Integrais duplos e de linha

8 Integrais Duplos
Se optarmos pela outra ordem de integração o mesmo integral duplo terá de ser calculado
como segue:
y
2
0
y=2x
y=x 2
1
x=0 x=1
x
y
2
1
x=y/2
0 1
x=y 1/2
Z Z
Z Ã
1 Z √
y
! Z Ã
2 Z 1
!
(x + y) dxdy = (x + y)dx dy + (x + y)dx dy
D
0 y/2
1 y/2
dado que é necessário considerar 2 sub-regiões D1 e D2 separadas pela recta y =1tais
que D1 ∪ D2 = D. De facto, atendendo a que a recta vertical x =1intersecta a parábola
y = x 2 quando y tomaovalor1 e intersecta a recta y =2x quando y toma o valor 2
(atenda à figura anterior e complete-a) estas duas sub-regiões serão as seguintes
D1 ≡ © y =2x, y = x 2 , 0 ≤ x ≤ 1,y ≤ 1 ª
D2 ≡ © y =2x, y = x 2 , 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2 ª .
Por vezes é forçoso inverter a ordem de integração face à função f(x, y) a primitivar.
Exemplo 5. Calcule o seguinte integral duplo
Z 1
0
dy
Z 3
3y
e x2
dx.
Este integral duplo não pode ser calculado de forma fácil directamente pela ordem de inte-
gração estabelecida (dxdy),vistoqueaprimitiva R ex2dx não é uma primitiva elementar.
O domínio de integração deste integral duplo é limitado pelas rectas x =3y, x =3,y=0
e y =1. Para estabelecer o outra ordem de integração (dydx) — isto é, para efectuar in-
versão da ordem de integração do integral duplo — é útil representar graficamente
este domínio de integração
x
y=2
y=1
y=0