Integrais duplos e de linha
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4 <strong>Integrais</strong> Duplos<br />
x=h1 (y)=a x=h2 (y)=b<br />
y y<br />
d<br />
c<br />
D<br />
a b<br />
y=d<br />
y=c<br />
d<br />
c<br />
x=h 1 (y)<br />
x x<br />
D<br />
y=d<br />
x=h 2 (y)<br />
Neste caso, calcula-se primeiro o integral <strong>de</strong> f(x, y) em relação à variável x (con-<br />
si<strong>de</strong>rando y como constante) <strong>de</strong>s<strong>de</strong> x = h1(y) (a fronteira esquerda do domínio <strong>de</strong> inte-<br />
gração D) até x = h2(y) (a fronteira direita <strong>de</strong> D); <strong>de</strong>pois o integral da expressão obtida em<br />
relaçãoàvariávely no intervalo [c, d] ,isto é, do extremo inferior do domínio <strong>de</strong> integração<br />
D até ao extremo superior <strong>de</strong> D.<br />
Tem-se sempre que<br />
Z Ã<br />
b Z !<br />
g2(x)<br />
ZZ<br />
f(x, y)dy dx =<br />
a<br />
g1(x)<br />
D<br />
f(x, y)dxdy =<br />
Z d<br />
c<br />
y=c<br />
ÃZ h2(y)<br />
!<br />
f(x, y)dx dy,<br />
ou seja, indiferente da or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> integração utilizada, o valor do integral duplo é o mesmo.<br />
Proprieda<strong>de</strong>s<br />
Caso existam os integrais <strong>duplos</strong> são válidas as seguintes proprieda<strong>de</strong>s operacionais:<br />
ZZ<br />
ZZ<br />
ZZ<br />
[f(x, y) ± g(x, y)] dxdy = f(x, y)dxdy ± g(x, y)dxdy;<br />
D<br />
D<br />
D<br />
ZZ<br />
ZZ<br />
ZZ<br />
D<br />
D<br />
D<br />
h1(y)<br />
ZZ<br />
cf(x, y)dxdy = c f(x, y)dxdy, para c ∈ R;<br />
D<br />
h(x)f(x, y)dxdy =<br />
g(y)f(x, y)dxdy =<br />
Z b<br />
a<br />
Z d<br />
c<br />
h(x)<br />
g(y)<br />
Z g2(x)<br />
g1(x)<br />
Z h2(x)<br />
h1(x)<br />
f(x, y)dydx;<br />
f(x, y)dxdy.<br />
Uma outra proprieda<strong>de</strong> <strong>de</strong> gran<strong>de</strong> utilida<strong>de</strong> em domínios <strong>de</strong> integração não regulares é a<br />
seguinte:<br />
ZZ<br />
D<br />
ZZ<br />
f(x, y)dxdy =<br />
D1<br />
ZZ<br />
f(x, y)dxdy +<br />
D2<br />
f(x, y)dxdy,