Integrais duplos e de linha

2.3. COM O TEOREMA DE GREEN - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 47
obtida por aplicação do teorema de Green. Temos então
área = 1
I
xdy − ydx =
2 C
1
=
Z 2π
a cos t(b cos t)dt − b sin t(−a sin t)dt
2 0
1
Z 2π
ab dt =
2
1
ab [t]2π 0 = πab
2
0
considerando a elipse parametrizada por
½
−→ x(t) =a cos t
r (t) ≡
y(t) =b sin t
para t ∈ [0, 2π].
Exercise 17 Utilize o teorema de Green para calcular o trabalho de campo de vectores
−→ F (x, y) =(y +3x) −→ e1 +(2y − x) −→ e2
quando o ponto de aplicação da força dá uma volta no sentido positivo em torno da elipse
C de equação 4x 2 + y 2 =4.
O trabalho pedido pode ser calculado por
W =
=
=
I
I
−→
F |d
−→
r = (y +3x, 2y − x) |(dx, dy)
IC
C
(y +3x) dx +(2y− x) dy
C
ZZ µ
T.Green ∂ (2y − x) ∂ (y +3x)
=
− dxdy
D ∂x ∂y
ZZ
ZZ
(−1 − 1) dxdy = −2 dxdy
D
sendo D a elipse de equação 4x 2 + y 2 =4unida com o seu interior e atendendo a que
esta é uma curva fechada regular. Atendendo à fórmula conhecida para a área da elipse,
edadoquenestaosemi-eixomaiormede4 eosemi-eixomenormede2, temos
ZZ
W = −2 dxdy = −2 · área de D = −2 · π · 2 · 1=−4π.
D
D