Integrais duplos e de linha

2.3. COM O TEOREMA DE GREEN - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 45
2.3.1 Propostas de resolução
Exercise 13 Utilize o teorema de Green para calcular o trabalho de campo de vectores
−→ F (x, y) =(2 ¡ x 2 + y 2 ¢ , (x + y) 2 )
ao longo da curva plana C sendoestaocontornodotriângulodevérticesA(1, 1), B(2, 2)
e C(1, 3) percorrido no sentido positivo.
O trabalho pedido pode ser calculado por
W =
1
=
=
I
I
−→
F |d
−→
r = (2
C
C
¡ x 2 + y 2¢ , (x + y) 2 ) |(dx, dy)
I
2
C
¡ x 2 + y 2¢ dx +(x + y) 2 dy
ZZ Ã
T.Green ∂ (x + y)
=
D
2
−
∂x
∂2 ¡ x2 + y2¢ !
dxdy
∂y
ZZ
ZZ
(2(x + y) − 4y) dxdy = (2x − 2y) dxdy
D
sendo D o triângulo de vértices A(1, 1), B(2, 2) e C(1, 3) (faça o esboço da curva) e dado
que C é uma curva fechada seccionalmente regular com orientação positiva. Temos então
ZZ
Z 2 µZ 4−x
W = 2 (x − y) dxdy =2
(x − y) dy dx
=
D
1 x
Z 2 ∙
2 xy −
1
y2
¸y=4−x Z Ã
2
(4 − x)2
dx =2 x (4 − x) − − x
2 y=x
2
2 + x2
=
!
dx
2
Z 2 ¡ ¢ 2
2 8x − 2x − 8 dx =4
= − 4
3 .
D
1
∙
2x 2 − x3
¸2 − 4x
3 1
Exercise 14 Calculeovalordointegraldelinha
I
¡ 2
1+10xy + y ¢ dx + ¡ 6xy +5x 2¢ dy
C
ao longo do contorno de um quadrado de lado a orientado positivamente.
Consideremos o contorno do quadrado de vértices (0, 0), (a, 0), (a, a) e (0,a). Trata-se
de uma curva fechada seccionalmente regular orientada positivamente. Pelo teorema de