Integrais duplos e de linha
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2.3. COM O TEOREMA DE GREEN - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 47<br />
obtida por aplicação do teorema <strong>de</strong> Green. Temos então<br />
área = 1<br />
I<br />
xdy − ydx =<br />
2 C<br />
1<br />
=<br />
Z 2π<br />
a cos t(b cos t)dt − b sin t(−a sin t)dt<br />
2 0<br />
1<br />
Z 2π<br />
ab dt =<br />
2<br />
1<br />
ab [t]2π 0 = πab<br />
2<br />
0<br />
consi<strong>de</strong>rando a elipse parametrizada por<br />
½<br />
−→ x(t) =a cos t<br />
r (t) ≡<br />
y(t) =b sin t<br />
para t ∈ [0, 2π].<br />
Exercise 17 Utilize o teorema <strong>de</strong> Green para calcular o trabalho <strong>de</strong> campo <strong>de</strong> vectores<br />
−→ F (x, y) =(y +3x) −→ e1 +(2y − x) −→ e2<br />
quando o ponto <strong>de</strong> aplicação da força dá uma volta no sentido positivo em torno da elipse<br />
C <strong>de</strong> equação 4x 2 + y 2 =4.<br />
O trabalho pedido po<strong>de</strong> ser calculado por<br />
W =<br />
=<br />
=<br />
I<br />
I<br />
−→<br />
F |d<br />
−→<br />
r = (y +3x, 2y − x) |(dx, dy)<br />
IC<br />
C<br />
(y +3x) dx +(2y− x) dy<br />
C<br />
ZZ µ <br />
T.Green ∂ (2y − x) ∂ (y +3x)<br />
=<br />
− dxdy<br />
D ∂x ∂y<br />
ZZ<br />
ZZ<br />
(−1 − 1) dxdy = −2 dxdy<br />
D<br />
sendo D a elipse <strong>de</strong> equação 4x 2 + y 2 =4unida com o seu interior e aten<strong>de</strong>ndo a que<br />
esta é uma curva fechada regular. Aten<strong>de</strong>ndo à fórmula conhecida para a área da elipse,<br />
edadoquenestaosemi-eixomaiorme<strong>de</strong>4 eosemi-eixomenorme<strong>de</strong>2, temos<br />
ZZ<br />
W = −2 dxdy = −2 · área <strong>de</strong> D = −2 · π · 2 · 1=−4π.<br />
D<br />
D