Integrais duplos e de linha

4 Integrais Duplos
x=h1 (y)=a x=h2 (y)=b
y y
d
c
D
a b
y=d
y=c
d
c
x=h 1 (y)
x x
D
y=d
x=h 2 (y)
Neste caso, calcula-se primeiro o integral de f(x, y) em relação à variável x (con-
siderando y como constante) desde x = h1(y) (a fronteira esquerda do domínio de inte-
gração D) até x = h2(y) (a fronteira direita de D); depois o integral da expressão obtida em
relaçãoàvariávely no intervalo [c, d] ,isto é, do extremo inferior do domínio de integração
D até ao extremo superior de D.
Tem-se sempre que
Z Ã
b Z !
g2(x)
ZZ
f(x, y)dy dx =
a
g1(x)
D
f(x, y)dxdy =
Z d
c
y=c
ÃZ h2(y)
!
f(x, y)dx dy,
ou seja, indiferente da ordem de integração utilizada, o valor do integral duplo é o mesmo.
Propriedades
Caso existam os integrais duplos são válidas as seguintes propriedades operacionais:
ZZ
ZZ
ZZ
[f(x, y) ± g(x, y)] dxdy = f(x, y)dxdy ± g(x, y)dxdy;
D
D
D
ZZ
ZZ
ZZ
D
D
D
h1(y)
ZZ
cf(x, y)dxdy = c f(x, y)dxdy, para c ∈ R;
D
h(x)f(x, y)dxdy =
g(y)f(x, y)dxdy =
Z b
a
Z d
c
h(x)
g(y)
Z g2(x)
g1(x)
Z h2(x)
h1(x)
f(x, y)dydx;
f(x, y)dxdy.
Uma outra propriedade de grande utilidade em domínios de integração não regulares é a
seguinte:
ZZ
D
ZZ
f(x, y)dxdy =
D1
ZZ
f(x, y)dxdy +
D2
f(x, y)dxdy,