Integrais duplos e de linha
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8 <strong>Integrais</strong> Duplos<br />
Se optarmos pela outra or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> integração o mesmo integral duplo terá <strong>de</strong> ser calculado<br />
como segue:<br />
y<br />
2<br />
0<br />
y=2x<br />
y=x 2<br />
1<br />
x=0 x=1<br />
x<br />
y<br />
2<br />
1<br />
x=y/2<br />
0 1<br />
x=y 1/2<br />
Z Z<br />
Z Ã<br />
1 Z √<br />
y<br />
! Z Ã<br />
2 Z 1<br />
!<br />
(x + y) dxdy = (x + y)dx dy + (x + y)dx dy<br />
D<br />
0 y/2<br />
1 y/2<br />
dado que é necessário consi<strong>de</strong>rar 2 sub-regiões D1 e D2 separadas pela recta y =1tais<br />
que D1 ∪ D2 = D. De facto, aten<strong>de</strong>ndo a que a recta vertical x =1intersecta a parábola<br />
y = x 2 quando y tomaovalor1 e intersecta a recta y =2x quando y toma o valor 2<br />
(atenda à figura anterior e complete-a) estas duas sub-regiões serão as seguintes<br />
D1 ≡ © y =2x, y = x 2 , 0 ≤ x ≤ 1,y ≤ 1 ª<br />
D2 ≡ © y =2x, y = x 2 , 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2 ª .<br />
Por vezes é forçoso inverter a or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> integração face à função f(x, y) a primitivar.<br />
Exemplo 5. Calcule o seguinte integral duplo<br />
Z 1<br />
0<br />
dy<br />
Z 3<br />
3y<br />
e x2<br />
dx.<br />
Este integral duplo não po<strong>de</strong> ser calculado <strong>de</strong> forma fácil directamente pela or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> inte-<br />
gração estabelecida (dxdy),vistoqueaprimitiva R ex2dx não é uma primitiva elementar.<br />
O domínio <strong>de</strong> integração <strong>de</strong>ste integral duplo é limitado pelas rectas x =3y, x =3,y=0<br />
e y =1. Para estabelecer o outra or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> integração (dydx) — isto é, para efectuar in-<br />
versão da or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> integração do integral duplo — é útil representar graficamente<br />
este domínio <strong>de</strong> integração<br />
x<br />
y=2<br />
y=1<br />
y=0