Integrais duplos e de linha

1.2. EXEMPLOS 5
se D = D1 ∪ D2, int(D1) ∩ int(D2) =∅, e D1 e D2 são regulares no mesmo sentido.
O integral duplo sobre o domínio de integração D da função constante f (x, y) =1
defineaáreadeD, istoé
Z Z
D
1 dxdy = A (D) .
A passagem duma ordem de integração para outra num integral duplo, caso é possível,
designa-se por inversão da ordem de integração do integral duplo. Se o domínio
for regular no sentido do eixo dos yy ou seja
1.2 Exemplos
Exemplo 1. Calcule o valor dos seguintes integrais duplos
a). R 2
1 dx R 1
0 (x − cos y) dy = R 2
1
3
2 − sin 1
b). R 5
0 dy R y
0 (2xy) dx = R 5
0
¡ yx 2 ¯ ¯ y
0
(xy − sin y)|1 0 dx = R 2
(x − sin 1) dx =
¢ dy = R 5
0
1
¡ y 3 ¢ dy = y4
4
Exemplo 2. Determine o valor do integral duplo
ZZ
(x +2y) dxdy
D
¯
¯ 5
0
= 625
4
³ x 2
2
´¯
¯¯ 2
− x sin 1
1 =
onde o domínio de integração é limitado pelas parábolas de equação y =2x 2 e y =1+x 2 .
D
y
y
y=1+x 2
y=2x 2
-1 0
1
x=-1 x=1
x