Integrais duplos e de linha

1.2. EXEMPLOS 7
y
4
0
y=2x
y=x 2
2
x
y
4
0
y=2x
y=x 2
x=0 x=2
2
Domínio de integração D D regular segundo yy D regular segundo xx
Como D é regular no sentido do eixo dos yy, ou seja pode ser limitado por: x = a =0,
x = b =2,y= g1(x) =x 2 e y = g2(x) =2x, com 0 ≤ x ≤ 2 e x 2 ≤ y ≤ 2x, o integral
duplo escreve-se como
Z Z
(x + y) dxdy =
D
=
Z 2 µZ 2x
0
Z 2
0
µ
x 2
(x + y)dy dx =
4x 2 − x 3 − x4
2
x
dx =
Z 2
0
y
4
0
µ
x=y/2
x=y 1/2
xy + y2
2
µ
4 x3 x4
−
3 4
2
¯2x ¯¯¯
x 2
− x5
10
dx =
¯ ¯¯¯
2
0
y=4
y=0
= 52
15
O mesmo integral duplo pode ser calculado pelo outro integral iterado (obtido invertendo
a ordem de integração), ou seja por
Z Z
(x + y) dxdy =
D
Z Ã
4 Z √
y
0
y/2
!
(x + y)dx dy = 52
15 .
Tem-se c =0,d =4,x = h1(y) = y
2 e x = h2(y) = √ y, segundo a notação indicada no
desenvolvimento.
Exemplo 4. Considere-se agora o mesmo integral duplo, mas com o domínio de
integração dado por
D ≡ © y =2x, y = x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 ª .
Então o domínio D é regular no sentido do eixo dos yy e portanto o integral duplo é:
Z Z
D
(x + y) dxdy =
=
Z 1 µZ 2x
0
Z 1
0
µ
x 2
(x + y)dy dx =
4x 2 − x 3 − x4
2
dx =
Z 1
0
µ
xy + y2
2
µ
4 x3 x4
−
3 4
¯2x ¯¯¯
x 2
− x5
10
dx =
¯ ¯¯¯
1
0
= 118
120