cosϕ,
ρ senϕ)
ρ dρ
dϕ
=
=
π
2
∫
0
G
1
∫
1 ⎛ π ⎞
cos ec⎜ϕ
+ ⎟
2 ⎝ 4 ⎠
Γ
d ϕ f ( ρ cosϕ,
ρ senϕ)
ρ dρ
.
Para escrever o integral na ordem d ϕ dρ
representamos ϕ como função de ρ .
Temos:
ρ =
1 ⎛ π ⎞
⋅ cos ec ⎜ϕ
+ ⎟ =
2 ⎝ 4 ⎠
1
=
⎛ π ⎞
2 ⋅ sen⎜ϕ
+ ⎟
⎝ 4 ⎠
1
⇒
⎛ π ⎞
2 ⋅ cos⎜ϕ
− ⎟
⎝ 4 ⎠
⎛ π ⎞
⇒ cos ⎜ϕ
− ⎟ =
⎝ 4 ⎠
Portanto
1 π ⎛
⇒ ϕ − = ± arccos⎜
2 ⋅ ρ 4 ⎜
⎝
1 ⎞ π ⎛
⎟ ⇒ = ± ⎜
⋅
⎟
ϕ arccos
2 ρ
⎜
⎠ 4 ⎝
1 ⎞
⎟
2 ⋅ ρ
⎟
.
⎠
1
∫
0
=
dx
1
∫
1
2
1−x
∫
1−x
∫∫
∫∫
f ( x,
y)
dy = f ( x,
y)
dxdy = f ( ρ cosϕ,
ρ senϕ)
ρ dρ
dϕ
=
π ⎛
+ arccos⎜
4 ⎜
⎝
∫
π ⎛
−arccos⎜
4 ⎜
⎝
G
1 ⎞
⎟
2⋅ρ
⎟
⎠
ρ d ρ f ( ρ cosϕ,
ρ senϕ)
dϕ
.
2
1 ⎞
⎟
2⋅ρ
⎟
⎠
Γ
54

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
3
3−
y
Exemplo 27.2. No integral iterado ∫ dy ∫ f ( x + y,
x − y)
dx passar para as variáveis
( u, v)
= ( x + y,
x − y)
.
Resolução.
3
3−
y
0
2−
y
Do integral iterado ∫ dy ∫ f ( x + y,
x − y)
dx concluímos que a região de
0
2−
y
integração G é regular segundo o eixo O x e é limitada pelas rectas
y = 0 , y = 3,
x = 2 − y e x = 3 − y . A representação gráfica da região é dada na
figura 41 a).
Fazendo a mudança de variáveis ( u, v)
= ( x + y,
x − y)
e levando em conta que
3
3−
y
no integral interior do integral iterado ∫ dy ∫ f ( x + y,
x − y)
dx a variável x varia entre
2 − y e 3 − y obtemos:
2 − y ≤ x ≤ 3 − y ⇒ 2 ≤ x + y ≤ 3 ⇒ 2 ≤ u ≤ 3.
0
2−
y
⎧ u + v
⎧u
= x + y,
⎪x
= ,
Do sistema ⎨ vem ⎨
2 e levando em conta que 0 ≤ y ≤ 3
⎩v
= x − y,
u − v
⎪ y =
⎩ 2
obtemos:
u − v
0 ≤ ≤ 3 ⇒ 0 ≤ u − v ≤ 6 ⇒ − u ≤ −v
≤ 6 − u ⇒ u − 6 ≤ v ≤ u .
2
A imagem Γ da região G é representada graficamente no sistema de coordenadas
cartesianas uO v na figura 41 b).
Calculamos o valor absoluto do jacobiano da transformação
⎧ u + v
⎪x
= ,
⎨
2
u − v
⎪y
= .
⎩ 2
55

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
⎛ ∂(
x,
y)
⎞
⎛ 1 1 ⎞
2 2 ⎛ 1 1 ⎞
mod ⎜det
⎟ = mod
⎜ ⎟
= mod⎜−
− ⎟ =
( , ) ⎜ 1 − 1 ⎟
⎝ ∂ u v ⎠
4 4
2 2
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Portanto
3
∫
0
=
3−
y
∫
dy f ( x y,
x − y)
dx = f ( x + y,
x − y)
dxdy =
∫∫
Γ
Exemplo 28.2.
+ ∫∫
2−
y
G
⎛ ∂(
x,
y)
⎞ 1
f ( u,
v)
⋅ mod⎜det
⎟dudv
=
⎝ ∂(
u,
v)
⎠ 2
No integral iterado ∫ ∫ ⎜ ⎟
⎝ x ⎠
Resolução.
3
2
dx
4x
3x
Do integral iterado ∫ ∫ ⎜ ⎟
⎝ x ⎠
∫∫
Γ
1
2
f ( u,
v)
dudv =
.
3
∫
2
du
u
∫
u−6
f ( u,
v)
dv.
⎛ y ⎞
⎛ y ⎞
f dy passar para as variáveis ( u , v)
= ⎜ x,
⎟ .
⎝ x ⎠
3
2
dx
4x
3x
⎛ y ⎞
f dy
concluímos que a região de integração G é
regular segundo o eixo O y e é limitada pelas rectas x = 2 ,
A representação gráfica da região é dada na figura 42 a).
x = 3,
y = 3x
e y = 4x
.
⎛ y ⎞
Fazendo a mudança de variáveis ( u , v)
= ⎜ x,
⎟ e levando em conta que no
⎝ x ⎠
⎛ y ⎞
f dy
⎝
integral interior do integral iterado ∫ ∫ ⎜ ⎟
x ⎠
obtemos:
3
2
dx
4x
3x
a variável y varia entre 3 x e 4 x
56

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
y
3x ≤ y ≤ 4x
⇒ 3 ≤ ≤ 4 ⇒ 3 ≤ v ≤ 4 .
x
De u = x ∧ 2 ≤ x ≤ 3 obtemos 2 ≤ u ≤ 3 .
A imagem Γ da região G é representada graficamente no sistema de
coordenadas cartesianas uO v na figura 42 b).
⎪
⎧u
= x,
⎧ x = u,
De ⎨ y facilmente, obtemos
v = ,
⎨
⎪⎩ x
⎩y
= uv.
⎧ x = u,
Calculamos o valor absoluto do jacobiano da transformação ⎨
⎩y
= uv.
⎛ ∂(
x,
y)
⎞ ⎛ 1 0 ⎞
mod⎜det ⎟ = mod⎜
⎟ = mod(
) = , ( 2 ≤ ≤ 3)
( , ) ⎜ ⎟
u u u .
⎝ ∂ u v ⎠ ⎝ v u ⎠
Portanto
3
∫
2
=
dx
∫∫
Γ
4x
∫
3x
Exemplo 29.2.
⎛ y ⎞
f ⎜ ⎟dy
=
⎝ x ⎠
∫∫
G
f ( v)
⋅ u ⋅ dudv =
⎛ y ⎞
f ⎜ ⎟dxdy
=
⎝ x ⎠
3
∫
2
u ⋅ du
4
∫
3
∫∫
Γ
⎛ ∂(
x,
y)
⎞
f ( v)
⋅ mod⎜det
⎟dudv
=
⎝ ∂(
u,
v)
⎠
2 ⎛ u ⎞
f ( v)
dv = ⎜
2 ⎟
⎝ ⎠
3
2
×
4
∫
3
f ( v)
dv =
5
2
4
∫
3
f ( v)
dv.
Demonstrar que com a mudança de variáveis x + y = u,
y = uv , o cálculo do
integral duplo ∫∫ f ( x,
y)
dxdy , onde G é o triângulo cujos lados são situados nas rectas
G
x = 0 , y = 0 e y = 1−
x , reduz-se ao cálculo do integral duplo
∫∫
Q
f ( u ( 1−
v),
uv)
u du dv , onde é o quadrado
Resolução.
{ ( u,
v)
∈ uOv : 0 ≤ u ≤ 1 ∧ 0 ≤ ≤ 1}
Q = v .
A região de integração G é representada graficamente na figura 43 a). Ela é
regular segundo os eixos de coordenadas e portanto
∫∫
G
1
∫
f ( x,
y)
dxdy = dx f ( x,
y)
dy .
Fazemos a mudança de variáveis x + y = u,
y = uv ou x = u(
1−
v),
y = uv .
Porque a região é limitada pelas linhas x = 0 , y = 0 e y = 1−
x , resulta que
∀ ( x, y)
∈ G temos x ≥ 0, y ≥ 0 e 0 ≤ x + y ≤ 1 e portanto 0 ≤ u ≤ 1.
1) Seja 0 < u ≤ 1 ∧ x > 0 ∧ y > 0 . De x = u(
1−
v)
∧ x > 0 resulta 1 − v > 0 ≡ v < 1
e de y = uv ∧ y > 0 obtemos v > 0 .
0
1
∫
1−x
57

Integrais Duplos Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL
2) Seja 0 < u ≤ 1 ∧ (( x > 0 ∧ y = 0)
∨ ( x = 0 ∧ y > 0))
.
Para o caso 0 < u ≤ 1 ∧ x > 0 ∧ y = 0 de x + y = u ∧ y = 0 resulta x = u e de
x = u(
1−
v)
∧ x > 0 resulta 1 = 1−
v ≡ v = 0 . Portanto neste caso no plano uOv obtemos
( u , 0)
: 0 < u ≤ 1 .
Para o caso 0 < u ≤ 1 ∧ x = 0 ∧ y > 0 de x + y = u ∧ x = 0 resulta y = u e de
y = uv resulta v = 1.
Portanto neste caso no plano uOv obtemos o conjunto
( u , 1)
: 0 < u ≤ 1 .
o conjunto { }
{ }
3) Para u = 0 de x + y = u ∧ x ≥ 0 y ≥ 0 resulta x = 0 , y = 0 e de
y = uv ≡ 0 = 0 ⋅ v obtemos v ∈ R . Portanto neste caso no plano uOv obtemos o
( 0,
v) : v ∈ R , isto é, o eixo Ov .
conjunto { }
Representando, graficamente, a reunião dos conjuntos obtidos nos casos 1), 2) e 3)
obtemos a região representada na figura 43 b), composta do quadrado Q e do eixo Ov .
Porque na integração na eixo Ov tem-se du = 0 , concluímos que a região de integração
é o quadrado Q .
Calculamos o valor absoluto do jacobiano da transformação:
⎛ ∂(
x,
y)
⎞ ⎛ 1−
v − u ⎞
mod⎜det ⎟ = mod⎜
⎟ = mod
≥
( , ) ⎜ ⎟
⎝ ∂ u v ⎠ ⎝ v u ⎠
Portanto obtemos:
1
∫
0
dx
1
∫
1−x
∫∫
∫∫
( u − uv + uv)
= u,
( x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ⇒ x + y = u 0).
f ( x,
y)
dy = f ( x,
y)
dxdy = f ( u(
1−
v),
uv)
u du dv = udu f ( u(
1−
v),
uv)
dv .
G
Q
1
∫
0
1
∫
0
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